王鶴蓉，關煥新，郭祎珅，楊 柏，吳 迪

（1.沈陽工程學院，遼寧 沈陽 110136；2.國網錦州供電公司，遼寧 錦州 121000；3.國網張掖供電公司，甘肅 張掖 734000；4.國網朝陽供電公司，遼寧 朝陽 122000）

0 引言

近年來，在電力電子技術的廣泛應用下，非線性負載逐漸增多，隨之產生大量諧波，不僅影響智能變電站和換流站中某些設備運行，更有可能危及電力系統(tǒng)的安全。為減少諧波產生的危害，提高諧波檢測中各項參數(shù)的準確度成為重要的研究內容。目前，國內外針對諧波檢測研究的方法有快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）［1］、瞬時無功功率［2］、小波變換［3］、人工神經網絡［4］等。其中，快速傅里葉變換（FFT）諧波檢測法被廣泛應用，但信號一般很難做到同步采樣，采用此方法時會產生頻譜泄漏和柵欄效應，給諧波檢測造成誤差。通過對信號加窗函數(shù)的方法能改善頻譜泄漏造成的誤差，譜線插值算法能減少柵欄效應產生的誤差［5］。常用的窗函數(shù)有矩形窗［6］、海明窗［7］、Hanning 窗［8］、Kaiser 窗［9］、Blackman 窗［10］、Nuttall 窗［11］等。不同窗函數(shù)的特性決定頻譜泄漏的改善效果。一般而言，主瓣窄而旁瓣衰減速率快的窗函數(shù)能夠有效地抑制頻譜泄漏的問題，文獻［12］提出了用若干個卷積窗的卷積運算構造出一類新的窗函數(shù)并稱其為卷積窗，文獻［13］通過分析凱塞窗函數(shù)的主瓣與旁瓣衰減可自由選擇的特性，提出了凱塞窗插值FFT 方法。但就單一的窗函數(shù)來說，主瓣較窄的窗函數(shù)往往旁瓣特性較差。文獻［14-16］分別提出了Hanning 自卷積窗算法、Nuttall 自卷積窗算法和Rife-Vincent 自卷積窗算法。雖然這些自卷積型的窗函數(shù)比經典的單一窗函數(shù)抑制頻譜泄漏更好，但窗函數(shù)多階卷積運算也會造成計算量大的問題，影響了諧波檢測的精確度。為更好地抑制頻譜泄漏的問題，文獻［17］提出用Hanning窗和Nuttall 窗進行卷積，利用兩種窗函數(shù)的特性構造一種新型窗函數(shù)稱為混合卷積窗，但其并未考慮選取特性較好的窗函數(shù)。文獻［18］提出一種由矩形窗和余弦窗的L階混合卷積窗，但選用了雙譜線插值算法，文獻［19］在文獻［17］的基礎上將混合卷積窗再進行L階自卷積的雙譜線插值算法，并不能更好地抑制柵欄效應的問題。

考慮到Kaiser 窗能夠靈活自由地調節(jié)主瓣寬度與旁瓣衰減速率之間的比重，且不受旁瓣性能制約，Hanning 窗是最常用的一種主瓣寬度較窄的余弦窗，將二者進行卷積運算構件一種頻譜特性優(yōu)良的混合卷積窗，并采用加三譜線插值算法，運用多項式擬合得到修正公式。經過經典信號和復雜信號的仿真分析對比，驗證了此混合卷積窗的有效性和諧波檢測的準確性。

1 混合卷積窗

1.1 Hanning窗

Hanning 窗又稱升余弦窗，是一種常用窗函數(shù)，其時域表達式為

式中：N為總采樣點數(shù)；n為階數(shù)，n=1，2，…，N-1。

Hanning窗的頻域特性如圖1所示。

圖1 Hanning窗頻域特性

1.2 Kaiser窗

Kaiser 窗函數(shù)由零階Bessel 函數(shù)構成，其特點是可以靈活自由地調節(jié)主瓣與旁瓣之間的比重，頻帶內主要能量集中在主瓣中，其時域表達式為

式中：I0為 第1 類零階Bessel 函數(shù)；n的范圍為；β為Kaiser窗函數(shù)中可調的形狀參數(shù)，可自由調節(jié)主瓣與旁瓣之間的比重，由式（3）確定。

式中：α為Kaiser窗函數(shù)中主瓣與旁瓣的差值。

Kaiser窗的頻域表達式為

式中：w為表達式自變量。

若將式（4）中的頻域信號平移(N-1)∕2 個單位，使其滿足在［0，N-1］的范圍內，則

由圖2可以看出，不同的β值所對應的頻域特性曲線各不相同。當β=0 時，Kaiser 窗變?yōu)槌Ｒ?guī)矩形窗，其旁瓣衰減速率為6 dB∕oct，旁瓣峰值為-13 dB；當β=4 時，其旁瓣衰減速率為7 dB∕oct，旁瓣峰值為-30 dB；當β=8 時，其旁瓣衰減速率為12 dB∕oct，旁瓣峰值為-58 dB；當β=11 時，其旁瓣衰減速率為18 dB∕oct，旁瓣峰值為-82 dB。由此可見，隨著β值增大，旁瓣衰減速率不斷增加，但β過大會增加計算量，因此此處選擇β值為18。

圖2 Kaiser窗頻域特性

1.3 混合卷積窗—Hanning&Kaiser

所構建的混合卷積窗Hanning &Kaiser 的諧波檢測方法是將Hanning 窗函數(shù)與Kaiser 窗函數(shù)運用卷積運算的方法，組成一個新的混合型卷積窗函數(shù)［20］?；旌暇矸e窗函數(shù)的表達式為

利用各個窗函數(shù)的表達式可在MATLAB 軟件中將各窗函數(shù)的幅頻特性圖表示出來并進行比較?；旌暇矸e窗Hanning &Kaiser、Hanning 窗和Kaiser 窗的幅頻特性對比如圖3 所示，其中窗函數(shù)階數(shù)n=128，β=18。

圖3 三類窗函數(shù)頻譜特性對比

由圖3 可看出，從橫向角度上，混合卷積窗Hanning&Kaiser 的主瓣寬度比Hanning 窗和Kaiser 窗窄許多；從斜率角度上，混合卷積窗Hanning&Kaiser的旁瓣衰減速率要比單一的Hanning窗和Kaiser窗更快。

2 混合卷積窗的三譜線插值算法

對單一信號x(t)進行采樣，其中采樣頻率為fs，基頻為f0，幅值為A，相角為φ，采樣后得到的離散信號x(n)進行加窗后的離散傅里葉表達式為［21］

由于非同步采樣會產生柵欄效應［22］，在實際的信號采樣中，導致kp不是整數(shù)［23］。為抑制此問題的產生，選用三譜線插值法進行修正。設目標頻點kp附近的最大譜線為km，其左譜線和右譜線分別為km-1、km+1，則有β=k-km，其范圍為-0.5＜β＜0.5。

令X為x的離散信號，則3 條譜線的幅值分別為y1=|X(km-1)|、y2=|X(km)|、y3=|X(km+1)|，可得：

通過式（7）和式（8）得出

式中：γ=f(β)，其反函數(shù)為β=f-1(γ)，通過多項式擬合逼近的方法得到逼近式：

式中：a1，…，a2l-1和c0，…，c2l為常數(shù)。

運用MATLABR2018a中的多項式擬合函數(shù)可求出β和h（β），即可得到頻率、幅值和相位的修正公式［17］。其中，混合卷加窗的插值修正公式為

3 仿真分析對比

3.1 經典信號的仿真分析

為驗證仿真的有效性，采用典型的包含21 次諧波的復雜信號模型［24-25］，如式（12）所示。

式中：基頻f0=50.1Hz；采樣頻率fs=5 120 Hz；截取信號的長度為1 024、Ai、φi為第i次諧波的幅值和相角。具體參數(shù)如表1所示。

表1 選取信號參數(shù)值

分別用快速傅里葉變換加Hanning 窗三譜線插值、加Kaiser 窗三譜線插值以及混合卷積窗Hanning&Kaiser三譜線插值對復雜信號進行仿真分析，得出3種方法仿真結果如圖4—圖6所示。

圖4 3種方法的幅值相對誤差對比

圖5 3種方法的頻率相對誤差對比

圖6 3種方法的相位相對誤差對比

通過對比3 種方法的幅值、相位、頻率的相對誤差，可得出Hanning&Kaiser 混合卷積窗三譜線插值方法精度較單一的窗函數(shù)三譜線插值法的精度高很多，與其他兩種方法的精度相差2～3個數(shù)量級。

3.2 混合卷積窗信號分析對比

針對混合卷積窗的諧波信號分析，以9 次諧波信號為研究對象進行仿真，其模型如式（13）所示，具體仿真信號的參數(shù)見表2［26］。

式中：f0為50.1 Hz，fs為1 500 Hz。

表2 仿真信號諧波參數(shù)

選用Hanning&Blackman 混合卷積窗與混合卷積窗Hanning &Kaiser 的方法對上述信號進行仿真分析?；旌暇矸e窗窗長為256，均采用三譜線插值算法。仿真分析結果的相對誤差對比值見表3—表4。

對比Hanning&Kaiser 算法與Hann &Blackman混合卷積窗的幅值、相位的相對誤差結果，可知所構建的混合卷積窗較Hanning&Blackman 混合卷積窗的精確度都有所提高。由此可進一步地得出所構建的Hanning &Kaiser 混合卷積的窗函數(shù)加三譜線插值算法能夠進一步抑制頻譜泄漏和柵欄效應的問題，提高快速傅里葉變換諧波檢測方法的精確度。

表3 幅值相對誤差對比

表4 相位相對誤差對比

4 結語

為抑制快速傅里葉變換產生的頻譜泄漏和柵欄效應的問題，根據(jù)不同窗函數(shù)的特點，將具有主瓣寬度較窄的Hanning 窗函數(shù)和能夠靈活調節(jié)主旁瓣之間比重的Kaiser 窗函數(shù)運用卷積運算的方法組成一種新的混合卷積窗函數(shù)來抑制頻譜泄漏，并采用三譜線插值算法，通過多項式擬合函數(shù)求出修正公式，防止柵欄效應，并用于諧波檢測分析。

通過仿真結果對比分析，構建的基于Hanning&Kaiser 窗的混合卷積窗三譜線插值快速傅里葉變換算法與單一的窗函數(shù)和其他混合卷積窗三譜線插值法相比，所得到的各次諧波的幅值、相位、頻率相對誤差較小，提高了諧波檢測的準確性并驗證了此方法的有效性。