尚昱煌，許 平，姜士鴻，姚曙光，胡正維

(1. 中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，長沙 410075； 2. 中南大學(xué) 軌道交通安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410075；3. 中南大學(xué) 軌道交通安全國際合作聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，長沙 410075； 4. 中國中車長春軌道客車股份有限公司，長春 130062)

隨著軌道交通行業(yè)的快速發(fā)展，乘員安全問題所受關(guān)注度日益增加。吸能裝置能在列車發(fā)生碰撞事故時(shí)，通過自身的塑性變形來耗散車輛的動(dòng)能，從而有效減輕乘員所受傷害，因此國內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了大量研究[1-4]。其中金屬薄壁方管具有易于制造、吸能效率高等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于列車的吸能裝置中。

Wierzbicki等[5]對(duì)薄壁矩形管在軸向壓縮下的變形模式進(jìn)行了分析，并建立了折疊單元壓縮模型，通過超折疊單元理論對(duì)其平臺(tái)力MCF(mean crushing force)進(jìn)行了預(yù)測。Zhou等[6-8]將折紋引入薄壁方管，并對(duì)折紋方管的耐撞性進(jìn)行了深入研究，通過多種工況的試驗(yàn)分析了軸向長度與厚度比值、缺陷形狀等因素對(duì)折紋方管的變形模式、MCF以及比吸能的影響。Qi等[9]將錐度引入薄壁方管，對(duì)錐形方管和直方管進(jìn)行多個(gè)角度的斜向加載，發(fā)現(xiàn)錐形方管的比吸能SEA(specific energy absorption)均高于直方管，且峰值力PCF(peak crushing force)均低于直方管。Reid等[10]對(duì)錐度矩形管的MCF進(jìn)行了理論推導(dǎo)，并通過準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗(yàn)驗(yàn)證了MCF公式預(yù)測的準(zhǔn)確性。Song等[11]在薄壁方管上開設(shè)窗孔誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)，并將其與傳統(tǒng)薄壁方管分別在正向和斜向加載下進(jìn)行了吸能性能的對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)在正向加載時(shí)窗孔誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)能有效降低薄壁方管的PCF且增加MCF，在斜向加載下窗孔誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)能防止薄壁方管發(fā)生彎曲壓潰。Zhang等[12]將縱向凹槽引入薄壁方管，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)尺寸的縱向凹槽能夠有效提高薄壁方管的SEA，并在一定程度上減小PCF。Asanjarani等[13]將橫向凹槽引入錐形方管，并以錐度、截面邊長、壁厚、凹槽尺寸和數(shù)量為變量進(jìn)行了多目標(biāo)耐撞性優(yōu)化。李健等[14]將多個(gè)隔板嵌于直方管內(nèi)，發(fā)現(xiàn)隔板的引入能改變直方管的變形模式，通過形成更多的褶皺而增加吸能量。Xu等[15-16]通過進(jìn)行有限元分析和準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓縮試驗(yàn)，對(duì)內(nèi)嵌隔板方管進(jìn)行了研究，并以吸能結(jié)構(gòu)不同部分的厚度為設(shè)計(jì)變量，進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。Xing等[17]將隔板引入嵌套方管，并從幾何尺寸和厚度等多種設(shè)計(jì)角度對(duì)吸能結(jié)構(gòu)進(jìn)行了耐撞性優(yōu)化。

以往研究通過引入錐度、凹槽、隔板、窗孔等途徑來提高金屬薄壁方管的耐撞性，尚未將錐度與隔板同時(shí)引入矩形截面的方管。本文以實(shí)際的工程項(xiàng)目為背景，對(duì)某地鐵車輛所使用的雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管進(jìn)行研究，該吸能結(jié)構(gòu)中矩形截面管的一組對(duì)稱面具有錐度，內(nèi)部嵌入了多個(gè)隔板。通過建立有限元模型，對(duì)雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管和傳統(tǒng)矩形管的壓縮過程進(jìn)行數(shù)值仿真，從而對(duì)比兩者耐撞性，并進(jìn)行靜態(tài)壓縮試驗(yàn)以驗(yàn)證有限元分析的準(zhǔn)確性。為進(jìn)一步提高雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的耐撞性，實(shí)現(xiàn)SEA最大化和PCF最小化，分別將有錐度和無錐度對(duì)稱面的厚度以及隔板厚度作為三個(gè)設(shè)計(jì)變量，通過拉丁超立方采樣進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，利用徑向基函數(shù)方法構(gòu)建出代理模型，采用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化而得到更佳的設(shè)計(jì)方案。

1 模型建立

1.1 幾何模型

如圖1所示，一個(gè)包含了四個(gè)吸能單元的吸能組件安裝于某地鐵列車底架前端，其中一個(gè)吸能單元為雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管，該吸能單元僅有一組對(duì)稱面具有錐度。圖2展示了雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的具體結(jié)構(gòu)及尺寸。圖2(a)為雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，其由一個(gè)外管、兩個(gè)端板和五個(gè)隔板組成，外管的高度為146 mm，長度為639 mm，被五個(gè)隔板不均等劃分。

圖2(b)展示了各個(gè)隔板所在外管截面的寬度，且外管的一組對(duì)稱面具有錐度，錐度為2°。由于外管不同截面的寬度各不相同，圖2(c)中各個(gè)隔板W和W0的數(shù)值也各不相同。各個(gè)隔板W的數(shù)值等于其所在矩形截面的寬度數(shù)值，各個(gè)隔板W0的數(shù)值比其W的數(shù)值小130。此外，外管和隔板厚度均為3 mm，兩個(gè)端板的厚度為5 mm。

圖1 雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管在某地鐵列車的應(yīng)用Fig.1 The application of DTRTD in a certain subway train

(a) 內(nèi)部結(jié)構(gòu)

(b) 俯視圖(c) 隔板圖2 雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的結(jié)構(gòu)及尺寸Fig.2 Detailed geometry of DTRTD

1.2 有限元模型

1.2.1 有限元模型的定義

為了研究雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的耐撞性，本文使用非線性有限元軟件 LS-DYNA進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮數(shù)值仿真分析，并將雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管與傳統(tǒng)矩形管進(jìn)行對(duì)比。其中，傳統(tǒng)矩形管為各面無錐度、內(nèi)部未嵌入隔板的矩形截面管，其總長度、高度、外管厚度以及端板厚度均與雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管相同，寬度為194 mm即雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管前后兩端寬度的平均值。

如圖3所示，有限元模型包括剛性墻、連接板、吸能結(jié)構(gòu)、壓頭四個(gè)部分。兩塊連接板焊于吸能結(jié)構(gòu)兩端，左側(cè)連接板與剛性墻接觸，右側(cè)連接板與壓頭接觸，設(shè)置剛性墻固定不動(dòng)，壓頭沿軸向?qū)τ覀?cè)連接板加載使吸能結(jié)構(gòu)壓縮。為了準(zhǔn)確模擬吸能結(jié)構(gòu)的變形，吸能結(jié)構(gòu)和連接板采用四邊形殼單元，單元厚度方向采用五點(diǎn)積分，面內(nèi)采用單點(diǎn)積分，剛性墻和壓頭采用六面體實(shí)體單元。帶連接板的吸能結(jié)構(gòu)的自接觸采用“Automatic_Single_Surface”算法，與剛性墻和壓頭的接觸均采用“Automatic_Surface_To_Surface”算法。接觸的靜摩擦因數(shù)設(shè)為0.3，動(dòng)摩擦因數(shù)設(shè)為0.2[18]，使用第四種沙漏黏度類型來控制沙漏能量。通過采用不同邊長的四邊形殼單元觀察建模時(shí)吸能結(jié)構(gòu)EA的變化，發(fā)現(xiàn)當(dāng)邊長小于或等于7 mm時(shí)EA趨向于平穩(wěn)。因此，為減少計(jì)算時(shí)間且保證計(jì)算精度，將四邊形殼單元的邊長設(shè)置為7 mm 來對(duì)吸能結(jié)構(gòu)和連接板進(jìn)行建模。

圖3 有限元模型Fig.3 Finite element model

1.2.2 材料模型

為獲得吸能結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)性能，如圖4所示，使用MTS 647液壓萬能材料試驗(yàn)機(jī)對(duì)加工好的標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)件進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)拉伸試驗(yàn)，表1和圖5(a)分別為測得的材料參數(shù)和工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線。采用分段線性塑性材料模型Mat.024定義吸能結(jié)構(gòu)的材料屬性，Mat.024可錄入由材料真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線所得到的等效塑性應(yīng)力及應(yīng)變，使材料屬性定義更加精確；連接板與吸能結(jié)構(gòu)的材料相同，故同樣采用Mat.024材料模型；剛性墻和壓頭使用Mat.020剛性材料模型定義其屬性。

圖4 材料拉伸試驗(yàn)Fig.4 Material tensile test

表1 吸能結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線可分為兩段，可通過式(1)～(5)進(jìn)行求解[19]。標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)件頸縮之前的部分為第一段，真實(shí)應(yīng)變?chǔ)舤和頸縮之前的真實(shí)應(yīng)力σt可如下求得

εt=ln(εe+1)

(1)

σt=σe(εe+1)

(2)

式中：σe為工程應(yīng)力；εe為工程應(yīng)變。

(a) 工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線

(b) 真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖5 材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.5 Stress-strain curves of material

標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)件頸縮之后的部分為第二段，頸縮之后的真實(shí)應(yīng)力σt求解如下

(3)

式中：n為應(yīng)變硬化指數(shù)。C和n可如下求得

C=σu(e/n)n

(4)

n=ln[1+1/(0.24+0.013 95σu]

(5)

式中：σu為極限強(qiáng)度;e為自然常數(shù)。圖5(b)為最終求得的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線。

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 耐撞性的評(píng)價(jià)指標(biāo)

吸能量EA(energy absorption)是衡量吸能結(jié)構(gòu)耐撞性的關(guān)鍵指標(biāo)，可以由吸能結(jié)構(gòu)壓縮過程的力-位移曲線積分而得[20]

(6)

式中：F(s) 為瞬態(tài)撞擊力，是瞬態(tài)位移s的函數(shù)。

平臺(tái)力MCF為吸能結(jié)構(gòu)變形過程中的平均壓縮力，可以通過吸能量EA 除以壓縮位移S得到

MCF=EA/S

(7)

比吸能SEA用來表示吸能結(jié)構(gòu)單位質(zhì)量的吸能量，可以通過吸能量EA除以吸能結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量m得到[21]

SEA=EA/m

(8)

峰值力PCF對(duì)碰撞事故發(fā)生時(shí)乘員所受傷害有著重要影響，在數(shù)學(xué)上定義如下

PCF=max[F(s)]

(9)

2.2 準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓縮試驗(yàn)

雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓縮試驗(yàn)配置如圖6所示，由剛性墻、試件、液壓加載裝置以及多種測試儀器構(gòu)成。試件加工過程中，其外管由垂向軸對(duì)稱的兩部分焊接而成，隔板和連接板均與外管焊接。液壓加載裝置受電磁系統(tǒng)控制，可提供穩(wěn)定而均勻的位移或壓力。此試驗(yàn)使用位移控制模式，以大約20 mm/min的速度對(duì)試件進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)軸向加載，從而確保不會(huì)有動(dòng)態(tài)影響產(chǎn)生[22]，壓縮總行程設(shè)定為400 mm。測力傳感器安裝在剛性墻上，實(shí)時(shí)采集試件所受壓力；位移計(jì)測量剛性墻與壓頭的間距變化，進(jìn)而得到試件的實(shí)時(shí)壓縮量。多臺(tái)數(shù)碼攝像機(jī)從不同角度記錄試件的準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓縮過程。

圖6 準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓縮的試驗(yàn)配置Fig.6 Test configuration of quasi-static axial compression

2.3 結(jié)果分析及驗(yàn)證

將雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的數(shù)值仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，從而分析其吸能特性并驗(yàn)證有限元模型的準(zhǔn)確性。圖7(a)將數(shù)值仿真所得雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的力-位移曲線和試驗(yàn)進(jìn)行了比較，可明顯看出兩者具有較高的吻合度。由于現(xiàn)場試驗(yàn)情況的復(fù)雜性，數(shù)值仿真的力-位移曲線無法與試驗(yàn)完全一致。雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的外管在整個(gè)壓縮過程中吸收了80.12 kJ的能量，而其余部分僅吸收了3.04 kJ的能量(隔板和端板分別吸收了2.99 kJ和0.05 kJ),如圖7(b)所示。

(a) 仿真和試驗(yàn)的力-位移曲線

(b) 外管和其余部分吸能量圖7 數(shù)值仿真與試驗(yàn)結(jié)果曲線Fig.7 Result curves of numerical simulation and test

表2將雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管數(shù)值仿真和試驗(yàn)的EA和PCF進(jìn)行了對(duì)比，誤差均不超過2%。其中，雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管數(shù)值仿真的吸能量為83.16 kJ，而傳統(tǒng)矩形管數(shù)值仿真的吸能量為62.31 kJ。因此，當(dāng)兩者壓縮至行程終點(diǎn)時(shí)，雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管較傳統(tǒng)矩形管而言，能夠吸收更多的能量。雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管和傳統(tǒng)矩形管的質(zhì)量分別為16.1 kg和12.5 kg，可根據(jù)式(8)求得其比吸能分別為5.17 kJ/kg和4.98 kJ/kg，故雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的比吸能高于傳統(tǒng)矩形管。

表2 仿真與試驗(yàn)的耐撞性指標(biāo)對(duì)比

圖8中前兩行對(duì)比了雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管在試驗(yàn)和數(shù)值仿真過程中三個(gè)時(shí)間點(diǎn)的壓縮變形，兩者呈現(xiàn)出很好的一致性。由圖中可看出雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管在壓頭的軸向加載下，每相鄰的隔板與端板或相鄰隔板之間形成一個(gè)褶皺，褶皺自壓頭一側(cè)向左依次形成，呈現(xiàn)穩(wěn)定而規(guī)律的變形模式。當(dāng)壓縮至行程終點(diǎn)即400 mm時(shí)，雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管共形成了五個(gè)褶皺。圖8中第三行為傳統(tǒng)矩形管在數(shù)值仿真過程中的壓縮變形，可發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)矩形管的變形不如雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管緊湊，在壓縮至行程終點(diǎn)時(shí)傳統(tǒng)矩形管僅形成了四個(gè)褶皺。

從以上的對(duì)比分析可得出，無論是力-位移曲線和耐撞性指標(biāo)，還是變形模式，雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管準(zhǔn)靜態(tài)壓縮的試驗(yàn)結(jié)果均驗(yàn)證了有限元模型的準(zhǔn)確性。相較于傳統(tǒng)矩形管，雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管變形更為緊湊，能夠在相同壓縮行程下形成更多的褶皺，具有更高的吸能量和比吸能，因此雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管多方面的耐撞性能均優(yōu)于傳統(tǒng)矩形管。

圖8 試驗(yàn)和數(shù)值仿真的變形過程對(duì)比Fig.8 Comparison of deformation processes betweenexperiment and numerical simulation

3 多目標(biāo)優(yōu)化

3.1 優(yōu)化問題的提出

在耐撞性設(shè)計(jì)中，要求吸能結(jié)構(gòu)具有盡可能高的SEA，因此優(yōu)化的第一個(gè)目標(biāo)為最大化SEA[23]。同時(shí)，PCF需要盡可能減小，以避免碰撞發(fā)生時(shí)減速度過大而導(dǎo)致乘員傷亡慘重，故優(yōu)化的第二個(gè)目標(biāo)為最小化PCF。此外，根據(jù)該地鐵車輛的能量吸收分配方案，在優(yōu)化中約束EA須不低于75 kJ，以確保雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管在規(guī)定壓縮行程內(nèi)吸收足夠的能量。以上多目標(biāo)優(yōu)化問題在數(shù)學(xué)上定義如下：

(10)

3.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

外管由有錐度的一組對(duì)稱面和無錐度的一組對(duì)稱面組成，有錐度的對(duì)稱面的厚度定義為設(shè)計(jì)變量A，無錐度的對(duì)稱面的厚度定義為設(shè)計(jì)變量B，變化范圍均為1～5 mm。隔板的厚度定義為設(shè)計(jì)變量C，變化范圍為2～6 mm。三個(gè)設(shè)計(jì)變量的變化范圍覆蓋了此類吸能結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中的常用厚度區(qū)間[24]。EA、SEA和PCF被設(shè)為三個(gè)輸出響應(yīng)，壓縮行程與試驗(yàn)和仿真相同，設(shè)定為400 mm。

試驗(yàn)設(shè)計(jì)基于拉丁超立方采樣而建立。拉丁超立方采樣是一種從多元參數(shù)分布中近似隨機(jī)抽樣的方法，屬于分層抽樣技術(shù)，常用于計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)或蒙特卡洛積分等。在統(tǒng)計(jì)抽樣中，拉丁方陣是指每行、每列僅包含一個(gè)樣本的方陣。拉丁超立方則是拉丁方陣在多維中的推廣，每個(gè)與軸垂直的超平面最多含有一個(gè)樣本。表3列出了應(yīng)用拉丁超立方采樣而獲得的三組設(shè)計(jì)變量的不同取值組合，并基于已驗(yàn)證的有限元模型求出對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)。

表3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)矩陣

3.3 代理模型與誤差分析

由于實(shí)際工程中復(fù)雜產(chǎn)品的物理模型往往非常復(fù)雜，設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)性能之間通常不具有顯式的函數(shù)關(guān)系式，且表現(xiàn)為多參數(shù)、高維數(shù)、強(qiáng)非線性問題。為了能高效、準(zhǔn)確地獲得優(yōu)化結(jié)果，利用代理方法對(duì)離散的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，在不降低模型精度情況下建立高效的模型來替代實(shí)際模型，這類模型也稱作是代理模型。徑向基函數(shù)是一種高效的代理方法，尤其是在對(duì)SEA的預(yù)測上，擁有良好的精確性，故被選用于本文以建立代理模型。

平均相對(duì)誤差A(yù)RE(average relative error)，最大相對(duì)誤差MRE(maximum relative error)和確定系數(shù)R2用于衡量代理模型的精確度，在數(shù)學(xué)上定義如下

(11)

(12)

(13)

表4 代理模型的誤差分析結(jié)果

3.4 參數(shù)研究

分別以三個(gè)設(shè)計(jì)變量中的一個(gè)作為自變量，將其余兩個(gè)設(shè)計(jì)變量設(shè)定為各自變化范圍的中間值，根據(jù)代理模型得到各輸出響應(yīng)的變化情況；再將各個(gè)自變量按比例換算為厚度級(jí)別，其中自變量的中間值的厚度級(jí)別設(shè)為0，最小值和最大值分別設(shè)為-1和+1，從而得到圖9所示的輸出響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量的關(guān)系曲線圖。為得到各輸出響應(yīng)的三維云圖，將一個(gè)設(shè)計(jì)變量設(shè)定為其變化范圍的中間值，另外兩個(gè)設(shè)計(jì)變量均作為自變量，根據(jù)代理模型構(gòu)建圖10中的各響應(yīng)面。

(a) 設(shè)計(jì)變量與吸能量(b) 設(shè)計(jì)變量與比吸能(c) 設(shè)計(jì)變量與峰值力

由圖9(a)可見：EA隨設(shè)計(jì)變量A和B的增加而單調(diào)遞增；EA隨著設(shè)計(jì)變量C的增加，先增長而后略微有下降的趨勢。由圖10(a)可看出，在B設(shè)定為3 mm時(shí)，EA隨A的增加而增加，隨C的增加而先增后減；在A為5 mm且C大約為4 mm時(shí)，EA達(dá)到最大。

與EA相似，圖9(b)中SEA隨設(shè)計(jì)變量A和B的增加而單調(diào)遞增；SEA隨著C的增加而先增后減。由圖10(b)可看出，在A設(shè)定為3 mm時(shí)，SEA隨B的增加而增加，隨C的增加而先增后減；在B為5 mm且C大約為3.5 mm時(shí)，SEA達(dá)到最大。

PCF隨三個(gè)設(shè)計(jì)變量的增加均保持單調(diào)遞增，如圖9(c)所示，但C增長至5.5 mm附近時(shí)，PCF的增長趨勢明顯放緩而趨于平穩(wěn)。由圖10(c)可看出，在C設(shè)定為4 mm時(shí)，PCF隨A和B的增加而增加，在A和B均為5 mm時(shí)，PCF達(dá)到最大。

從圖9可看出，根據(jù)曲線斜率的絕對(duì)值，設(shè)計(jì)變量對(duì)EA、SEA以及PCF的影響程度從大到小依次排序均為B、A、C。

3.5 優(yōu)化算法

遺傳算法是當(dāng)前較為流行的一種優(yōu)化方法，派生于自然選擇法則和生物進(jìn)化的遺傳機(jī)制。遺傳算法可以確定空間里的所有解，并且不會(huì)在局部優(yōu)化時(shí)陷入快速衰退的陷阱，具有很強(qiáng)的全局搜索能力。本文所采用的多目標(biāo)遺傳算法是為解決多目標(biāo)優(yōu)化問題而對(duì)遺傳算法進(jìn)行的擴(kuò)展。在有多個(gè)目標(biāo)時(shí)，由于存在目標(biāo)之間的沖突和無法比較的現(xiàn)象，一個(gè)解在某個(gè)目標(biāo)上是最好的，在其他的目標(biāo)上可能是最差的。這些在改進(jìn)任何目標(biāo)函數(shù)的同時(shí)，必然會(huì)削弱至少一個(gè)其他目標(biāo)函數(shù)的解稱為非支配解或帕累托解，一組目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的集合稱為帕累托前沿。在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，有不止一個(gè)目標(biāo)函數(shù)需要最大化或者最小化，因此最終目的不是尋求單個(gè)最優(yōu)解而是尋求帕累托前沿。表5羅列了本文所使用多目標(biāo)遺傳算法的參數(shù)定義，圖11為多目標(biāo)優(yōu)化算法的流程圖。

(a) 吸能量三維云圖(b) 比吸能三維云圖(c) 峰值力三維云圖

表5 多目標(biāo)遺傳算法的參數(shù)定義

圖11 多目標(biāo)遺傳算法流程圖Fig.11 Flowchart of multi-objective genetic algorithm process

3.6 結(jié)果驗(yàn)證及討論

多目標(biāo)優(yōu)化所得的帕累托前沿如圖12所示，雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的比吸能與峰值力呈正相關(guān)，故最大化比吸能和最小化峰值力這兩個(gè)目標(biāo)具有互斥性[15]。盡管如此，圖中圈內(nèi)的點(diǎn)相較于優(yōu)化前結(jié)果而言，均實(shí)現(xiàn)了更高的比吸能以及更低的峰值力，而圈外的其余點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)方案則是對(duì)兩個(gè)目標(biāo)之一起到了明顯的優(yōu)化效果。

圖12 多目標(biāo)優(yōu)化帕累托前沿Fig.12 Pareto front of MOO

對(duì)于帕累托前沿中具體設(shè)計(jì)方案的選擇，則可根據(jù)實(shí)際工程中的需求對(duì)各目標(biāo)進(jìn)行權(quán)重分配，式(14)中的權(quán)函數(shù)取最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)方案即為該權(quán)重分配準(zhǔn)則下的最優(yōu)解。

f(x)=

(14)

式中：SEA(x)和PCF(x)為帕累托前沿中各設(shè)計(jì)方案對(duì)應(yīng)的SEA和PCF的值；SEAU和SEAL分別為試驗(yàn)設(shè)計(jì)中SEA的上限和下限；PCFU和PCFL分別為試驗(yàn)設(shè)計(jì)中PCF的上限和下限；W1和W2分別為分配給SEA和PCF的權(quán)重因子。

本文對(duì)三種權(quán)重分配準(zhǔn)則的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行求取，第一種權(quán)重分配準(zhǔn)則更偏向于提升SEA，故設(shè)定W1=0.7且W2=0.3；第二種權(quán)重分配準(zhǔn)則無偏向性，故設(shè)定W1=0.5且W2=0.5；第三種權(quán)重分配準(zhǔn)則更偏向于降低PCF，故設(shè)定W1=0.3且W2=0.7。求取的各權(quán)重分配準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如表6所示，并根據(jù)各方案對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量取值進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)果表明三種權(quán)重分配準(zhǔn)則所對(duì)應(yīng)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的比吸能和峰值力的預(yù)測誤差均小于百分之四，從而驗(yàn)證了代理模型的準(zhǔn)確性。

表6 各權(quán)重分配準(zhǔn)則的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案及驗(yàn)證

4 結(jié) 論

本文提出一種用于某地鐵列車碰撞吸能的雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管。通過準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓縮試驗(yàn)驗(yàn)證有限元分析的準(zhǔn)確性，采用拉丁超立方采樣進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，根據(jù)徑向基函數(shù)獲得代理模型，從而分析各變量對(duì)響應(yīng)的影響，并以最大化比吸能和最小化峰值力為目標(biāo)，對(duì)雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究結(jié)果表明:

(1) 通過數(shù)值仿真對(duì)雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管進(jìn)行耐撞性分析，所得到的力-位移曲線、耐撞性響應(yīng)以及變形模式等結(jié)果均與準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓縮試驗(yàn)有著良好的一致性，驗(yàn)證了所建立的有限元模型的準(zhǔn)確性。雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管在準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓縮下呈現(xiàn)出規(guī)律而穩(wěn)定的變形，具有較為理想的耐撞性響應(yīng)。

(2) 對(duì)比雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管與傳統(tǒng)矩形管準(zhǔn)靜態(tài)壓縮的數(shù)值仿真結(jié)果，發(fā)現(xiàn)雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管較傳統(tǒng)矩形管而言，變形更為緊湊，在相同壓縮行程下能形成更多褶皺，吸能量和比吸能均更高，故雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管具有更優(yōu)的耐撞性能。

(3) 各設(shè)計(jì)變量對(duì)吸能量、比吸能以及峰值力的影響程度從大到小依次排序均為無錐度外管對(duì)稱面厚度、有錐度外管對(duì)稱面厚度、隔板厚度。其中無錐度外管對(duì)稱面厚度和有錐度外管對(duì)稱面厚度對(duì)三個(gè)響應(yīng)均產(chǎn)生正相關(guān)的影響。隨著隔板厚度的增加，吸能量和比吸能先增加而后呈現(xiàn)減小的趨勢，峰值力先增加而后趨于穩(wěn)定。

(4) 多目標(biāo)優(yōu)化后得到的帕累托前沿表明，最大化比吸能和最小化峰值力這兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)具有互斥性，因而無法同時(shí)達(dá)到最優(yōu)解。盡管如此，帕累托前沿中的部分設(shè)計(jì)方案相較于優(yōu)化前而言，能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)更高的比吸能以及更低的峰值力。根據(jù)實(shí)際工程中的不同需求，可為各目標(biāo)進(jìn)行相應(yīng)的權(quán)重分配，并通過求取權(quán)函數(shù)最大值，能夠?qū)崿F(xiàn)不同權(quán)重分配準(zhǔn)則的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的選擇。因此，本文多目標(biāo)優(yōu)化有效提升了雙錐內(nèi)嵌隔板矩形管的耐撞性，具有較大的工程價(jià)值。