鄭 良 (安徽省合肥市第四中學(xué) 230000)

在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教與學(xué)中，不少教師反復(fù)評講若干例題與習(xí)題，學(xué)生不斷演練大量的試題，結(jié)果卻只有少數(shù)學(xué)生解題時能辨識部分?jǐn)?shù)學(xué)模型，實現(xiàn)“對號入座”，更多學(xué)生產(chǎn)生機械操練的熟能生笨、望文生義等后果.簡而言之，學(xué)生的“四基”與“四能”并未得到顯著的提高.其中的原因是多方面的，如師生不重視概念的學(xué)習(xí)和理解導(dǎo)致教與學(xué)中“掐頭去尾燒中間”，而沒有充分發(fā)掘試題資源，未能做到題盡其用更是主要的原因.布魯納說過：探索是數(shù)學(xué)的生命線，沒有探索就沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展.要使全體學(xué)生都能主動地得到發(fā)展，就必須使全體學(xué)生都能參與到探究新知的過程中，為他們創(chuàng)設(shè)一個獨立思考的空間.本文以一道“解三角形”試題為例，通過追根溯源、提出合適的問題，讓學(xué)生從不同的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)中的同一個對象，實現(xiàn)全方位、多視角、立體式的研究與學(xué)習(xí)，使試題在平凡中見真奇，樸實中顯能力，促進學(xué)生“深度學(xué)習(xí)”，演繹探究教與學(xué)的精彩，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.

1 案例剖析

例在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.

(1)求角C的大?。?/p>

(1)求角C；

圖1

例題及其變式這兩個問題中，已知條件為△ABC的一邊c和它的對角C，分別求△ABC的周長與面積的取值范圍(或最值).由于變式求解目標(biāo)為△ABC面積的最大值(特殊性)，只需滿足函數(shù)最大值的定義即可，方法1是求函數(shù)取值范圍的通性通法，方法2只關(guān)注函數(shù)的最值從均值不等式角度切入，方法3在動靜中轉(zhuǎn)換，揭示出問題的幾何背景.從求解過程可以看出，當(dāng)點C從點B按逆時針方向向C0運動時，△ABC的周長與面積逐漸增大，當(dāng)點C從點C0逆時針向A運動時，△ABC的周長與面積逐漸減少，且當(dāng)點C與C0重合時，△ABC的周長與面積取得最大值.以上結(jié)論是否具有一般性呢？周長與面積的單調(diào)性能否保持一致？為什么？

探究1在△ABC中，已知一邊c和它的對角C，求其周長l和面積S的取值范圍.

探究2在△ABC中，已知一邊c和它的對角C，周長l和面積S關(guān)于A∈(0,π-C)的單調(diào)性相同.

圖2

評注例題與變式1分別聚焦于△ABC的周長范圍與面積最大值，通過數(shù)學(xué)抽象，建立“已知△ABC的一邊c和它的對角C，求其周長l和面積S的取值范圍”的數(shù)學(xué)模型.通過數(shù)學(xué)運算，探究1與探究2給出(已知一邊c和它的對角C)△ABC的周長l和面積S與內(nèi)角A的變化關(guān)系和(海倫公式直接反應(yīng)了面積與周長的關(guān)系)變化一致性，使學(xué)生實現(xiàn)從直觀想象到邏輯推理的認(rèn)知過程.例題與變式1著眼于問題的整體，而變式2則關(guān)注問題的局部.

2 教學(xué)思考

2.1 強化專業(yè)素養(yǎng)，提高教學(xué)能力

當(dāng)前教學(xué)中存在著“不考不教，不教不研”的現(xiàn)象，點對點的教學(xué)真的精準(zhǔn)嗎？例題及變式中涉及“同弧所對的圓周角相等”，部分教師對此熟視無睹.在高考數(shù)學(xué)全國卷“三(幾何證明選講、坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講)選一”時期，教師往往直接排除平面幾何，導(dǎo)致其對平面幾何基礎(chǔ)知識與基本技能生疏.

筆者曾與部分教師交流，他們對“概率中的或然性”“立體幾何(平面幾何)作輔助線的靈活”“圓錐曲線中的數(shù)學(xué)運算”“導(dǎo)數(shù)的函數(shù)構(gòu)造”等難題心中沒底，教學(xué)中強化“基本套路”，通過通性通法讓學(xué)生確保基礎(chǔ)分，至于高超技巧全靠學(xué)生天分與臨場發(fā)揮.筆者認(rèn)為“基本套路”與特殊技巧并不對立，它與解題者基礎(chǔ)知識的儲備、解題經(jīng)驗的積累、解題技能的熟練程度等息息相關(guān)，通過培養(yǎng)，可以讓學(xué)生理解知識、提高能力并提升素養(yǎng).登高才能望遠(yuǎn)，教師要避免簡單的重復(fù)，靈活地駕馭課堂，必須掌握與教學(xué)相關(guān)及教學(xué)以外的內(nèi)容，這就要不斷地學(xué)習(xí).

2.2 強化問題探究，促進學(xué)生參與

教學(xué)中(尤其是試卷批閱后)經(jīng)常聽到教師抱怨：學(xué)生的基礎(chǔ)越來越薄弱，鉆研勁頭不足，優(yōu)化意識不強，優(yōu)化能力不夠.對于學(xué)生為什么上課聽懂了考試卻不會做題，羅增儒教授曾做了一個開車的比喻：“學(xué)生在課堂上聽懂了就相當(dāng)于使用導(dǎo)航開車，從起點到終點步步都有正確路線的指導(dǎo)，每到十字路口都有左拐、右拐或直行的提示，所以能很順利地到達終點.因此，解決問題的辦法之一是：平時就要鍛煉‘無導(dǎo)航開車’，提高學(xué)生的素養(yǎng).”[1]多數(shù)教師課堂教學(xué)時不敢放手，生怕學(xué)生犯錯，影響教學(xué)進度.教師搶先的提示與點撥剝奪了學(xué)生獨立(深度)思考的機會，越位的糾錯侵占了學(xué)生自查自糾的時空，看似擴充了教學(xué)容量、加快了教學(xué)節(jié)奏，實則降低了教學(xué)效率.

每個人都能在自身基礎(chǔ)上做力所能及的探究.教師與學(xué)生首先要有探究的意識，其次要具備探究所必備的基礎(chǔ)知識與基本技能并掌握常見的探究方式，再次要有思維變通的能力，最后還要有鍥而不舍的探究精神.探究的源頭在哪里？首先要多做，從諸多事物中發(fā)現(xiàn)共性現(xiàn)象；其次要多想，可探尋解題的方式方法和一般性的結(jié)論，改變條件或結(jié)論生成新的問題.最后要多用，實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn).通過查缺補漏來完善認(rèn)知，實現(xiàn)對結(jié)論的拓展.師生對以上例題與變式可謂耳熟能詳，但對其認(rèn)知支離破碎、不成體系，更談不上形成數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).通過教師的合理設(shè)計，充分創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進行探究，靜等花開，相信每個學(xué)生都會有不同的收獲與感受.