周 萌，肖留超，王永俊

(河南工業(yè)大學(xué))

0 引言

1 奇異攝動Darcy-Stokes問題

考慮奇異攝動Darcy-Stokes問題如下

(1)

(2)

(6)

因此，問題(2)有唯一解[11].

(7)

其中

定義Vh上的離散模為

下面引進(jìn)幾個假定:

H1.divVh?Mh,

(8)

(9)

H3.存在插值算子∏h:V→Vh使

(10)

引理1 如果H1～H3成立，則下列式子成立

證明根據(jù)

(13)

引理1表明如果H1～H3成立，則ah(·,·)是強(qiáng)制的，bh(·,·)滿足inf-sup條件，又因為a(·,·),bh(·,·)是連續(xù)的，所以離散問題(7)有唯一解[11]. 下面給出有限元逼近定理.

證明利用方程(1)、(7)和Green公式有，對?wh∈Vh

其中

可得誤差方程:

(15)

由

可得

(16)

根據(jù)(12)式，有

則

由(16)、(17)式得

2 單元構(gòu)造及誤差分析

其中

自由度取為

(20)

易知自由度的維數(shù)和形函數(shù)空間的維數(shù)相同.

引理2 (20)式中的自由度可以唯一確定空間(19)式中的元素.

(21)

經(jīng)計算矩陣M93×93是可逆的，可知單元構(gòu)造是適定的.

單元T上的形函數(shù)空間定義為:

(22)

定義速度和壓力的兩個有限元空間分別為:

根據(jù)有限元空間Vh,Mh的定義，可得條件H1～H3成立，所以離散問題(7)有唯一解，且有如下估計結(jié)果.

(23)

其中正常數(shù)C與h無關(guān).

證明根據(jù)定理1，首先給出逼近誤差估計.

(24)

(25)

(26)

將(24)、(25)、(26)代入(14)可得(23)成立. 定理得證.