齊 暢 劉利利 李春雨 朱雨辰 張丹丹 王志強(qiáng) 李秀君△

【提 要】 目的 研究季節(jié)性自回歸分?jǐn)?shù)差分移動(dòng)平均(SARFIMA)模型預(yù)測(cè)腎綜合征出血熱(HFRS)發(fā)病率的效果，并與SARIMA模型進(jìn)行比較。方法 收集山東省2009年1月至2018年12月HFRS月發(fā)病數(shù)據(jù)，考慮時(shí)間序列的短記憶性和長(zhǎng)記憶性，構(gòu)建SARFIMA模型，以SARIMA模型作為對(duì)比，比較兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。結(jié)果 山東省2009-2018年HFRS月發(fā)病率具有明顯周期性和季節(jié)性特征。模型評(píng)估表明，SARFIMA模型具有更好的擬合度和預(yù)測(cè)能力。SARFIMA(1，0.33，3)(1，0，0)12：AIC=-629.76;RMSE=0.028;SARIMA(1，0，3)(1，1，0)12：AIC=-356.43;RMSE=0.033。結(jié)論 SARFIMA模型能較好地?cái)M合山東省HFRS月發(fā)病率的動(dòng)態(tài)變化，且預(yù)測(cè)效果優(yōu)于SARIMA模型。因此，SARFIMA模型可用于HFRS發(fā)病率的預(yù)測(cè)。

腎綜合征出血熱(hemorrhagic fever with renal syndrome，HFRS)是一種自然疫源性疾病，在世界各地廣泛流行，并且報(bào)告HFRS的國(guó)家數(shù)量不斷增加[1]。中國(guó)是疫情最嚴(yán)重的國(guó)家[2]，其中山東省自1962年報(bào)告第一例HFRS以來(lái)，一直是發(fā)病最嚴(yán)重的地區(qū)之一[3]。時(shí)間序列分析被廣泛用于傳染病預(yù)測(cè)研究[4-6]，其中，季節(jié)性自回歸移動(dòng)平均(seasonal autoregressive integrated moving average，SARIMA)模型已用于預(yù)測(cè)許多傳染病的短期波動(dòng)[7-9]。SARIMA模型的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和操作相對(duì)簡(jiǎn)單易行，定量預(yù)測(cè)結(jié)果較為準(zhǔn)確[10]。然而，在許多時(shí)間序列中存在長(zhǎng)記憶過(guò)程[11]，盡管長(zhǎng)期觀(guān)測(cè)值之間的相關(guān)性很小，但在分析時(shí)不應(yīng)被忽略[12-13]。季節(jié)性自回歸分?jǐn)?shù)差分移動(dòng)平均(seasonal autoregressive fractionally integrated moving average，SARFIMA)模型同時(shí)考慮了序列的短記憶性和長(zhǎng)記憶性，有助于提高模型擬合和預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性[14]。

本研究將SARFIMA模型應(yīng)用于HFRS月發(fā)病率序列，同時(shí)考慮序列的短記憶性和長(zhǎng)記憶性以進(jìn)行更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。

資料與方法

1.研究資料

收集山東省2009年1月至2018年12月HFRS的發(fā)病報(bào)告數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于山東省疾病預(yù)防控制中心疾病報(bào)告信息系統(tǒng)。病例診斷標(biāo)準(zhǔn)為《流行性出血熱診斷標(biāo)準(zhǔn)》(WS278-2008)。人口數(shù)據(jù)來(lái)源于《山東統(tǒng)計(jì)年鑒》。

2.SARFIMA模型介紹

ARFIMA模型由Granger于1980年提出[15-16]，Porter-Hudak于1990年對(duì)其進(jìn)一步擴(kuò)展，提出了SARFIMA模型[17]。長(zhǎng)記憶性序列的自相關(guān)函數(shù)的衰減比短記憶性序列所具有的幾何衰減慢，稱(chēng)為雙曲線(xiàn)衰減。SARFIMA模型允許對(duì)序列進(jìn)行分?jǐn)?shù)差分，從而使差分參數(shù)d可以采用分?jǐn)?shù)值，同時(shí)考慮了序列的季節(jié)性。

簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)差分的季節(jié)性類(lèi)似模型如下：

(1-Bs)dxt=εt

(1)

其中d是分?jǐn)?shù)差分分量，d∈(-0.5，0.5)，將模型(1)推廣為具有分?jǐn)?shù)差分季節(jié)性分量的模型，即SARFIMA模型，可以表示為：

(1-Bs)dΩ(B)xt=Θ(B)εt

(2)

其中Ω(B)和Θ(B)分別是自回歸多項(xiàng)式和移動(dòng)平均多項(xiàng)式(均包括季節(jié)分量)。d取整數(shù)值時(shí)將簡(jiǎn)化為SARIMA模型。對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程，d在-0.5到0.5之間變化，其中d=0表示短記憶性，-0.50.5，則表示一個(gè)長(zhǎng)記憶性時(shí)間序列[20]。

3.建立模型

山東省2009年1月至2018年12月HFRS月發(fā)病率根據(jù)山東省同期人口數(shù)求得。用Hurst指數(shù)檢驗(yàn)HFRS月發(fā)病率序列的長(zhǎng)記憶性。如果序列具有足夠強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性，則可以構(gòu)建SARFIMA模型。繪制HFRS月發(fā)病率的時(shí)序圖，并用單位根檢驗(yàn)(Augmented Dickey-Fuller，ADF)判斷其是否平穩(wěn)，若為非平穩(wěn)序列，通過(guò)差分轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列后，用季節(jié)性分解查看序列的季節(jié)性[21]。計(jì)算自相關(guān)系數(shù)(autocorrelation function，ACF)和偏自相關(guān)系數(shù)(partial autocorrelation function，PACF)，確定模型階數(shù)。在SARFIMA模型的擬合函數(shù)中指定模型階數(shù)和季節(jié)性分量?；诖嬖诙喾N模式的假設(shè)，SARFIMA擬合函數(shù)將從多個(gè)起點(diǎn)開(kāi)始優(yōu)化，通過(guò)比較對(duì)數(shù)似然值得到最優(yōu)模型[20]。同時(shí)建立SARIMA模型，利用赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion，AIC)比較兩者的擬合優(yōu)度。建模步驟如圖1。

圖1 SARFIMA模型建模步驟

4.統(tǒng)計(jì)學(xué)處理

采用R軟件(3.6.0版)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)建模采用“arfima”和“ts”程序包。2009年1月至2017年12月的數(shù)據(jù)用于構(gòu)建模型，2018年1月至12月的數(shù)據(jù)用于驗(yàn)證預(yù)測(cè)。假設(shè)檢驗(yàn)的水準(zhǔn)為0.05。

結(jié) 果

山東省2009-2018年HFRS月發(fā)病率呈現(xiàn)明顯的周期性和季節(jié)性(圖2)。2010年2月發(fā)病率最低，為0.02/10萬(wàn)，2012年11月發(fā)病率最高，為0.48/10萬(wàn)。ADF檢驗(yàn)表明原序列平穩(wěn)(Dickey-Fuller=-3.95，P=0.01)，不需要進(jìn)行差分。原序列的ACF和PACF圖顯示了季節(jié)性滯后的緩慢衰減(圖3)。使用季節(jié)性差分(在滯后12個(gè)周期后減去觀(guān)測(cè)值)消除季節(jié)性特征。季節(jié)差分序列的ACF和PACF有一些明顯的峰值。由此確定AR(p)和MA(q)的階數(shù)。Hurst指數(shù)(H=0.68>0.5)表明HFRS序列具有較強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性。SARFIMA模型計(jì)算了非季節(jié)性和季節(jié)性分?jǐn)?shù)差分參數(shù)，并通過(guò)比較模型的對(duì)數(shù)似然值，得到SARFIMA擬合的最佳模型SARFIMA(1，0.33，3)(1，0，0)12，AIC =-629.76，模型表達(dá)式為(1+0.959B)(1-0.305B12)(1-B)0.325xt=(1+1.590B+0.611B2-0.020B3)εt。殘差圖和Ljung-Box檢驗(yàn)表明殘差是白噪聲。作為對(duì)比，我們同時(shí)構(gòu)建了SARIMA模型SARIMA(1，0，3)(1，1，0)12，AIC=-356.43。

圖2 山東省2009-2018年HFRS月發(fā)病率時(shí)序圖與季節(jié)性分解圖

圖3 序列自相關(guān)圖(ACF)和偏自相關(guān)圖(PACF)

圖4顯示了兩個(gè)模型的擬合與預(yù)測(cè)效果，從圖中可以看出，兩個(gè)模型的擬合值與原序列的接近程度相當(dāng)。SARFIMA模型的預(yù)測(cè)趨勢(shì)比SARIMA更接近實(shí)際值，95%置信區(qū)間比SARIMA窄，并且其區(qū)間覆蓋了所有實(shí)際值。通過(guò)RMSE、MAE和MAPE對(duì)兩個(gè)模型的比較，可以發(fā)現(xiàn)SARFIMA模型對(duì)HFRS序列的預(yù)測(cè)更準(zhǔn)確(表1)。

圖4 HFRS月發(fā)病率擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果

表1 SARFIMA和SARIMA模型的準(zhǔn)確性比較

討 論

山東省是我國(guó)HFRS發(fā)病最多的省份之一，分析預(yù)測(cè)山東省HFRS的發(fā)病趨勢(shì)具有重要的公共衛(wèi)生意義，可以為疾病防控提供依據(jù)。時(shí)間序列將各種因素的綜合效應(yīng)歸于時(shí)間變量中，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的規(guī)律，建立模型進(jìn)行外推[22]。SARIMA模型是常見(jiàn)的時(shí)間序列分析方法之一，被廣泛用于傳染病預(yù)測(cè)。對(duì)于具有長(zhǎng)記憶性的時(shí)間序列，SARFIMA可能比SARIMA模型的預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確[23]。本研究分析了山東省HFRS月發(fā)病率的季節(jié)性與長(zhǎng)期趨勢(shì)，并對(duì)SARIMA與SARFIMA模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行了比較。

基于足夠的觀(guān)察(觀(guān)測(cè)值大于50)所構(gòu)建的時(shí)間序列模型可以獲得較為滿(mǎn)意的預(yù)測(cè)結(jié)果[10]。若觀(guān)測(cè)數(shù)較少，則參數(shù)估計(jì)效果較差。對(duì)于SARFIMA模型，應(yīng)考慮數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度大，并且其長(zhǎng)期記憶性較強(qiáng)。在我們的研究中，用于構(gòu)建模型的HFRS數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度為108，時(shí)間跨度為2009年1月至2017年12月，Hurst指數(shù)顯示其長(zhǎng)記憶性較強(qiáng)。山東省HFRS月發(fā)病率的季節(jié)性明顯，存在一個(gè)較高的秋冬峰與一個(gè)較低的春峰。研究中的兩個(gè)模型均考慮了季節(jié)性成分，并取得了良好的擬合效果。模型構(gòu)建的結(jié)果表明，在模型擬合中考慮分?jǐn)?shù)差分的SARFIMA模型優(yōu)于SARIMA模型，AIC差值為73.33，擬合效果得到了提升。通過(guò)比較兩個(gè)模型的精度指標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，SARFIMA的預(yù)測(cè)效果明顯優(yōu)于SARIMA。

Granger和Joyeux提出，ARFIMA可能會(huì)提供更好的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)[11]。因此，我們對(duì)HFRS月發(fā)病率進(jìn)行了長(zhǎng)期預(yù)測(cè)(以3年預(yù)測(cè)為例)，SARFIMA與SARIMA的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性相當(dāng)，SARFIMA的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)沒(méi)有明顯優(yōu)勢(shì)，超過(guò)12步(1年)的預(yù)測(cè)值比真實(shí)值要低，偏差較大。可能根據(jù)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行估算的模型，預(yù)測(cè)時(shí)間越長(zhǎng)，預(yù)測(cè)誤差越大[24]，此外我們的數(shù)據(jù)有限，根據(jù)更多的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)得到的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)結(jié)果可能更好，傳染病受多種因素影響，進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)時(shí)，變動(dòng)分量會(huì)更大。

SARFIMA模型作為時(shí)間序列分析方法，有其自身的局限性。由于HFRS等傳染病受多種因素的影響，各種影響因素隨時(shí)間而不斷變化，所以SARFIMA模型更適用于影響因素較為穩(wěn)定的短期預(yù)測(cè)。因?yàn)槟Ｐ蜔o(wú)法將影響發(fā)病的其它因素納入模型，所以其預(yù)測(cè)精度有限。在以后的研究中，可以將SARFIMA-X模型與其他外生解釋變量進(jìn)行擬合[25]，或者與其他預(yù)測(cè)模型相結(jié)合[11]，作進(jìn)一步的探索。

本研究通過(guò)對(duì)山東省HFRS月發(fā)病率數(shù)據(jù)建立SARFIMA模型進(jìn)行擬合及預(yù)測(cè)，并與SARIMA模型進(jìn)行比較，證實(shí)了SARFIMA模型能較好地?cái)M合山東省HFRS月發(fā)病率的動(dòng)態(tài)變化，且預(yù)測(cè)效果優(yōu)于SARIMA模型，可用于HFRS發(fā)病率的短期預(yù)測(cè)。