金 鵬 高建平 (江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 215011)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確提出:“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)．”什么是數(shù)學(xué)本質(zhì)？數(shù)學(xué)本質(zhì)就是數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所具有的根本屬性，是數(shù)學(xué)內(nèi)容區(qū)別于其他學(xué)科內(nèi)容的基本特質(zhì)．傅贏芳、喻平在文[1]中指出：“對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要條件，數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注知識(shí)的源起、發(fā)展、價(jià)值和意義以及學(xué)科的內(nèi)在本質(zhì)和規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)科的視角理解世界和分析問題，培養(yǎng)學(xué)科意識(shí)和思維習(xí)慣．”數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的呈現(xiàn)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足之本．基于此，筆者以“函數(shù)的概念和圖象”為例談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)概念教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，呈己之見，與同行探討．

1 對(duì)教材內(nèi)容深透理解

英國(guó)哲學(xué)家羅素曾說：“凡是你教的東西，要教得透徹．”這就意味著教師必須要深鉆教材，理清知識(shí)發(fā)生的本質(zhì)，把握教材中最主要、最本質(zhì)的東西．“函數(shù)的概念和圖象”是教材必修1第2章“函數(shù)的概念”中的 第1節(jié)內(nèi)容，學(xué)生在初中已初步學(xué)習(xí)了函數(shù)知識(shí)，掌握了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的表示法、性質(zhì)、圖象．本節(jié)內(nèi)容是對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)，是對(duì)函數(shù)概念的深化與提高．為了幫助學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上突破認(rèn)知瓶頸(由變量說向?qū)?yīng)說的轉(zhuǎn)變)，整個(gè)設(shè)計(jì)從實(shí)際背景和定義兩個(gè)方面幫助學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)，而如何理解從集合的角度抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)正是本節(jié)的重難點(diǎn)所在．基于此，本節(jié)立足于學(xué)生所認(rèn)識(shí)到的客觀現(xiàn)實(shí)中的生活實(shí)例，從具體問題入手，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、抽象、概括等活動(dòng)，數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題．

為了使學(xué)生了解函數(shù)概念產(chǎn)生的背景，豐富函數(shù)的感性認(rèn)識(shí)，執(zhí)教者力圖通過本節(jié)課的教學(xué)，讓學(xué)生通過“經(jīng)歷”和“體驗(yàn)”達(dá)到“了解”“理解”的水平．具體如表1.

表1

2 教學(xué)設(shè)計(jì)要著重突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

張奠宙教授指出：數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，是要把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，這是所有教師的責(zé)任．實(shí)際上，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)通常表現(xiàn)出“冰冷的美麗”，而數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài)正是一種“火熱的思考”．?dāng)?shù)學(xué)教師的任務(wù)在于把數(shù)學(xué)形式化的邏輯鏈條，真實(shí)地還原為當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)明(發(fā)現(xiàn))時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的過程．為了使學(xué)生了解函數(shù)的本質(zhì)，本文真實(shí)地呈現(xiàn)其發(fā)展的歷程．下面摘取三個(gè)片段．

·教學(xué)片段1

問題1初中曾經(jīng)學(xué)過哪些函數(shù)？

生：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)．

問題2初中的函數(shù)是怎樣定義的？

生：一個(gè)量y隨另外一個(gè)量x變化．

師：他描述得準(zhǔn)確嗎？還能不能更準(zhǔn)確一些呢？

生：在一變化過程中有兩個(gè)變量x與y，對(duì)于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么稱y是x的函數(shù)．

問題3為什么要建立函數(shù)的概念？函數(shù)的概念是如何建立的？

(教室內(nèi)一片沉寂)

師：函數(shù)概念是數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從多種角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展．下面就讓我們翻開歷史，一起來看一看“函數(shù)”的來龍去脈吧．

(通過PPT介紹函數(shù)概念的發(fā)展與形成的第一階段：函數(shù)的變量說)

17世紀(jì)伽俐略在《兩門新科學(xué)》一書中，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系．1718年約翰·貝努利對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義，他把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫做“x的函數(shù)”．歐拉在《無窮分析引論》(1748)中給出的函數(shù)定義是：“一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式．”

17和18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)問題的認(rèn)識(shí)有著共同的思考：函數(shù)就是解析式．

問題4y=1(x∈R)是函數(shù)嗎？是不是所有的函數(shù)關(guān)系都能用解析式表示？沒有解析式的能算作函數(shù)嗎？

學(xué)生眾說紛紜．

設(shè)計(jì)意圖基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從學(xué)生初中學(xué)習(xí)的知識(shí)入手，但其對(duì)函數(shù)這個(gè)概念仍然是模糊的，特別是為什么要建立函數(shù)的概念？函數(shù)的概念是如何建立的？概念的形成經(jīng)歷了哪些過程？等等．基于此，通過閱讀材料，讓學(xué)生沿著數(shù)學(xué)家探索函數(shù)概念所走過的路，了解概念的來龍去脈，經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程．從數(shù)學(xué)自身的發(fā)展來看，變量與函數(shù)概念的引入，標(biāo)志著數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)邁進(jìn)．初中函數(shù)概念是用“變量說”來定義的，這種定義方式有易于學(xué)生接受的一面，也有其不足的一面[2]．例如，當(dāng)我們遇到問題4，y是一個(gè)常數(shù)，并沒有體現(xiàn)出一個(gè)量隨另外一個(gè)量變化，學(xué)生就會(huì)疑惑這到底是不是函數(shù)，由此需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行更深一步的研究．

·教學(xué)片段2

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們可能會(huì)遇到下列問題：

1.估計(jì)人口數(shù)量變化趨勢(shì)是我們制定一系列相關(guān)政策的依據(jù)．從人口統(tǒng)計(jì)年鑒中可以查得我國(guó)1949—1999年人口數(shù)據(jù)資料如表2所示，你能根據(jù)該表說出我國(guó)人口的變化情況嗎？

表2

2.一個(gè)物體從靜止開始下落，下落的距離y(單位：m)與下落時(shí)間x(單位：s)之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=4.9x2．若一物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？

3.圖1為某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖．

圖1

(1)上午6時(shí)的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？

(2)在什么時(shí)刻，氣溫為0℃？

(3)在什么時(shí)段內(nèi)，氣溫在0℃以上？

評(píng)注對(duì)于上述問題，從學(xué)生的實(shí)際情況來看，也只能是從表面上去回答，問題2、3還可以根據(jù)解析式和圖象去尋求解答，而對(duì)于問題1學(xué)生最多也只能發(fā)現(xiàn)隨著年份的增加，人口越來越多．對(duì)于接下來如何研究函數(shù)、怎樣抽象出函數(shù)的概念仍然沒有清晰的路線與方法．教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步提出一系列有層次的問題，并借助函數(shù)的發(fā)展史，借鑒數(shù)學(xué)家的研究路線等開始概念學(xué)習(xí)．

問題1當(dāng)情境1中年份確定時(shí)，相應(yīng)年份的人口數(shù)是否確定？那么你能根據(jù)表格寫出1949—1999年年份與我國(guó)人口數(shù)的關(guān)系式嗎？

問題2當(dāng)情境3中的時(shí)間確定時(shí)，相應(yīng)的溫度是否確定？你能寫出溫度隨時(shí)間變化的關(guān)系式嗎？

問題3上述問題有變量嗎？有幾個(gè)變量？分別是什么？

問題4上述例子中變量間的關(guān)系有什么共同特點(diǎn)？

(待學(xué)生充分思考、討論、交流、闡述后，教師帶領(lǐng)學(xué)生通過PPT再次了解函數(shù)概念的發(fā)展與形成的第二階段：變量的對(duì)應(yīng)說)

歐拉發(fā)現(xiàn)函數(shù)表示的是變量的一種依賴關(guān)系，并于1755年在《微分學(xué)原理》序言中給出定義：“如果某個(gè)量依賴于另一個(gè)量，當(dāng)后面這個(gè)量變化時(shí)，前面這個(gè)量也隨之變化，則前面這個(gè)量稱為后面這個(gè)量的函數(shù)．”但也有學(xué)者發(fā)現(xiàn)并不是所有變量之間都具有依賴性，如果在解析式中找不到x，y的對(duì)應(yīng)關(guān)系,那么還能算作函數(shù)嗎？1823年柯西從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時(shí)指出函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式．1837年狄利克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)．”

·教學(xué)片段3

(帶領(lǐng)學(xué)生通過PPT了解函數(shù)概念的發(fā)展與形成的第三階段：集合的對(duì)應(yīng)說)

狄利克雷的函數(shù)定義出色地避免了以往各種函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，更加簡(jiǎn)明、精確，并呈現(xiàn)完全清晰的方式．至此，我們可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義，也就是同學(xué)們初中學(xué)習(xí)的函數(shù)定義．但是我們進(jìn)入高中學(xué)習(xí)了集合，那能不能用集合語(yǔ)言來描述這三個(gè)情境中的共同特征？

學(xué)生再次深思，教師根據(jù)學(xué)生的討論適時(shí)地提出以下幾個(gè)問題：

問題1能否用集合語(yǔ)言來描述這兩個(gè)變量呢？

問題2怎樣用集合語(yǔ)言來描述這種對(duì)應(yīng)關(guān)系？這種對(duì)應(yīng)關(guān)系存在什么規(guī)律呢？

問題3結(jié)合剛才所概括的函數(shù)本質(zhì)，能否給出函數(shù)的概念？

問題4y=1(x∈R)是函數(shù)嗎？

生：是函數(shù)，此時(shí)A=R，B={1}，對(duì)于集合A中每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素1和它對(duì)應(yīng)．

師：說得很好．在康托創(chuàng)立集合論之后，維布倫(Veblen)第一次用“集合”與“對(duì)應(yīng)”的概念為近代函數(shù)定義，通過集合的概念把函數(shù)的三要素具體化，打破了“變量是數(shù)”的限制[3]．

設(shè)計(jì)意圖在函數(shù)概念的引入中，通過具體實(shí)例使學(xué)生體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系．這里考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，從已經(jīng)掌握的具體函數(shù)出發(fā)，結(jié)合生活經(jīng)歷引發(fā)學(xué)生思考，逐步構(gòu)建函數(shù)的一般概念．

3 教學(xué)中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)

3.1 尋根究源，從數(shù)學(xué)文化中感悟知識(shí)的本質(zhì)

課標(biāo)倡導(dǎo)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索、學(xué)習(xí)新的知識(shí)，但與此同時(shí)，介紹有關(guān)的背景文化(如上述介紹函數(shù)概念的發(fā)展歷史)，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)家的探索經(jīng)歷，從這些過程中感受數(shù)學(xué)家們的執(zhí)著、反復(fù)與嚴(yán)謹(jǐn)，這將會(huì)帶給學(xué)生情感、態(tài)度和價(jià)值觀上的變化．另外，數(shù)學(xué)文化中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)理性精神的追求，正是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)孜孜不倦追求的體現(xiàn)，如本案例中函數(shù)概念從變量說向?qū)?yīng)說的探索過程就是數(shù)學(xué)家不斷追求數(shù)學(xué)本質(zhì)的漫長(zhǎng)過程，學(xué)生在這樣的過程中將感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)是不斷嚴(yán)謹(jǐn)化的思維成果，也更可能觸及函數(shù)概念的本質(zhì)．

3.2 基于實(shí)際，從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)的高度抽象性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，正是這樣的特征使得多數(shù)學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的畏懼感．在概念教學(xué)中，增加“使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系”，使他們有更多的機(jī)會(huì)從身邊熟悉的實(shí)例中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值．更重要的是，學(xué)生通過對(duì)實(shí)例的研究，經(jīng)歷觀察、歸納、概括等重要的數(shù)學(xué)抽象過程，通過實(shí)例的具象共性看到知識(shí)的深刻本質(zhì)，具體化、生活化的案例降低了數(shù)學(xué)的抽象程度，降低了數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)和難度，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和樂趣．

3.3 強(qiáng)調(diào)生成，在理性探究中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)知識(shí)的生成，只有經(jīng)歷整個(gè)知識(shí)的探究(學(xué)習(xí))過程才能理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能將概念的過程形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)象形態(tài)穩(wěn)定在頭腦中．本節(jié)課經(jīng)歷了以下過程：

(1)用問題引出與初中函數(shù)概念“變量說”的認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生思考．為了形成新概念，選擇所考察的經(jīng)驗(yàn)材料要能夠幫助學(xué)生概括概念的內(nèi)涵．

(2)三個(gè)具體實(shí)例(表、關(guān)系式、圖象)實(shí)際是函數(shù)概念的三個(gè)不同的表征形式，既與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)表示方法相聯(lián)系，又打破了初中學(xué)習(xí)的局限，學(xué)生在這一過程中很好地完成了函數(shù)概念的遷移．

(3)通過實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念，為了降低難度，引導(dǎo)學(xué)生用集合語(yǔ)言來闡述它們的共同特點(diǎn)，讓學(xué)生了解函數(shù)是數(shù)集之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)初、高中函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)一樣，不同的是初中突出變化，高中突出對(duì)應(yīng)．

(4)經(jīng)歷“一次次地提出概念、一次次地推翻概念”的探究過程，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的發(fā)展、內(nèi)涵與外延認(rèn)識(shí)得更加深刻．讓學(xué)生自主建構(gòu)概念發(fā)生的線路圖，幫助學(xué)生了解概念的來龍去脈，經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程，完善其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)對(duì)核心概念的整體理解．

總之，一節(jié)真正好的數(shù)學(xué)課，應(yīng)該跳出題海，回歸本源，讓學(xué)生真真切切地在設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)的本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)[4]．