廣東省廣州市南沙東涌中學(xué)(511453) 麥鳳珊

2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中,“幾何直觀”以核心概念的“身份”出現(xiàn),發(fā)展學(xué)生的幾何直觀成為課改的重要目標(biāo)之一,明確指出: 幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題,借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象.2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中確立“直觀想象”是六個核心素養(yǎng)之一,直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化, 利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).由此可見,在中學(xué)階段發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要性,幾何直觀是中學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)實驗,是指學(xué)生利用相關(guān)實驗工具,如紙張、模具、測量軟件(工具)、作圖工具、計算器(機)等,在一定的實驗環(huán)境或條件下進行的數(shù)學(xué)思維活動,其目的在于通過實驗獲取某些數(shù)學(xué)知識或驗證某個數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)結(jié)論,解決一些數(shù)學(xué)問題,是一種以學(xué)生親身動手參與實驗操作為特征的數(shù)學(xué)探究實踐活動.數(shù)學(xué)實驗對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀有其獨特的作用,數(shù)學(xué)實驗?zāi)馨殉橄?、?fù)雜的數(shù)學(xué)知識以生動、直觀的形象展現(xiàn)于學(xué)生面前,使抽象的內(nèi)容直觀化、具體化,幫助學(xué)生更好地理解、掌握數(shù)學(xué)知識.借助數(shù)學(xué)實驗發(fā)展學(xué)生幾何直觀已成為了一條重要的途徑.

1 利用折紙實驗,發(fā)展幾何直觀

幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力方面有著重要的教育價值和作用,幾何直觀為邏輯推理提供有力的支撐,學(xué)生通過所看到的圖形可以進行思考、想象.一直以來,初中學(xué)生感覺學(xué)習(xí)幾何是困難的,尤其是立體幾何更是頭痛.因為初中學(xué)生的理解能力、認(rèn)知能力大部分還建立在直觀操作、動手實踐的基礎(chǔ)上,要解決初中學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的困難,就必須使幾何變得形象和直觀.數(shù)學(xué)實驗就是將抽象難以理解的數(shù)學(xué)問題,借助幾何圖形形象直觀地呈現(xiàn)出來,讓數(shù)學(xué)問題變得更形象、更直觀、更具體.

案例1 折紙?zhí)骄空襟w平面展開圖

實驗準(zhǔn)備剪刀、印有平面展開圖的紙片.

實驗內(nèi)容及步驟

1.如圖1,先觀察圖形,思考下面哪些圖形可以折成一個正方體?

圖1

2.動手做一做,驗證你的想法,結(jié)合上面的思考與實驗操作你能得到什么結(jié)論?

3.以下是正方體的展開圖,請說出各組相對的面的文字;動手做一做,驗證你的想法.

圖2

設(shè)計說明: 發(fā)展幾何直觀通常以圖形為載體,初一學(xué)生的空間想象能力偏弱,設(shè)計一些觀察、動手操作的活動進行實驗.利用平面圖形的折疊實驗探究,通過觀察、分析、猜想、驗證、推理、反思等一系列實驗活動,讓學(xué)生經(jīng)歷“直觀感知→實驗操作→推理論證→得出結(jié)論”的過程,從具體到抽象,再從抽象到具體的螺旋式上升過程,從簡單關(guān)系到復(fù)雜關(guān)系,進而深層次地理解和重建新的知識;讓學(xué)生通過觀察、操作、實驗,經(jīng)歷和體驗圖形的變化過程,感受立體圖形與平面圖形之間的直觀轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力、幾何直觀,發(fā)展學(xué)生空間的觀念.

2 利用拼圖實驗,發(fā)展幾何直觀

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,學(xué)生往往會對一些數(shù)學(xué)定理、公式或概念的本質(zhì)屬性理解不夠,從而造成認(rèn)知困惑,進而產(chǎn)生數(shù)學(xué)很抽象、難于理解的感覺.其實,很多的概念、法則、定理、公式都能用相應(yīng)的幾何圖形進行解釋,數(shù)學(xué)家黎曼曾說:每個數(shù)學(xué)公式背后都有反映其本質(zhì)的幾何模型.數(shù)學(xué)實驗可以發(fā)揮其重要作用,把抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)為形象直觀的,借助圖形對其進行直觀化推理教學(xué),可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題提供必要的幫助,加深學(xué)生對知識的理解和運用,更能發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.

案例2 拼圖驗證公式:a2?b2=(a+b)(a ?b)

實驗準(zhǔn)備剪刀、正方形紙片.

實驗內(nèi)容及步驟

實驗探究一:

1.如圖3,在邊長為a的正方形中剪下一個邊長為b的正方形(a > b),則余下面積為:____.

2.探究:

(1)如圖4, 沿虛線部分把紙片剪開,得到兩塊長方形紙片;

圖3

(2)把小長方形紙片與大長方形紙片重新組合成一個新的長方形,如圖5;

(3)可得新的長方形的面積為:____.

由此可得結(jié)論:____.

圖4

圖5

設(shè)計說明: 數(shù)學(xué)實驗常以裁剪、拼接為載體,引導(dǎo)學(xué)生動手操作,自主探究,通過觀察圖形,計算陰影部分的面積,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進行歸納,初步感受平方差公式可以利用圖形的前后變化, 進行直觀的驗證.剪去小正方形后, 圖3 中余下的面積為a2?b2.把圖4 沿虛線剪開,拼成圖5 的長方形,其長為(a+b),寬為(a ?b),所以圖形面積為(a+b)(a ?b).而圖4、圖5 的面積是相等的, 由此可得出平方差公式:a2?b2=(a+b)(a ?b).

實驗探究二: 除上述拼接方法表示紙片的面積外,你還可以用怎樣的方法表示呢? 根據(jù)前后兩者圖形的變化,你還能驗證平方差公式嗎?

如圖6, 沿虛線部分把紙片剪開, 得到兩塊直角梯形紙片,把兩塊紙片按不同方式進行拼接,可以得到圖7 的矩形、圖8 的平行四邊形、圖9 的等腰梯形.

圖6

圖7

圖8

圖9

設(shè)計說明: 由圖7 可非常直觀地得出矩形的面積為(a+b)(a ?b);同樣,由圖8 也可直觀地得出平行四邊形的面積為(a+b)(a ?b); 圖9 中梯形的上下底長分別為2b、2a, 而梯形的高為a ?b, 根據(jù)梯形面積公式可知圖9 的面積為(2b+2a)(a ?b) = (a+b)(a ?b), 同樣可 得到:a2?b2=(a+b)(a ?b),因而平方差公式得到驗證.本實驗從另一角度進行探究驗證,無論怎樣拼接,都能得出平方差公式,讓學(xué)生進一步感受可以利用數(shù)學(xué)實驗驗證平方差公式,是如何此的直觀、快捷.

3 信息技術(shù)實驗,發(fā)展幾何直觀

華羅庚曾說:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”,一直以來,“數(shù)與代數(shù)”的知識給人以“符號化、抽象化”的特征,學(xué)生能利用圖形解決代數(shù)問題的觀念相對薄弱.數(shù)學(xué)實驗為數(shù)與形的轉(zhuǎn)化創(chuàng)造了條件,通過挖掘問題中所隱含的幾何背景,借助幾何直觀,促進學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展,關(guān)注數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,引導(dǎo)學(xué)生運用圖形的直觀性來研究和解決問題.

案例3 利用幾何畫板探究絕對值最小值

問題:a、b、c、x都是實數(shù), 并且a < b < c, 試求|x ?a|+|x ?b|+|x ?c|的最小值.

實驗準(zhǔn)備裝有幾何畫板的計算機.

實驗內(nèi)容及步驟

1.利用幾何畫板出直線l.

2.如圖10,在直線l上從左到右分別選取3 個點,分別標(biāo)為a、b、c(顯然,直線l被分成4 部分).

3.如圖11, 在直線l上任取一點, 標(biāo)為x, 利用幾何畫板的測量功能, 分別量出xa、xb、xc、ac的長度, 再計算出“xa+xb+xc”的長度(為了方便觀察,對相應(yīng)線段進行加粗,并配以不同的顏色以示區(qū)別).

4.在直線l移動x點,觀察“xa+xb+xc”的長度變化情況.

圖10

圖11

設(shè)計說明: 從數(shù)的角度去解決本問題,要運用實數(shù)絕對值的定義,分情況開絕對值的符號,要從x≤a、a < x≤b、bc這四種情況進行分析討論,運算過程相當(dāng)煩瑣.借助幾何畫板進行實驗探究,把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化圖形問題就容易多了,利用數(shù)軸將絕對值求和轉(zhuǎn)化為求線段的和,使問題變得非常直觀、簡潔.|x ?a|表示點x和點a之間的距離,|x ?a|+|x ?b|+|x ?c|表示了點x到點a、b、c的距離之和.顯然,這三條線段沒有重疊部分時和最小,此時x=b,這最小和為點a、c之間的距離,為|a ?c|=c ?a.借助幾何圖形的直觀性,將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象化、直觀化,實現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化,不僅把復(fù)雜的問題變得簡單,有利于分析問題,還可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀,拓展解題思路,掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法.

讓學(xué)生把握好函數(shù)與其圖象之間的關(guān)系,從中體會數(shù)形結(jié)合的思想以及掌握函數(shù)的性質(zhì)是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點之一.初中學(xué)生的抽象思維還相對較弱,在開始接觸函數(shù)時,大部分學(xué)生都難以理解函數(shù)及其圖象之間的相互聯(lián)系.為了直觀、生動地探究一次函數(shù)圖象及其性質(zhì),讓學(xué)生借助幾何畫板進行實驗探究,通過參數(shù)數(shù)值的變化,可動態(tài)直觀展現(xiàn)函數(shù)圖象的變化,讓學(xué)生通過觀察圖形的變化與參數(shù)值的變化關(guān)系,動態(tài)地研究圖象的生成及變化,直觀地了解函數(shù)的性質(zhì),把抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為形象直觀.

案例4 探究一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

實驗準(zhǔn)備

先用幾何畫板做好一個可調(diào)節(jié)參數(shù)的一次函數(shù)圖像,讓學(xué)生通過拖動控制點,讓圖形動起來,這樣可以動態(tài)探究圖像的變化規(guī)律.

實驗內(nèi)容及步驟

實驗探究一: 探究一次函數(shù)y=kx+b(k ?=0)的圖像

1.先讓學(xué)生沿著x軸拖動點A進行移動(并提醒學(xué)生注意觀察畫面)形成如圖12 所示.

圖12

2.思考: 一次函數(shù)的圖象都是一條直線嗎? (讓學(xué)生利用幾何畫板隨機再多畫幾個一次函數(shù)進行探究驗證,讓學(xué)生親身體驗、感悟.)

設(shè)計說明: 讓學(xué)生借助幾何畫板的動態(tài)演示功能,觀察滿足函數(shù)關(guān)系式的點的坐標(biāo)與位置的動態(tài)變化,感受到無數(shù)個滿足條件的點形成的圖象是一條直線.讓學(xué)生真正認(rèn)識到一次函數(shù)的圖像是由無數(shù)個滿足函數(shù)關(guān)系式的點所組成的,突破傳統(tǒng)教學(xué)采用描幾個點所畫的圖象來猜測函數(shù)圖形的制約,讓學(xué)生直觀地看到一次函圖像動態(tài)生成的過程.

實驗探究二: 探究一次函數(shù)的性質(zhì)

1.探究一個一次函數(shù)的性質(zhì)

課前把幾何畫板設(shè)置好,讓學(xué)生利用幾何畫板進行自主探究,探究k、b值的變化對函數(shù)圖像的影響, 讓學(xué)生分別拖動點k、b,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真注意觀察k點、b點變化時一次函數(shù)圖像的變化情況,要求學(xué)生及時做好實驗數(shù)據(jù)記錄.函數(shù)值y、隨著自變量x的變化而變化的動態(tài)過程得到了充分的、直觀的演示(如圖13、圖14),這樣的操作實驗會在學(xué)生的大腦中留下深刻的印記.

圖13

圖14

2.探究兩個一次函數(shù)的關(guān)系

先利用幾何畫板做好兩個可調(diào)節(jié)參數(shù)的一次函數(shù),讓學(xué)生通過拖動k1、k2、k1、k2,分別探究1○k相同,b不同; 2○k不同,b相同的圖像之間的變化規(guī)律,如圖15、圖16.

設(shè)計說明: 采用傳統(tǒng)的教學(xué)手段,僅靠幾幅靜態(tài)圖形和教師講解很難反映出圖象變化的實質(zhì)和影響因素,不能直觀地觀察數(shù)量之間的關(guān)系,在實驗操作中引導(dǎo)學(xué)生思考:k、b的變化對一次函數(shù)的影響,讓學(xué)生總結(jié)出k、b的變化情況,形象直觀地感受k、b值對影響一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限等一系列結(jié)論,加深學(xué)生對一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解與掌握.這樣不需要教師多費言語進行講解歸納,學(xué)生也能根據(jù)圖象概括出一次函數(shù)的性質(zhì).

圖15

圖16

而數(shù)學(xué)實驗?zāi)芤砸粋€直觀形象的方式呈現(xiàn),為抽象的數(shù)學(xué)提供直觀;使靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài),使抽象的知識直觀化與具體化,為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供直觀形象的展現(xiàn);使抽象難懂的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗笾庇^的感性知識,通過借助形象直觀的數(shù)學(xué)思維促進學(xué)生把感性的知識上升為理性的知識.

4 關(guān)于發(fā)展幾何直觀的思考

4.1 抽象的數(shù)學(xué)需要幾何直觀

數(shù)學(xué)是集抽象思維和邏輯思維于一身的學(xué)科,對于初中學(xué)生來說, 他們的抽象思維能力還在逐步形成和成長之中,在思考數(shù)學(xué)問題時更多的是借助形象思維,借助實物操作或者具體的圖形、圖像.數(shù)學(xué)家希爾伯特曾指出: 圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題;有助于尋求解決問題的思路;有助于我們理解和記憶得到的結(jié)果.幾何直觀是人腦對圖形直接感知的一種思維活動,人們認(rèn)知事物,一般經(jīng)歷抽象→形象,再由形象→抽象的的思維過程.因此,幾何直觀能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維,從而更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué).

4.2 數(shù)學(xué)實驗發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力

2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)“動手實踐”是一種重要的學(xué)習(xí)方式,與其它自然科學(xué)一樣,可以進行觀察、猜想、驗證等數(shù)學(xué)實驗探究活動.人教社李海東強調(diào): 中學(xué)的幾何教學(xué)需要直觀實驗,不能只有直觀而沒有推理,也不能只重視推理而沒有直觀,要做好幾何直觀與邏輯推理的過渡,體現(xiàn)直觀實驗的教育價值.而數(shù)學(xué)實驗的實質(zhì)就是為學(xué)生提供了大量動手實踐操作的機會, 學(xué)生在動手中做數(shù)學(xué)、在動腦中思考數(shù)學(xué),在實驗活動中體驗數(shù)學(xué),主動探索發(fā)現(xiàn)和解決問題,提高了學(xué)生動手實踐能力、解決實際問題的能力.教學(xué)中恰當(dāng)運用數(shù)學(xué)實驗,通過操作演示或?qū)嶒烌炞C,將抽象轉(zhuǎn)化為形象直觀,使研究的問題變得顯而易見;引導(dǎo)學(xué)生通過圖形的直觀性去歸納、探究數(shù)學(xué)知識,或通過數(shù)學(xué)可視化的演示去驗證數(shù)學(xué)結(jié)論,就是讓學(xué)生借助幾何直觀的手段來理解、掌握抽象的知識,從而理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué).

4.3 信息技術(shù)為數(shù)學(xué)實驗的直觀教學(xué)開辟新天地

幾何直觀以圖形為載體,通過幾何圖形的運動、變換進行數(shù)學(xué)思考和想象.幾何畫板具有豐富的圖像功能,能畫出初中階段的所有函數(shù)圖像,通過參數(shù)數(shù)值的變化,可動態(tài)展現(xiàn)函數(shù)圖像的變化,讓學(xué)生通過觀察圖形的變化與參數(shù)值的變化關(guān)系,直觀地掌握函數(shù)的圖象變化規(guī)律及其性質(zhì);進行幾何的動態(tài)演示,使得直觀材料更加的生動、形象、準(zhǔn)確,增加了學(xué)生對具體圖形的直觀形象的體驗,使教學(xué)的問題變得更加形象,更加簡明,更加容易;幾何畫板融入了測量、運算等功能,使得教師不僅可以進行直觀地展示圖片,還可以進行定理、公理的直觀探究驗證.

數(shù)學(xué)實驗是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要途徑,數(shù)學(xué)實驗為數(shù)學(xué)教學(xué)提供直觀的展示,使抽象的數(shù)學(xué)直觀化、具體化,讓靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài)的過程,為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供直觀的材料,讓學(xué)生對原本抽象、難以理解的數(shù)學(xué)知識有了較為深刻的認(rèn)識.數(shù)學(xué)實驗讓數(shù)學(xué)更直觀、更易于理解,我們要重視數(shù)學(xué)實驗,借助數(shù)學(xué)實驗探究,發(fā)展學(xué)生幾何直觀.