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        常見(jiàn)幾何體外接球半徑算法

        2021-03-11 00:08:44雒福東
        天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年18期
        關(guān)鍵詞:外心小圓球心

        雒福東

        類(lèi)型一:墻角模型(三條棱分別垂直,不找球心的位置即可求出半徑)

        方法:找三條兩兩垂直的線(xiàn)段,直接利用公式a2+b2+c2=(2r)2,求出r

        類(lèi)型二:垂直模型(一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面)

        題設(shè):如圖6,7,8,P的射影是△ABC的外心三棱錐P-ABC三條側(cè)棱相等三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上,頂點(diǎn)P也是圓錐的頂點(diǎn)

        解題步驟:

        第一步:確定球心O的位置,取△ABC的外心O1,則P,O,O1三點(diǎn)共線(xiàn)

        第二步:先算出小圓O1的半徑AO1=r,再算出棱錐的高PO1=h(也是圓錐的高)

        第三步:勾股定理:解出R

        類(lèi)型三:切瓜模型(二個(gè)平面互相垂直)

        方法:

        1.題設(shè):如圖9-1,平面PAC⊥平面ABC,且AB⊥BC(即AC為小圓直徑)

        第一步:易知球心O必是△PAC的外心,即△PAC的外接圓是大圓,先求出小圓的直徑AC=2r;

        第二步:在△PAC中,可根據(jù)正弦定理,求出R

        2.題設(shè):如圖9-2,平面PAC⊥平面ABC,且AB⊥BC(即AC為小圓直徑)

        3.題設(shè):如圖9-3,平面PAC⊥平面ABC,且AB⊥BC(即AC為小圓直徑),且P的射影是△ABC的外心三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上,頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)

        第一步:確定球心O的位置,取△ABC的外心O1,則P,O,O1三點(diǎn)共線(xiàn)

        第二步:先算出小圓O1的半徑AO1=r,再算出棱錐的高PO1=h(也是圓錐的高)

        第三步:勾股定理:解出R

        4.題設(shè):如圖9-3,平面PAC⊥平面ABC,且AB⊥BC(即AC為小圓直徑),PA⊥AC,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:

        類(lèi)型四:漢堡模型(直棱柱的外接球,圓柱的外接球)

        方法:

        題設(shè):如圖10-1,10-2,10-3,直棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱內(nèi)接于圓柱,圓柱的上下底面可以是任意三角形)

        第一步:確定球心O的位置,O1是△ABC的外心,則OO1⊥平面ABC

        第二步:算出小圓O1的半徑AO1=r,(AA1=h是圓柱的高)

        第三步:勾股定理:,解出R

        類(lèi)型五:折疊模型(二個(gè)全等三角形或者等腰三角形拼在一起,或者菱形對(duì)折)

        方法:

        題設(shè):兩個(gè)全等三角形或者等腰三角形拼在一起,或菱形對(duì)折(如圖11)

        第一步:先畫(huà)出如圖所示的圖形,將△BCD畫(huà)在小圓上,找出△BCD和△A'BD的外心H1和H2;

        第二步:過(guò)H1和H2分別做平面BCD和平面△A'BD的垂線(xiàn),兩垂線(xiàn)的交點(diǎn)即為球心O,連接OE,OC;

        第三步:解△OEH1,算出OH1,在Rt△OCH1中,勾股定理:OH12+CH12=OC2

        類(lèi)型六:對(duì)棱相等模型(對(duì)棱相等模型,補(bǔ)全為長(zhǎng)方體)

        方法:

        題設(shè):三棱錐(及四面體)中,已知三組對(duì)棱分別相等,求外接圓半徑(AB=CD,AD=BC,AC=BD)

        第一步:畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體,標(biāo)出三組互為異面直線(xiàn)的對(duì)棱;

        第二步:設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別是a,b,c,AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z

        列方程組

        補(bǔ)充:

        第三步:根據(jù)墻角模型,,

        ,求出R

        分析:取公共的斜邊中點(diǎn)O,連接OP,OC,

        則,O為三棱錐P-ABC外接球球心,然后在OCP中求出半徑,當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線(xiàn)折起三棱錐時(shí)與折起的二面角大小無(wú)關(guān),只要不是平角球半徑都為定值。

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