張朝光

筆者有幸參加了某一年曲靖市中考數(shù)學(xué)的命題工作。現(xiàn)就這一年曲靖市中考數(shù)學(xué)卷中的第23題壓軸題的“出爐”之路與各位初中數(shù)學(xué)教師分享，達到學(xué)習(xí)交流、共同探討的目的。

一、初稿的產(chǎn)生與評析

根據(jù)這一年云南省中考數(shù)學(xué)考試說明，課程標(biāo)準(zhǔn)（數(shù)學(xué)）要求，初中數(shù)學(xué)知識雙向細目表，命題組對試卷的第23題即本套數(shù)學(xué)試卷的壓軸題提出了如下要求：一是以二次函數(shù)為背景，結(jié)合三角形、四邊形（圓與二次函數(shù)的結(jié)合上年已考）的有關(guān)知識，重點考查學(xué)生對基本圖形的識別能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題，解決問題的能力;二是滲透數(shù)形結(jié)合，代數(shù)、方程分類等數(shù)學(xué)思想和方法;三是數(shù)據(jù)的設(shè)計避免繁難的計算，重點考查數(shù)學(xué)思想和方法。

初稿：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A，B兩點，交y軸于點C（0，3），.

（1）求拋物線的解析式。

（2）D是拋物線的頂點，求四邊形AOCD的面積.

（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在這樣的點M，使點E或F恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標(biāo);若不存在;請說明理由.

分析：初稿基本滿足了命題組的要求.

第（1）問很常見，學(xué)生易上手，利用，可得OA=3，于是A（-3，0），把點（0，3），A（﹣3，0）代入可求得.

第（2）問只需求出頂點D的坐標(biāo)（-1，4），適當(dāng)添加輔助線（課本七年級下冊有此方法）利用圖形面積的和差，大部分學(xué)生都能完成，方法上的要求不高;第（3）問難度陡增，且與前面問題關(guān)聯(lián)性很小。況且第（3）問中，還要討論E點在對稱軸上和F點在對稱軸上兩種情況：

情況1：點E在對稱軸上如圖2，過點M作MG⊥y軸于G，交對稱軸于N.

有△MGC≌△ENM.

于是MH=CG

設(shè)M（，）? MH=∣n+1∣，

CG=

所以或

解得.

情況2：點F落在對稱軸上，如圖3，過M作MG⊥y軸于G，過F作FN⊥y軸于N.

有△MGC≌△CNF

于是CG=FN

設(shè)M（，）

所以或

解得：或

把x的值代入中可求出對應(yīng)的縱坐標(biāo).

共有7種可能，且有6種情況計算縱坐標(biāo)時比較繁。另外從學(xué)生角度考慮，每種情況就有一個圖形，要畫出的圖形太多。

二、第二稿的形成與評價

經(jīng)過命題對初稿答案的討論，初稿中第（2）問對于第（1）問難度沒有坡度，屬于考查基本知識的范疇，需改進，且第（2）問對解決第（3）方法上沒有提供支持和鋪墊，第（2）問要重新設(shè)計，第（3）可能性太多，是否可以限制某些條件，讓結(jié)果情況減少到4種及4種以內(nèi)，于是命題人員在以上意見的基礎(chǔ)上改進組成第二稿。

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C（0，3），.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x軸于N，交拋物線于P，求線段PH的最大值.

（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點M，使點E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

評析：這里求PH的最大值，從圖上直觀看出PH的值是一個變化的量，學(xué)生會聯(lián)想到函數(shù)的知識，二次函數(shù)的最值問題，也就是說PH的長能否表示成某個變量的二次函數(shù)的形式.

設(shè)，H的橫坐標(biāo)也為x，縱坐標(biāo)能否可以用x表示，H是AC上的點，可先求出直線AC的解析式，所以.

于是PH=PN﹣HN=

此二次函數(shù)，開口向上，函數(shù)PH有最大值.

當(dāng)時，

：

第（3）問經(jīng)調(diào)整還有4個點滿足，如圖2情形，滿足條件的M的橫坐標(biāo)是，求縱坐標(biāo)還要把這些值代入中還比較繁。

如當(dāng)

三、第3稿的形成與評析

通過命題組討論，第2稿基本上滿足了命題的預(yù)設(shè)要求，三問之間層層遞進，問題之間有聯(lián)系，但第（3）問的計算繁難問題與考試要求中的注重數(shù)學(xué)思想方法的考查，避免繁難計算相違背，同時也要考慮學(xué)生考試用時的問題。據(jù)此，命題組提出，可否在考查的數(shù)學(xué)思想、方法不變的前提之下，改變題目的已知數(shù)據(jù)，使計算上簡化，答案簡潔，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。通過努力，最終找到了符合要求的數(shù)據(jù)，形成了第3稿。

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，3），.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x的軸于點N，交拋物線于點P，求線段PH的最大值.

（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點M，使點E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

簡解：（1）解析式為（2）求得AC解析式為

設(shè)N（x，0），則H（x，），P（x，）

∴

∵???????????????? ∴PH有最大值

∴PH最大家=

即線段PH的最大值是.

（3）過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，則

∴

∵四邊形CMEF是正方形 ∴ ∠EMC=90°

∴∠EMG+∠CMK=90° ∴∠MEG=∠CMK

∴△MKC≌△EGM ∴MG=CK

由拋物線得對稱軸，設(shè)M（，），則G（-1，），K（0，）

∴

∴

∴

∴或

解得

代入拋物線解析式得

∴點M的坐標(biāo)是M1（-4，0） M2（，）

M3（，） M4（2，0）

從答案看出已避免了繁難的計算。

四、討論定稿

每個命題人員自己完成一次解析，在解題過程中查找題目的不足之處，逐步完善，形成終稿。第3稿第（1）問設(shè)置起點低，學(xué)生容易上手，照顧了大部分學(xué)生;第（2）問加入了運動元素，強化了函數(shù)知識，特別是一次函數(shù)、二次函數(shù)及二次函數(shù)的最值問題，難度適中，此問的順利解決為第（3）問做好鋪墊。第（3）問難度較大，有極大的區(qū)分度，不僅要畫出符合條件的正方形，同時還要添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，找出線段的相等，還要有用變量表示線段長度的方法，建立方程而求解，還要考慮M點在不同位置所形成的正方形等，是對學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力的考查，體現(xiàn)了選拔功能。通過分析討論、命題組形成統(tǒng)一意見，認(rèn)為第3稿符合命題組提出的要求，試題起步慢，易上手，問題之間有關(guān)聯(lián)。特別是第（2）問表示PH長的方法為第（3）表示MN，CG的長提供了思路，達到了“形散神聚”的效果，另外，第3稿中的兩個A、B點是特殊點，符合學(xué)生從特殊到一般的思維方法。第3稿的計算較簡化，重點注重數(shù)學(xué)思想方法的考查，避免了繁難計算。另外，此題還有一個討論空間，以C、M、E、F為頂點的四邊形為正方形，且使E或F落在對稱軸上，供教師研究。命題組最終形成共識，就把第3稿確定成為曲靖市這一年中考數(shù)學(xué)的壓軸題。

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