李金亮

教學(xué)實(shí)效是通過學(xué)生課堂的學(xué)習(xí)情況來衡量的，在數(shù)學(xué)習(xí)題課中最能體現(xiàn)教學(xué)實(shí)效，數(shù)學(xué)習(xí)題課是通過習(xí)題為載體對數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的一個(gè)有效整合，通過有效整合有時(shí)會(huì)產(chǎn)生知識(shí)和方法的創(chuàng)新。習(xí)題課中教師引導(dǎo)得恰當(dāng)?shù)脑拰?huì)成為學(xué)生大展“數(shù)學(xué)拳腳”的舞臺(tái)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力將得到有效的鍛煉和體現(xiàn)，下面教學(xué)案例是我的一節(jié)習(xí)題課教學(xué)片段。

例? 在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個(gè)乒乓球;第2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按右圖所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則???? ;????? （答案用n表示）

（大部分學(xué)生能讀懂題目的意思，少數(shù)學(xué)生讀題目的理解存在困難，但通過稍加提示能理解）

教師：第1堆有1個(gè)，第2堆有（1+2）+1個(gè)，第3堆有（1+2+3）+（1+2）+1個(gè)，以此類推，第n堆的乒乓球數(shù)請同學(xué)們在草稿本上試著表示。

（老師巡視，讓以學(xué)生把結(jié)果寫在黑板上）

第n堆的乒乓球數(shù)為（1+2+…+n）+（1+2+…+n-1）+…+（1+2）+1個(gè)

教師：通過這個(gè)式子我們想到等差數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和公式 =n（n+1）/2，第一堆有個(gè)，第二堆有+個(gè)，…… ，第n堆有++…+個(gè) ，我們先解決? ++…+的表達(dá)式， ++…+，下面請同學(xué)們把這個(gè)式子進(jìn)行化簡，三分鐘后教師和學(xué)生一起在黑板上寫出化簡過程

[1*（1+1）+2（2+1）+…+n*（n+1）]/2

= [（1+2+…+n）+（12+22+?? +32+…+n2）]/2，

又因?yàn)?2+22+ +32+…+n2=n（n+1）（2n+1） /6（上節(jié)課已推導(dǎo)），

于是[n（n+1）/2+ n（n+1）（2n+1） /6] /2，

=n（n+1）（n+2） /6.

本題答案10，n（n+1）（n+2） /6.

就上述的解題教學(xué)對于中等以上學(xué)生，除了上述的基本收獲外，教師還可以創(chuàng)造性地設(shè)置學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生的創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)。 對上面的解題教學(xué)我又作了如下設(shè)計(jì)：

教師：我們的工作不僅僅停留在對問題的解決上，同學(xué)們可以嘗試一下對此類問題作出推廣。

（此言一出，學(xué)生們頓時(shí)產(chǎn)生了困惑）

教師：我們一起來對問題做一下推廣：對自然列= n ， 記{}的前n項(xiàng)和為，把看成一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，得到一個(gè)新數(shù)列{}，記{}的前n項(xiàng)和為，又把看成一個(gè)新數(shù)列的通項(xiàng)，記{}的前n項(xiàng)和為，……，以此類推有（k =1、2、3、……），

在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中成功和失敗的期望可以表現(xiàn)為一個(gè)任務(wù)有多種不同的價(jià)值要求，教師要為學(xué)生開放的能力提供一整套可修改的辦法 ，應(yīng)該向?qū)W生解釋，不是所有學(xué)生都能學(xué)好這些能力，但每個(gè)學(xué)生能至少學(xué)好某一能力[1]，這樣會(huì)增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，以至在整個(gè)教學(xué)過程中不同層次學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有所收獲。

下面我引領(lǐng)學(xué)生一起來設(shè)法求出的表達(dá)式

分析問題

= n ，? = n（n+1）/2，

于是= ++…+

= n（n+1）（n+2） /6 （前面已求），

觀察= n（n+1）/2=，= n（n+1）（n+2） /6=，

（能夠觀察出這一點(diǎn)是問題解決的關(guān)鍵）

所以有==+++…+，

于是我們可以猜想

如果=+++…+ 成成立，

就有==n（n+1）（n+2）（n+3） /4！，

如果=+++…+ ① 成立，

就有==n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4） /5！

=（n+4）！ /5?。╪-1）！，

更一般地，如果=+++…+成了，

就有=（n+k）！ /（k+1）！（n-1）！.

對問題的解決關(guān)鍵要證明①式成立，現(xiàn)證如下：

證明：∵+=（組合數(shù)公式）

∴+++…+

=+++…+

=++…+

……

=+=，

∴=+++…+成立.

于是==（n+k）！ /（k+1）?。╪-1）！ （k=1、2、3、……）。

之后我對學(xué)生們說此問題的解決可以看作是一個(gè)創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)，并讓學(xué)生們給取一個(gè)名字。通過學(xué)生們的討論與評選，最后確定了的名字——廣義前n項(xiàng)和，于是我們象數(shù)學(xué)家一樣得到了數(shù)學(xué)上新的東西，具體如下：

廣義前n項(xiàng)和：對自然列= n? 記{}的前n項(xiàng)和為，把看成一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，得到一個(gè)新數(shù)列{}，記{}的前n項(xiàng)和為，又把看成一個(gè)新數(shù)列的通項(xiàng)，記{}的前n項(xiàng)和為，……，以此類推有（k=1、2、3、……），就被稱為廣義前n項(xiàng)和，且==（n+k）！ /（k+1）！（n-1）！ （k=1、2、3、……）。

在教學(xué)過程中這一創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)是圍繞學(xué)生主體進(jìn)行的，每一步的推導(dǎo)是以學(xué)生思維的啟發(fā)為動(dòng)力，教師只起一個(gè)導(dǎo)向的作用，現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為，在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生的思維，就像螞蟻吃蘋果，如果他只在外面，總覺得光溜溜的，沒味道，一旦咬開一個(gè)洞進(jìn)去，就越啃越有味道了，教師在課堂中的作用就是要引導(dǎo)學(xué)生“咬開一個(gè)洞”，讓學(xué)生鉆進(jìn)去。學(xué)生鉆進(jìn)去固然會(huì)體會(huì)到數(shù)學(xué)的甜與美，產(chǎn)生了對數(shù)學(xué)的情懷[2]。

參考文獻(xiàn)

[1] Jo Boaler， Stanford University. “Opening Our Ideas”： How a detracked mathematics approach promoted respect， responsibility， and high achievement. [M] In Theory into Practice， Winter 2006， Vol. 45， No. 1

[2] 張思明.用心做教育 [M]. 高等教育出版社出版. 2005.8.1

2036501705297