王錦輝，孫存英，周 紅，王宇興

(上海交通大學(xué) 物理與天文學(xué)院，上海 200240)

單擺是一個(gè)非常經(jīng)典的物理實(shí)驗(yàn).小角度(擺角小于5°)擺動(dòng)可以認(rèn)為是作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)[1]，對(duì)周期進(jìn)行測(cè)量，可測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?此外還可研究大角度單擺和空氣阻尼情況下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.在新冠病毒疫情期間，眾多學(xué)校開設(shè)了單擺居家物理實(shí)驗(yàn).通常是將手機(jī)用細(xì)線固定起來，用手機(jī)中的加速度計(jì)測(cè)量擺動(dòng)周期[2]，亦有直接用手機(jī)秒表測(cè)量單擺擺動(dòng)周期.如果直接把手機(jī)作為單擺，因?yàn)槭謾C(jī)具有較大的迎風(fēng)面積，空氣阻尼將會(huì)造成較大影響.而利用手機(jī)秒表測(cè)量一個(gè)單擺的擺動(dòng)周期，手動(dòng)按停秒表亦會(huì)有測(cè)量誤差[3].

在本文中采用一塊小的磁性圖釘(釹鐵硼永磁體)作為擺，利用手機(jī)中的三軸磁傳感器(電子羅盤)來測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化來研究單擺運(yùn)動(dòng).

SebastianStaacks等人利用手機(jī)傳感器設(shè)計(jì)開發(fā)了手機(jī)物理實(shí)驗(yàn)軟件Phyphox(Physical phone experiments縮寫)[4].主界面如圖1(a)所示.其中Phyphox中磁力計(jì)可以通過訪問手機(jī)電子羅盤，直接測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度.圖1(b)中顯示了Phyphox所采用的坐標(biāo)系.

圖1 Phyphox智能手機(jī)APP

1 原理簡(jiǎn)述：

將細(xì)線一端懸于一個(gè)支點(diǎn)上，另一端固定一個(gè)永磁體作為擺，磁體NS極與擺線方向一致.磁體的尺度相對(duì)于擺長L來說小得多，可以看成質(zhì)點(diǎn)，擺線質(zhì)量不計(jì).則根據(jù)受力分析可推導(dǎo)出單擺運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

1.1 小角度無阻尼時(shí)

(3)

1.2 在大角度無阻尼情況時(shí)

(4)

解為[5]

θ=θmcos(ωt)+

(5)

其中

1.3 在小角度有阻尼時(shí)

式(2)解為

θ=θme-βtcos (ωt)

(6)

(7)

(8)

式(6)和(8)表明擺球擺動(dòng)的幅度呈現(xiàn)指數(shù)式減小，周期隨阻尼系數(shù)增加而增大.

但實(shí)際上擺角并不能用磁力計(jì)直接測(cè)量.將永磁鐵看成一磁偶極子Pm，方向沿?cái)[線方向.磁傳感器位于擺靜止時(shí)正下方h處.圖2為磁偶極子磁場(chǎng)模型.磁偶極子在磁傳感器K處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，距離為r.

圖2 磁偶極子磁場(chǎng)模型

(9)

則

(10)

(11)

(12)

對(duì)于小角度情況，根據(jù)式(12)，將式(10)、(11)中角度α、φ均用θ表示，在θ=0附近進(jìn)行泰勒展開(保留到二階).則

(13)

(14)

顯然，式(13)、(14)給出了手機(jī)磁傳感器測(cè)出的磁感應(yīng)強(qiáng)度與擺角的關(guān)系.

對(duì)于小角度有阻尼情況，可將式(6)代入式(13)和(14)，則

(15)

(16)

2 實(shí)驗(yàn)過程

如圖1(b)所示，將細(xì)線拴在強(qiáng)磁圖釘上，保證圖釘磁鐵NS極沿?cái)[長方向.細(xì)線固定在釘在墻上的鋼釘上.在手機(jī)上打開Phyphox手機(jī)APP，利用“斜面”工具判斷手機(jī)是否水平放置,用磁力計(jì)測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度.當(dāng)磁性圖釘沿x方向擺動(dòng)時(shí)，平移手機(jī)位置，使得y軸磁感應(yīng)強(qiáng)度接近0，z軸磁感應(yīng)強(qiáng)度最大時(shí)，手機(jī)磁傳感器位于單擺平衡位置的正下方.當(dāng)圖釘擺動(dòng)時(shí)，可明顯觀察到磁場(chǎng)周期性變化.整個(gè)實(shí)驗(yàn)在無風(fēng)的環(huán)境中進(jìn)行，并盡量避免單擺作圓錐擺動(dòng).

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 重力加速度測(cè)量

圖3顯示在小角度無阻尼情況下，Bz隨時(shí)間變化.此時(shí)L=121.20 cm.T=11.01*2/10=2.202 s，根據(jù)式(3)可計(jì)算g=9.868 m/s2，與標(biāo)準(zhǔn)值9.794 m/s2，相比相對(duì)誤差為0.8%.

圖3 單擺Bz隨時(shí)間變化

3.2 磁感應(yīng)強(qiáng)度波形隨時(shí)間變化關(guān)系

圖4(a)為最大擺角分別為1°、3°、5°、10°和15°情況下Bx測(cè)量值隨時(shí)間變化圖.從圖中可以看出當(dāng)最大擺角超過3°，測(cè)量出的Bx隨時(shí)間變化明顯偏離余弦函數(shù)，這是因?yàn)殡S最大擺角增大，式(10)所要求的小角近似不再滿足，

圖4 不同擺角下Bx隨時(shí)間變化關(guān)系

此時(shí)需要考慮大角度單擺運(yùn)動(dòng).由此可見利用磁傳感器很容易根據(jù)波形是否接近余弦函數(shù)來判斷單擺是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

根據(jù)(12)式，將(10)、(11)式中角度α、φ均用θ表示，且θ用(5)式表示.略去θm5次以上高次項(xiàng)，其中ω略去θm4次以上高次項(xiàng)，并代入式(10)，則可用matlab作出不同擺角的Bx隨時(shí)間的變化關(guān)系.如圖4(b)所示，理論計(jì)算值所得到的各種波形與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值基本一致，只是對(duì)應(yīng)的角度偏大，這可能是由于計(jì)算時(shí)略去高次項(xiàng)而導(dǎo)致的.

圖5為初始擺角為15°的單擺經(jīng)過t0時(shí)間后3 s內(nèi)的波形.隨著時(shí)間增加，由于空氣阻尼影響，單擺擺動(dòng)角度越來越小，Bx隨時(shí)間變化的波形也逐漸如圖4(a)變化.200 s以后波形接近正弦波形.此結(jié)果亦表明可以根據(jù)波形的變化定性判斷擺角的大小.

圖5 大角度單擺經(jīng)過t0時(shí)間后3 s內(nèi)的波形

3.3 阻尼運(yùn)動(dòng)

對(duì)最大擺角為1°的Bx在較長時(shí)間內(nèi)變化圖見圖6，可以看出幅度隨時(shí)間增加而減小.圖中粗黑線為用公式(15)中幅度隨時(shí)間變化關(guān)系對(duì)圖6中極值點(diǎn)進(jìn)行擬合，對(duì)上方和下方幅度極值擬合得到的β分別為1.266×10-2/s和8.81×10-3/s.Bz在較長時(shí)間內(nèi)變化圖見圖7，擬合得到的β為1.755×10-2/s.按照公式(15)和(16)，擬合得到的β值應(yīng)一致.實(shí)驗(yàn)中之所以產(chǎn)生上述差異，可能是由于磁傳感器并沒有理想地位于單擺平衡位置下方.另一方面磁性圖釘并非一個(gè)球體，在來回?cái)[動(dòng)時(shí)，迎風(fēng)面積也可能會(huì)有一點(diǎn)變化.盡管如此，從圖6和圖7中得到的阻尼系數(shù)數(shù)量級(jí)基本相同.

圖6 Bx隨時(shí)間變化關(guān)系

4 結(jié)論

綜上所述，利用手機(jī)磁傳感器研究磁性單擺運(yùn)動(dòng)，可以很大程度上減小空氣阻尼的影響，較為精確地測(cè)量重力加速度.只有最大擺角在1°以內(nèi)，而不是通常認(rèn)為的最大擺角5°以內(nèi)[1]，測(cè)量的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化滿足正弦規(guī)律，也就是磁感應(yīng)強(qiáng)度正比于擺角θ.最大擺角超過1°，磁感應(yīng)強(qiáng)度與時(shí)間變化關(guān)系可以用大角度單擺來解釋.利用磁偶極子模型可以分析磁性單擺磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化關(guān)系，擬合結(jié)果波形與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值一致.此結(jié)果表明利用磁傳感器研究單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，不能想當(dāng)然認(rèn)為磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化關(guān)系正比于擺角隨時(shí)間變化關(guān)系.這一結(jié)論也可推廣到利用其他傳感器如光探測(cè)器研究單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律上[6,7].另一方面也表明手機(jī)磁傳感器提供了一種新的方法，可以更為精確和清晰地判別單擺是否可以看作簡(jiǎn)諧振動(dòng).