江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 毛小霞

幾何是初中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)內(nèi)容，而在中考中常以綜合題的形式考查，涉及眾多幾何性質(zhì)和定理，圖形結(jié)構(gòu)也較為復(fù)雜。合理把握?qǐng)D形特點(diǎn)，識(shí)別模型結(jié)構(gòu)且能靈活運(yùn)用是問(wèn)題突破的關(guān)鍵。本文以一道中考幾何壓軸綜合題的教學(xué)為例，比較兩種不同的解法，針對(duì)試題進(jìn)行呈現(xiàn)、解析、賞析，并對(duì)其中的模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓展。

一、試題呈現(xiàn)

以下是一道中考幾何壓軸綜合題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B 為x 軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，AE、BF 平分∠OAB、∠OBA，AE、BF 交于點(diǎn)P，試回答下列問(wèn)題。

（1）求∠BPA 的度數(shù)；

圖1

圖2

二、試題解析

本題共三個(gè)小問(wèn)，題干給出了圖形建構(gòu)的過(guò)程，首先需要根據(jù)文字描述理解圖形的結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合對(duì)應(yīng)的問(wèn)題來(lái)探究具體的解題思路，具體如下：

（2）分析：由題意知要證明∠MFO=∠EAO，就要想辦法證明FM //AE,運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理。本小問(wèn)有兩種方法，方法1 是用角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形來(lái)解決問(wèn)題，方法2是利用“等腰直角+直角”模型構(gòu)造“手拉手”模型得到全等來(lái)解決。

方法1：如圖3，連接OP，作PH ⊥OB 于H，PK ⊥OA 于K。

∵AP、BP 分別平分∠OAB、∠OBA，

∴OP 平分∠AOB。

∵PH ⊥OB 于H，PK ⊥OA 于K，

∴PK=PH。

∵∠PKO=∠PHO=∠HOK=90°，

∴四邊形PKOH 是正方形，

∴∠HPK=∠MPF=90°，

∴∠FPK=∠MPH。∵∠PKF=∠PHM=90°，

∴△PKF ≌△PHM，∴PF=PM，∴∠PFM=45°，

∵∠BPE=180°-135°=45°，∴∠BPE=∠PFM，

∴FM //AE，∴∠MFO=∠EAO，∵∠OAB=2 ∠OAE，

圖3

方法2：如圖4，連接PO，作PG ⊥OP 交y 軸于G，

由第（1）問(wèn)知：P 為△AOB 的內(nèi)心，得∠GOP= ∠EOP =45°，

∴△GPO 為等腰直角三角形。

∴GP=OP, ∠FGP=∠MOP=45°。

∵∠FPG=∠MPO=90°-∠FPO，

∴△PGF ≌△POM，∴PF=PM，

∴△FPM 為等腰直角三角形。

∴∠MFP=∠APF=45°，

∴FM //AE，∴∠MFO=∠EAO。

（3）分析：由題知點(diǎn)B、T 的坐標(biāo)，由垂直求S 點(diǎn)的坐標(biāo)，也有兩種方法：第一種是代數(shù)方法，求出直線BT、OS 的解析式，利用方程組即可求出交點(diǎn)S 的坐標(biāo)。第二種是幾何方法，也是利用“等腰直角+直角”模型再來(lái)構(gòu)建“三垂直”模型，雖要添加輔助線，但對(duì)熟悉模型的同學(xué)來(lái)說(shuō)并不難想到，也是幾何里常見(jiàn)的方法。

圖5

方法2：如圖5，連接OT，過(guò)O 作OG ⊥OT 交BT 于G，

三、試題賞析

上述考題分為三問(wèn)，并采用難度遞進(jìn)的設(shè)問(wèn)方式，第一問(wèn)是比較基礎(chǔ)的三角形內(nèi)心模型，后兩問(wèn)有難度，但都可以用多種方法解決，主要考查了三角形角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)、“等腰直角+直角”模型、“三垂直”模型等知識(shí)，要求學(xué)生學(xué)會(huì)添加常用的輔助線和對(duì)一些基本的模型有一定的了解。

對(duì)復(fù)合圖形模型的提煉、轉(zhuǎn)化是幾何壓軸題的重要考點(diǎn)，也是幾何綜合題突破求解的難點(diǎn)之一，而充分把握?qǐng)D形的結(jié)構(gòu)、靈活運(yùn)用基本模型是解題的關(guān)鍵。這道題后面較難的兩問(wèn)都用到“等腰直角+直角”模型，如果熟悉此模型即可一模解兩問(wèn)，充分發(fā)揮了基本模型在解題中的積極作用。

四、模型探究

本題中出現(xiàn)的三角形內(nèi)心模型、三垂直模型常用，學(xué)生容易識(shí)別，而“等腰直角+直角”模型學(xué)生在平時(shí)做題中會(huì)碰到，但沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)的歸納總結(jié)，接下來(lái)分兩類(lèi)對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行拓展變式探究。

1.等腰直角對(duì)直角模型探究

圖6

2.等腰直角對(duì)旁直角模型探究

圖7

引導(dǎo)學(xué)生自己證明，可以更深層次地理解此模型，做到靈活運(yùn)用。

五、寫(xiě)在最后

中考試題是對(duì)學(xué)生綜合知識(shí)的應(yīng)用考查，對(duì)學(xué)生的邏輯思維和分析推理能力有著較高的要求，對(duì)其中的幾何綜合題，不僅需要理解掌握教材中涉及的幾何定理，還要準(zhǔn)確識(shí)別圖形結(jié)構(gòu)，注意培養(yǎng)學(xué)生幾何模型的識(shí)別和運(yùn)用能力。而“幾何模型”是學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中聯(lián)想的原型，如果學(xué)生看到相應(yīng)的問(wèn)題能建立聯(lián)想，就能順利地找到解題思路，因此教師在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生重視模型的學(xué)習(xí)，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。