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        波紋場(chǎng)和新經(jīng)典撕裂模對(duì)托卡馬克中快離子輸運(yùn)影響的數(shù)值模擬研究

        2021-03-06 13:36:34陳嘉盈常悅悅虞立敏
        核技術(shù) 2021年2期
        關(guān)鍵詞:托卡馬克角動(dòng)量環(huán)向

        劉 錦 陳嘉盈 常悅悅 詹 研 虞立敏

        (華東理工大學(xué)理學(xué)院上海200237)

        化石能源的枯竭是人類必須面對(duì)的問(wèn)題,可控核聚變?yōu)槿祟惤鉀Q能源危機(jī)提供了一個(gè)可能的思路。托卡馬克是當(dāng)前熱門(mén)的可控核聚變裝置[1-2]。受控磁約束核聚變領(lǐng)域一個(gè)重要的問(wèn)題是如何更好地約束快離子,通常擾動(dòng)場(chǎng)(包括裝置本身固有的波紋場(chǎng)和不穩(wěn)定性產(chǎn)生的擾動(dòng)場(chǎng))引起快離子再分布和損失,而快離子損失不僅會(huì)降低等離子體溫度,降低聚變反應(yīng)率,而且也會(huì)損傷裝置器壁,影響裝置的壽命。因此研究快離子的輸運(yùn)和損失的物理機(jī)制對(duì)提升核聚變裝置中等離子體性能和延長(zhǎng)裝置壽命有重要的意義[3-5]。

        波紋擾動(dòng)和新經(jīng)典撕裂模(Neoclassical Tearing Mode,NTM)對(duì)快粒子輸運(yùn)乃至對(duì)裝置運(yùn)行造成重要影響,因而得到廣泛的研究。波紋擾動(dòng)指由于環(huán)向場(chǎng)線圈有限,有線圈的地方磁場(chǎng)大、無(wú)線圈的地方磁場(chǎng)小導(dǎo)致的類似波紋的環(huán)向場(chǎng)[3,6-7]。Wu等[8]使用ORBIT和NUBEAM/TRANSP代碼計(jì)算了不同中性束注入方式下的束離子瞬態(tài)損失和波紋損失,提出波紋損失的主要過(guò)程是捕獲粒子拐點(diǎn)徑向漂移引起的波紋隨機(jī)擴(kuò)散,以及提高等離子體電流可以有效減少離子損失;李吉波[3]利用ORBIT模擬了不同的等離子體電流、快離子螺距角分布等因素對(duì)波紋損失的影響,得出等離子體電流較小和快離子螺距角較大的時(shí)候,損失份額較大;Nave等[9]研究了離子回旋射頻(Ion-Cyclotron Radio Frequency,ICRF)加熱下的等離子體中波紋場(chǎng)振幅由0.08%~1.5%的情況,研究顯示:由于熱離子和快離子的輸運(yùn)產(chǎn)生的扭矩會(huì)引起等離子體反向旋轉(zhuǎn)。

        NTM是在經(jīng)典撕裂模(TM)上發(fā)展而來(lái)。TM考慮了q=m/n磁面以內(nèi)的區(qū)域有限電阻效應(yīng)和慣性效應(yīng),NTM額外考慮了自舉電流[10]。Strumberger等[11]計(jì)算了中性束注入下由NTM和波紋場(chǎng)引起的快離子損失,發(fā)現(xiàn)NTM造成的通行粒子損失集中在tloss=40~200μs,造 成 的 捕 獲 粒 子 損 失 集 中 在tloss≥200μs,波紋場(chǎng)造成的捕獲粒子損失集中在tloss≥35μs,而波紋場(chǎng)幾乎不影響通行粒子;Gobbin等[12]利用ORBIT模擬還原了ASDEX Upgrade中的NTM引起的磁島效應(yīng),提出NTM不僅增加了損失粒子總量,并且使損失粒子通量集中在一個(gè)更小的區(qū)域;Zhang等[7]在對(duì)NTM和波紋場(chǎng)的研究中得出粒子在NTM和波紋的共同作用下會(huì)產(chǎn)生更大的軌道漂移,尤其是當(dāng)粒子更多或更長(zhǎng)時(shí)間地通過(guò)磁島中心時(shí);Bardóczi等[13]利 用TRANSP-‘Kick’輸 運(yùn) 模 型 對(duì)NTM進(jìn)行的模擬研究,發(fā)現(xiàn)相空間中重疊共振會(huì)導(dǎo)致快離子在重疊島鏈間的混沌運(yùn)動(dòng),重疊共振在磁島邊緣產(chǎn)生且造成快離子損失。

        本文主要使用數(shù)值模擬的方法,依靠導(dǎo)心運(yùn)動(dòng)代碼ORBIT[14],研究波紋擾動(dòng)和新經(jīng)典撕裂模(NTM)對(duì)快粒子輸運(yùn)的影響。我們計(jì)算帶1個(gè)正電荷,質(zhì)量為2個(gè)質(zhì)子質(zhì)量的氘離子,采用NTM的模數(shù)為m/n=2/1(其中:m為極向模數(shù);n為環(huán)向模數(shù))和全超導(dǎo)托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置(Experimental and Advanced Superconducting Tokamak,EAST)中的波紋場(chǎng)模型,對(duì)不同參數(shù)情形下粒子損失和環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散展開(kāi)了研究。

        1 計(jì)算方法

        1.1 ORBIT程序理論模型

        根據(jù)漂移動(dòng)力學(xué)哈密頓理論,可以得到ORBIT代碼采用的微分方程模型為[14-15]:

        式中:H為帶電粒子的動(dòng)能和靜電勢(shì)能之和;Φ為靜電勢(shì)能;ρ//為歸一化的回旋半徑;μ為磁矩;g正比于ψp外的等離子體極向電流;I正比于ψp內(nèi)環(huán)向總電流。在磁面坐標(biāo)系下,θ是極向角,ζ是環(huán)向角,ψp為極向磁通,ψ為環(huán)向磁通。平衡磁場(chǎng)表示為

        1.2 NTM擾動(dòng)模型

        ORBIT中可以處理的擾動(dòng)形式為:

        式中:ω是擾動(dòng)的角頻率,根據(jù)低頻NTM的情形[16-17],本文分別對(duì)頻率f為0 kHz、3 kHz、6 kHz、9 kHz的情況進(jìn)行了討論;m和n分別代表了擾動(dòng)在極向和環(huán)向的模數(shù),下面計(jì)算中我們?nèi)/n=2/1。

        模的徑向結(jié)構(gòu)使用解析表達(dá)式[18]:

        式中:ψw是等離子體邊界的極向磁通;ψp是r處的磁通;α0是擾動(dòng)的幅度。擾動(dòng)的形狀類似鐘形曲線。擾動(dòng)的最大值等于α0,擾動(dòng)磁場(chǎng)δBr最大值出現(xiàn)位置受安全因子q(r)的控制,出現(xiàn)在q(r)=m/n=2處[10]。

        擾動(dòng)幅度α0的選取參考了文獻(xiàn)[12]中根據(jù)實(shí)驗(yàn)磁島寬度選取的方法。EAST上測(cè)量的磁島寬度為Δr/a=0.15[19],本文中a=40 cm,則磁島寬度應(yīng)為6 cm。因此取α0=5×10-5,使得磁島寬度與實(shí)驗(yàn)值相近。

        1.3 波紋場(chǎng)模型

        波紋擾動(dòng)指由于環(huán)向場(chǎng)線圈有限,有線圈的地方磁場(chǎng)大,無(wú)線圈的地方磁場(chǎng)小導(dǎo)致的環(huán)線磁場(chǎng)不均勻性。波紋場(chǎng)可以表述為:

        典型圓截面中,取:

        式中:R0是波紋中心的大半徑;br是托卡馬克截面的橢圓率,對(duì)于本文的圓截面托卡馬克,br=π/4。李吉波[3]對(duì)EAST中快粒子波紋損失做了詳細(xì)的研究。為了貼合實(shí)際情況,式(5)的其余參數(shù)均選取文獻(xiàn)[3]中EAST波紋同樣的值:

        1.4 平衡磁面

        為了簡(jiǎn)化計(jì)算,本文采用解析數(shù)值平衡下圓截面托卡馬克,大徑R0=185cm,截面半徑a=40 cm。在這種情況下,將平衡磁場(chǎng)分解為環(huán)向BT和極向Bp,則可以近似表示為:

        本文取BT0=1.8 T。式(7)中q=dψ/dψp,稱為安全因子。平衡磁面如圖1所示。

        圖1 平衡磁面Fig.1 Balanced magnetic surface

        而安全因子采用三次曲線擬合的表達(dá)式,如下:

        滿足:

        取α0=5×10-5時(shí),安全因子q和δBr/B隨歸一化磁面的關(guān)系如圖2。

        圖2 安全因子、模幅度和擾動(dòng)磁場(chǎng)大小(a)安全因子和模幅度,(b)安全因子和擾動(dòng)磁場(chǎng)Fig.2 Safety factor,mode amplitude,and magnitude of the disturbance magnetic field(a)Safety factor and mode amplitude,(b)Safety factor and disturbance magnetic field

        1.5 其他條件

        本文中計(jì)算采用的粒子是帶一個(gè)正電荷、質(zhì)量為兩個(gè)質(zhì)子質(zhì)量的氘離子,不考慮粒子的碰撞和散射。

        2 計(jì)算結(jié)果與討論

        2.1 擾動(dòng)對(duì)粒子損失和擴(kuò)散的影響

        為了探究擾動(dòng)對(duì)粒子損失數(shù)的影響,我們分為以下4類情況進(jìn)行討論,分別是無(wú)徑向磁擾動(dòng)、添加波紋擾動(dòng)、添加NTM擾動(dòng)以及同時(shí)添加波紋和NTM擾動(dòng)。令α0=5×10-5,粒子能量為60 keV。初始粒子均勻分布在同一個(gè)磁面上,而投射角λ(v///v)相同。為了使計(jì)算結(jié)果收斂并節(jié)省計(jì)算時(shí)間,我們采用的粒子數(shù)目為3 000個(gè)。掃描的參數(shù)范圍為:歸一化的磁面從0.1變化到0.9、步長(zhǎng)為0.1,投射角從0變化到0.9、步長(zhǎng)為0.1。采用插值的方法繪制熱力圖來(lái)統(tǒng)計(jì)粒子的損失和擴(kuò)散情況。其中,損失是指一旦粒子到達(dá)最外層磁面就認(rèn)為發(fā)生損失,沒(méi)有考慮粒子再回到等離子體的情形;而擴(kuò)散則通過(guò)歸一化的環(huán)向角動(dòng)量(即Pζ/ψw,為了簡(jiǎn)潔記為Pζ)的方差來(lái)表示,設(shè)第i個(gè)粒子t時(shí)刻的環(huán)向角動(dòng)量為Pζi(t),所有粒子t時(shí)刻的環(huán)向角動(dòng)量的平均值為-Pζ(t),則有如式(10)[20]:

        由于方差每個(gè)時(shí)刻都在變化,而最值得關(guān)注的是方差的最大值,因?yàn)樗砹肆W訑U(kuò)散程度最大的情況,因此取其所有時(shí)刻的最大值。

        圖3 中,橫坐標(biāo)為初始粒子的歸一化磁面,縱坐標(biāo)是初始粒子的投射角。顏色棒表明初始粒子在該磁面和投射角下最終損失粒子數(shù),數(shù)值模擬使用了3 000個(gè)粒子,因此顏色棒最大值為3 000。圖3(a)是沒(méi)有加擾動(dòng)情況下粒子損失情況,屬于第一軌道損失。為了清楚擾動(dòng)造成的粒子損失,在圖3(b)、(c)、(d)中去除了第一軌道損失粒子。從圖3(a)中可以得出,粒子靠外磁面、低投射角分布的情況下?lián)p失粒子數(shù)多,這和預(yù)期是一致的。低投射角意味著粒子平行速度分量小,有大的概率成為捕獲粒子。磁面高意味著粒子初始位置接近托卡馬克內(nèi)壁,容易造成第一軌道損失。與沒(méi)有添加任何擾動(dòng)相比,添加波紋增加了低投射角、內(nèi)磁面的粒子的損失并有跳變?cè)黾蝇F(xiàn)象,添加NTM顯著增加了磁面0.4~0.9下投射角大于0.4的粒子損失,磁面為0.4處劇烈的粒子損失是由于該磁面處于δBr極大值附近。而NTM和波紋都添加的損失情況近似于它們單獨(dú)添加時(shí)造成損失之和。

        環(huán)向角動(dòng)量的擴(kuò)散同樣是我們關(guān)注的一個(gè)物理量,可以間接反映離子在擾動(dòng)作用下的擴(kuò)散情況。我們用粒子群運(yùn)行所有時(shí)刻中全部粒子環(huán)向角動(dòng)量的方差的最大值來(lái)描述。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖4所示。

        圖3 粒子損失統(tǒng)計(jì)圖(a)沒(méi)有徑向磁擾動(dòng),(b)添加NTM,(c)添加波紋,(d)添加波紋和NTM((b)、(c)、(d)圖中已去除第一軌道損失粒子)Fig.3 Particle loss statistics(a)Without radial magnetic perturbation,(b)With NTM,(c)With ripple field,(d)With both of ripplefield and NTM(First orbit losses have been removed in figure(b),(c),(d))

        圖4 ?統(tǒng)計(jì)圖(a)沒(méi)有徑向磁擾動(dòng),(b)添加NTM,(c)添加波紋,(d)添加波紋和NTM Fig.4?statistics(a)Without radial magnetic perturbation,(b)With NTM,(c)With ripple field,(d)With both of ripple field and NTM

        由上述討論可知,波紋和NTM擾動(dòng)并不是對(duì)所有粒子都有影響,而是分別對(duì)捕獲粒子和通行粒子造成影響。我們分別計(jì)算了捕獲粒子和通行粒子在這兩種不同條件下的軌道。設(shè)初始粒子能量40 keV,捕獲粒子初始磁面0.7,投射角0.3;通行粒子初始磁面0.7,投射角0.8。

        圖5 中顯示了不同擾動(dòng)條件下相同初始條件的粒子軌跡。在波紋影響下,捕獲粒子軌道出現(xiàn)劇烈偏移,但是通行粒子軌道并沒(méi)有發(fā)生明顯變化。在NTM的影響下捕獲粒子軌道同樣出現(xiàn)偏移,但是程度不如波紋影響的劇烈。通行粒子的軌道線條同樣變寬了,體現(xiàn)了NTM對(duì)通行粒子造成影響。當(dāng)兩者都疊加時(shí),捕獲粒子的軌道漂移更加劇烈,說(shuō)明波紋和NTM的協(xié)同作用將造成更大的環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散。單粒子運(yùn)行的結(jié)果印證了波紋擾動(dòng)對(duì)捕獲粒子作用強(qiáng)烈,是捕獲粒子環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散增加的主要原因。這解釋了圖4中波紋場(chǎng)影響下環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散在λ<0.5的區(qū)域特別強(qiáng)烈的現(xiàn)象。

        2.2 擾動(dòng)對(duì)不同相空間粒子的影響

        為研究擾動(dòng)對(duì)不同種類的粒子影響,我們分析了相空間中均勻分布的粒子的變化。高能粒子可以按其損失與否分為損失(Lost)和磁約束(Confined)。按照運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分為捕獲(Trapped)、正向通行(Copassing)、逆 向 通 行(Counter-passing)和 停 滯(Stagnation)。用軌道分類圖來(lái)表述這6種粒子的分布,橫坐標(biāo)為歸一化環(huán)向角動(dòng)量Pζ/ψw,縱坐標(biāo)為歸一化磁矩,如圖6所示。

        我們?cè)O(shè)置粒子能量為40 keV,選取初始粒子在相空間中均勻分布,調(diào)整NTM和波紋擾動(dòng)的有無(wú)進(jìn)行計(jì)算。從計(jì)算結(jié)果中,統(tǒng)計(jì)損失粒子和未損失粒子的初始相空間中的分布,得到如下的結(jié)果。

        圖5 通行粒子和捕獲粒子軌道圖(a)沒(méi)有徑向磁擾動(dòng),(b)添加NTM,(c)添加波紋,(d)添加波紋和NTMFig.5 Trajectories of passing particles and trapped particles(a)Without radial magnetic perturbation,(b)With NTM,(c)With ripple field,(d)With both

        圖6 不同類型的粒子在相空間分布Fig.6 Distribution of different types of particles in phase space

        圖7 中顯示了某損失粒子和某未損失的粒子的初始相位。對(duì)比發(fā)現(xiàn),在不加擾動(dòng)的情況下,損失和未損失粒子按相位圖的邊界分布。加了NTM的情況下,逆向通行損失粒子和正向通行損失粒子開(kāi)始入侵未損失粒子的邊界。我們感興趣的是隨著擾動(dòng)幅度α0增加,相位圖會(huì)發(fā)生怎樣的改變。于是在其他條件都相同的前提下,令粒子能量為40 keV,以便觀察到寬的Trapped Confined區(qū)域。α0的變化區(qū)間從3×10-5變化到9×10-5,不添加波紋,觀察粒子相位圖的變化。如圖8所示,隨著擾動(dòng)幅度的增加,位于Co-passing Confined和Counter-passing Confined區(qū)域的粒子逐漸損失,Trapped Confined區(qū)域也有同樣的轉(zhuǎn)變,但是比例明顯小于其他區(qū)域。

        同時(shí),我們也發(fā)現(xiàn)波紋場(chǎng)的主要影響造成Trapped Confined區(qū)域內(nèi)粒子大量損失。隨著粒子能量的升高,Trapped Confined區(qū)域會(huì)越來(lái)越小,不難預(yù)見(jiàn)波紋場(chǎng)造成的影響會(huì)越來(lái)越小。為了證實(shí)這一觀點(diǎn),我們?cè)谶\(yùn)行中只添加了波紋,并改變粒子能量從40~120 keV,觀察相位圖變化。我們得到的結(jié)果如圖9所示。

        從圖9(a)~(c)三幅圖的變化規(guī)律中可以看到,隨著粒子能量增加,波紋影響的區(qū)域越來(lái)越小,最后消失不見(jiàn),說(shuō)明粒子能量越高,波紋擾動(dòng)的影響就越小。

        2.3 加入NTM頻率對(duì)損失和擴(kuò)散的影響

        上面的研究都是基于靜態(tài)NTM擾動(dòng),但實(shí)際上大多數(shù)粒子都是在毫秒量級(jí)內(nèi)損失,這和NTM的周期是同一個(gè)數(shù)量級(jí)[12]。因此需要考慮NTM的頻率帶來(lái)的影響。假設(shè)NTM以恒定頻率旋轉(zhuǎn),我們?cè)O(shè)置頻率為0 kHz、3 kHz、6 kHz、9 kHz,擾動(dòng)幅度為α0=5×10-5,粒子能量為60 keV,不加入波紋場(chǎng)。同樣做出粒子的損失和環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散圖。

        圖7 損失粒子和未損失粒子的初始相位(a)沒(méi)有徑向磁擾動(dòng),(b)添加NTM,(c)添加波紋,(d)添加波紋和NTMFig.7 The initial phase of the lost and confined particles with(a)Without radial magnetic perturbation,(b)With NTM,(c)With ripple field,(d)With both.

        圖8 改變擾動(dòng)幅度對(duì)相位圖的影響(a)α0=3×10-5,(b)α0=6×10-5,(c)α0=9×10-5Fig.8 The effect of changing the amplitude of the disturbance on the phase map(a)α0=3×10-5,(b)α0=6×10-5,(c)α0=9×10-5

        圖9 只添加波紋,改變粒子能量,觀察相位圖變化(a)E=40 keV,(b)E=80 keV,(c)E=120 keVFig.9 The change of phase diagram caused by various particle energies when only ripple field is applied(a)E=40 keV,(b)E=80 keV,(c)E=120 keV

        圖10 NTM不同頻率的粒子損失統(tǒng)計(jì)圖(a)f=0 kHz,(b)f=3kHz,(c)f=6 kHz,(d)f=9 kHzFig.10 Statistics of particle loss at different frequencies of NTM(a)f=0 kHz,(b)f=3 kHz,(c)f=6kHz,(d)f=9 kHz

        圖11 NTM不同頻率的統(tǒng)計(jì)圖(a)f=0 kHz,(b)f=3 kHz,(c)f=6 kHz,(d)f=9 kHzFig.11 Statistics of at different frequencies of NTM(a)f=0 kHz,(b)f=3 kHz,(c)f=6 kHz,(d)f=9 kHz

        從圖10、圖11中我們發(fā)現(xiàn)頻率加入后,粒子損失情況保持了原有的特征,對(duì)初始磁面0.7~0.8、投射角大于0.4的范圍,可以看到隨著頻率的提高,損失數(shù)量逐步減少。而對(duì)于環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散情況,不變之處在于磁面從0.7~0.9、投射角0~0.2的范圍有一個(gè)明顯的高峰,這可能與該處粒子非常容易損失有關(guān)。對(duì)投射角大于0.4的區(qū)域,隨著頻率加入發(fā)生了明顯的變化:原先的條帶狀分布被破壞,磁面為0.4和0.6的亮紋產(chǎn)生的混合、0.8處的亮紋逐漸減弱;淺藍(lán)色區(qū)域增加,尤其是f=9 kHz的情形。這些跡象都表明NTM頻率增加使得環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散變得更加均勻。

        3 結(jié)語(yǔ)

        本文使用導(dǎo)心運(yùn)動(dòng)代碼ORBIT,研究了波紋場(chǎng)和新經(jīng)典撕裂模對(duì)圓截面托卡馬克粒子輸運(yùn)的影響。計(jì)算發(fā)現(xiàn),擾動(dòng)能增加離軸、低投射角的快粒子的損失率。具體地,與沒(méi)有添加任何擾動(dòng)相比,添加波紋增加了低投射角粒子的損失,添加NTM顯著增加了磁面0.4~0.9下投射角大于0.4的粒子損失,而兩個(gè)都添加的損失情況近似于單獨(dú)添加時(shí)造成損失之和。添加波紋會(huì)顯著增加環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散,而在NTM擾動(dòng)最強(qiáng)的區(qū)域環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散也相對(duì)顯著,波紋擾動(dòng)和NTM的對(duì)環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散的協(xié)同作用遠(yuǎn)大于單獨(dú)作用之和。波紋擾動(dòng)對(duì)λ<0.5的區(qū)域影響?yīng)q為劇烈,這部分粒子大多屬于捕獲粒子。從單粒子軌道圖上,在波紋場(chǎng)影響下捕獲粒子軌道發(fā)生偏移,其程度遠(yuǎn)大于NTM單獨(dú)作用導(dǎo)致的偏移。證明了波紋擾動(dòng)是造成粒子環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散的主要原因。

        在相位圖上,位于同向通行約束和反向通行約束區(qū)域的粒子會(huì)受到NTM影響而損失,波紋場(chǎng)會(huì)造成磁捕獲約束區(qū)域內(nèi)粒子大量損失。隨著粒子能量升高,磁捕獲約束區(qū)域變小,波紋擾動(dòng)的影響就越小。

        當(dāng)考慮NTM頻率時(shí),粒子損失情況基本保持原始特征,但是對(duì)初始磁面0.7~0.8、投射角大于0.4的范圍,隨著頻率的提高,損失粒子數(shù)量逐步減少。同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn),NTM頻率增加使得環(huán)向角動(dòng)量擴(kuò)散變得更加均勻。

        我們的工作研究了波紋場(chǎng)和2/1 NTM對(duì)不同初始狀態(tài)粒子的作用情況,對(duì)托卡馬克裝置的設(shè)計(jì)、高能粒子的約束都有參考價(jià)值。后續(xù)還將從托卡馬克截面的設(shè)計(jì)、安全因子曲線的選取等方面做進(jìn)一步研究。

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