李雨萌 周靖博 薛飛鴻

（華中科技大學物理學院，湖北 武漢 430070）

一、問題重述

問題背景及內(nèi)容

買家增加新需求量，補單成為不少商家需解決的問題。過于樂觀的補單將造成大量的庫存，庫存的積壓帶來的不僅是倉儲成本的增加，更為嚴重的是要考慮清倉問題，這時候不僅資金的流轉(zhuǎn)變慢，而且低價的清倉對于品牌而已也會拉低品牌溢價，而過于悲觀的補單則會導致貨不夠賣而造成資源的浪費和利潤的流失。

請建立相應的數(shù)學模型和算法，制定合理的補單策略，寫出具體操作流程。

二、模型假設

（1）假設模型受隨機影響服從正態(tài)分布。

（2）假設模型只有趨勢，周期，隨機三種表現(xiàn)。

（3）假設退款率僅與商品本身質(zhì)量優(yōu)劣有關(guān)。

（4）廠家提供的產(chǎn)品與商家接受的產(chǎn)品數(shù)量比例一定。

三、問題一

（一）時間序列預測模型

我們可以認為其服從正態(tài)分布，這種隨機效應帶來的期望為 0。我們將采用 ARIMA 時間序列模型進行建模預測。

ARIMA 時間預測模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model），全稱為差分整合自回歸移動平均模型，其模型參數(shù)有三個，分別為 p,q,d。‘AR’表示自回歸，p 為自回歸項數(shù)；‘MA’表示滑動平均，q表示滑動平均項數(shù)；d 則為將不平穩(wěn)的時間序列處理成為平穩(wěn)的時間序列所需要的差分階數(shù)。有了這三個參量，我們就可以進行 ARIMA 的模擬預測。

（二）模型的建立和求解

ARIMA 的建模分為以下幾個步驟：

1.判斷是否為平穩(wěn)序列和差分處理

首先需要采用單位根檢驗法（ADF 檢驗法）判斷所給的商品銷售序列是不是一個平穩(wěn)序列。一般在 matlab 中可直接調(diào)用函數(shù) adftest。返回值為1 則為平穩(wěn)序列，反之則為非平穩(wěn)序列，需要進行差分處理。每次差分后都需檢驗一次平穩(wěn)性，直到平穩(wěn)性達到要求。而此時所處理的差分次數(shù)（階數(shù)）就是 ARIMA 參數(shù) d。

2.尋找另外兩個參數(shù) p，q。對于參數(shù) p,q 的確定有兩種辦法。一種辦法就是觀察自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖來估計。以所給數(shù)據(jù)的第一組為例，進行差分轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列后，調(diào)用 matlab 函數(shù) autocorr 和 parcorr 畫出 ACF 和 PACF 圖如下：

圖2 偏自相關(guān)圖（PACF）

而一般自相關(guān)圖若為 q 階截尾則滑動系數(shù)為 q.若偏自相關(guān)圖為 p 階截尾則自回歸系數(shù)為 p。據(jù)此我們初步判斷其 p=1,q=0。但是這種判斷法的準確性較低，要增加其準確性，我們可以在此附加變化 p,q，計算 AIC 和BIC 值，找出使這兩個值最小的情況。這里我們在 p=0，1，2，3；q=0，1，2，3 的組合情況尋找。

得出 AIC，BIC 的值如下：

由此，我們找出了模型的另外兩個參數(shù) p,q。3.模型的建立和預測

當我們將序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列并且求出了相關(guān)參數(shù)后，我們便可以進行模型的建立和預測了。對于模型的建立和預測，我們直接采用 matlab 中的arima 函數(shù)，estimate 函數(shù)和 forecast 函數(shù)，具體代碼詳見附件。

四、問題二

上新量統(tǒng)計結(jié)果

用 Origin 軟件進行分布擬合，得到上新量統(tǒng)計如表 1.

表1 上新量統(tǒng)計

直方圖如圖 3.

圖3 上新量直方圖

延期比統(tǒng)計結(jié)果

延期比統(tǒng)計如表 2.

表2 延期比統(tǒng)計

直方圖如圖 4.

圖4 延期比直方圖

觀察發(fā)現(xiàn)，上新量 4.6%的值為異常值，延期比 4.8%的值為異常值，異常值均集中在較大值的一側(cè)，兩個分布均呈現(xiàn)右偏態(tài)。

另外，對數(shù)據(jù)進行正態(tài)性檢驗，在 5%水平下排除了兩個分布的正態(tài)性。

五、問題三

（一）每季度上新量統(tǒng)計結(jié)果

每季度上新量統(tǒng)計如表 3.

表3 每季度上新量統(tǒng)計

直方圖如圖 5.6.7.

圖5 第一季度上新量直方圖

圖6 第二季度上新量直方圖

圖7 第三季度上新量直方圖

（二）每季度延期比統(tǒng)計結(jié)果

每季度延期比統(tǒng)計如表 4.

表4 每季度延期比統(tǒng)計

直方圖如圖 8.9.10.

圖8 第一季度延期比直方圖

圖9 第二季度延期比直方圖

圖10 第三季度延期比直方圖

三個季度延期比先減后增，根據(jù)直方圖可看出第一季度延期比分布較后兩季度更為均勻。

六、問題四

（一）模型的建立

因為我們所使用的時間序列預測模型需要十天的實際銷量來預測后續(xù)的銷量，為了避免進行第二次補單時出現(xiàn)脫銷的情況，我們預留兩天時間是商家可以提前訂貨。首先探究各商品預熱加購總數(shù)與上新后前十二天總銷量之間的關(guān)系，定義二者比值為“必要性因數(shù)”，記為Ψ。Ψ 值取算術(shù)平均值，記為這一組商品的標準必要性因數(shù)。

在得到某一商品標準必要性因數(shù)后，可以由其預熱加購總數(shù)（A）得出該商品在上新后前十二天的總銷量估計值(S),即設廠家提供的可售賣商品量與店家下單量之比為有效比λ，設商家首次下單量為 P，需要發(fā)貨的商品數(shù)量為 S’=S*（1-僅退款率），實際賣出的商品總數(shù)為 S’’=S*(1-總退款率)，若S’＞P，則需要進行上新前補單，補單量為 K=(S’-P)/λ。

上新之后的銷量可由時間序列預測法根據(jù)之前的實際銷量預測，將上新后前十二天定義為“上新期”，從第十三天開始，每五天為一個周期，在第十天對上新期后兩天的銷量進行預測，記為 H11,第一個周期的銷量進行預測，將第一個周期內(nèi)的預期銷量記為 H12，上新后第十天剩余的商品量為S1，則上新后第一次補單量為：隨后在第一周期的第三天對第二周期的總銷量進行預測，記為 H22，再對的一周期后兩天的銷量進行預測，記為 H 商品剩余量為S2,則上新后第二次補單量為：，隨后各周期的補單量可以以此類推。

（二）模型的求解

由附表中的數(shù)據(jù)計算出各種商品上新后前十二天的銷量，并將其與對應的預熱加購總數(shù)相除，得到該商品的Ψ 值，并按照其大小，將商品分為 S、A、B、C、D、E、F 七類，其中分別包含 2 種、20 種、61 種、115 種、106種、25 種、2 種商品，其對應的標準必要性因數(shù)保留三位小數(shù)為為：1.737、0.540、0.446、0.350、0.258、0.1626、0.0475，各類商品的名單附于表 1 中。

在預測某一種具體商品的上新前補單量時，只需將它的預熱加購總數(shù)、標準必要性因數(shù)與首次下單量代入公式，即可求得上新前補單量的估計值。

在上新后，如 6.1 中所述，將某種商品的實際銷量、退款率、有效比、剩余量代入公式計算，即可得出該商品在下一個周期內(nèi)的補單量估計值。