曾光 王露莎 李棟林

(西安衛(wèi)星測(cè)控中心，西安 710043)

多沖量共面軌道交會(huì)問(wèn)題是指目標(biāo)星和追蹤星在同一個(gè)軌道面，經(jīng)過(guò)多批次的脈沖控制使追蹤星最終與目標(biāo)星的空間狀態(tài)變量(位置、速度)相等。很多航天場(chǎng)景中都會(huì)涉及多沖量共面軌道交會(huì)問(wèn)題，例如載人航天空間交會(huì)的遠(yuǎn)程導(dǎo)引段、航天器追擊問(wèn)題、航天器星座組網(wǎng)問(wèn)題、相位捕獲等。

目前相關(guān)的研究工作大多集中于多沖量交會(huì)過(guò)程中拉格朗日乘子法[1]、遺傳算法[2-3]、快速打靶法[4]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理[5]、梯度恢復(fù)算法[6]等優(yōu)化方法的應(yīng)用。還有文獻(xiàn)研究了遠(yuǎn)距離、大范圍的軌道交會(huì)運(yùn)動(dòng)中考慮攝動(dòng)因素對(duì)航天器運(yùn)動(dòng)的影響[7]，多圈Lambert變軌問(wèn)題求解[8]，衛(wèi)星編隊(duì)的多沖量?jī)?yōu)化算法[9]等問(wèn)題。綜合考慮發(fā)動(dòng)機(jī)單次點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)約束、測(cè)控條件約束，兼顧控制時(shí)間和實(shí)際工程要求的多批次脈沖控制交會(huì)問(wèn)題的研究文獻(xiàn)較少。

本文針對(duì)平面內(nèi)軌道交會(huì)問(wèn)題給出了一種多沖量軌道控制算法，其融合了半長(zhǎng)軸、偏心率、近地點(diǎn)幅角聯(lián)合控制方法和軌道相位捕獲控制方法。基于該算法，在給定測(cè)控條件、單次最大點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)等約束情況下，可快速計(jì)算出實(shí)現(xiàn)與目標(biāo)航天器軌道交會(huì)的多沖量控制策略。

1 問(wèn)題描述

本文所研究的多沖量共面軌道交會(huì)過(guò)程可描述為:追蹤星與目標(biāo)星分別在兩個(gè)共面的橢圓或圓軌道上運(yùn)動(dòng),在t0時(shí)刻，追蹤星沿其初始軌道運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，目標(biāo)星運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)。從此時(shí)開(kāi)始追蹤星經(jīng)過(guò)多次沖量推力作用，于tf時(shí)刻到達(dá)目標(biāo)軌道上D點(diǎn)實(shí)現(xiàn)與目標(biāo)星的交會(huì)，此時(shí)雙星平面內(nèi)軌道參數(shù)(半長(zhǎng)軸、偏心率、近地點(diǎn)幅角、平近點(diǎn)角)相同，交會(huì)過(guò)程如圖1所示。

控制過(guò)程中需要考慮如下的約束條件:①發(fā)動(dòng)機(jī)單次點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)Δti小于單次控制最大點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)Δtmax;②控制過(guò)程中有連續(xù)的測(cè)控可見(jiàn)圈次，控制周期固定為Δtcycle(在工程實(shí)際中，控制周期一般為半天或一天，一個(gè)控制周期內(nèi)完成的控制稱(chēng)為一個(gè)批次控制，下文同);③控制過(guò)程僅使用切向脈沖，不做徑向脈沖控制;④在不額外增加燃料消耗前提下盡快完成交會(huì)控制過(guò)程。

待求解的參數(shù)包括多沖量作用時(shí)刻以及沖量的大小。

圖1 平面內(nèi)多沖量軌道交會(huì)示意圖Fig.1 Schematic diagram of multi-impulse orbital rendezvous in plane

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 基本策略

為解決上文描述交會(huì)問(wèn)題，采用如下控制策略。

1)采用多批次控制

受發(fā)動(dòng)機(jī)單次最大點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)約束，如果總控制量較大，則將控制過(guò)程拆分為多個(gè)批次控制。

2)采用等點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)控制

衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)在整個(gè)控制中隨著貯箱壓力的衰減，推力也會(huì)隨之減小，在相等的控制時(shí)長(zhǎng)內(nèi)，實(shí)際控制量會(huì)逐漸減小。為盡快完成交會(huì)控制，采用等點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)控制方案。

3)采用半長(zhǎng)軸、偏心率和近地點(diǎn)幅角聯(lián)合控制

為實(shí)現(xiàn)平面內(nèi)交會(huì)目標(biāo)，將每批次控制拆分為兩次子控制，采用半長(zhǎng)軸、偏心率和近地點(diǎn)幅角聯(lián)合控制方案。

4)通過(guò)調(diào)整理論控制序列來(lái)滿(mǎn)足測(cè)控條件約束

受測(cè)控條件約束，實(shí)際起控時(shí)刻與理論起控時(shí)刻存在差異，需要調(diào)整理論控制序列來(lái)實(shí)現(xiàn)平面內(nèi)交會(huì)。

2.2 等點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)計(jì)算模型

首先根據(jù)追蹤星和目標(biāo)星軌道參數(shù)計(jì)算單次a、e、ω(半長(zhǎng)軸、偏心率、近地點(diǎn)幅角)雙脈沖聯(lián)合控制的相位及控制量Δa1,tot、Δa2,tot(具體過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[10])，雙脈沖總控制量為Δatot=|Δa1,tot|+|Δa2,tot|。采用多批次控制方案，設(shè)每個(gè)批次點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)相同且均為Δt，則Δatot可表示為Δt的非線(xiàn)性函數(shù)。

Δatot=f(Δt)

(1)

已知Δatot求解Δt的過(guò)程如下所述。

(1)給定Δt初值，依次計(jì)算每批次控制產(chǎn)生的半長(zhǎng)軸增量。

(2)

式中：μ為地心引力常數(shù)；ai為衛(wèi)星半長(zhǎng)軸；Fi為發(fā)動(dòng)機(jī)推力(與貯箱溫度、壓力相關(guān))；Mi為點(diǎn)火前推進(jìn)劑質(zhì)量。

(2)計(jì)算n批次控制總半長(zhǎng)軸改變量。

(3)

(3)使用牛頓迭代法，迭代計(jì)算出Δatot對(duì)應(yīng)的單批次點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)Δt，同時(shí)初步分配每批次控制雙脈沖控制量。

(4)

2.3 理論起控時(shí)刻計(jì)算模型

追蹤星在控制過(guò)程中與目標(biāo)星的相位關(guān)系在不斷地發(fā)生變化，為最終達(dá)到交會(huì)，需要追蹤星在控制過(guò)程結(jié)束后與目標(biāo)星相位保持一致，通過(guò)式(4)規(guī)劃的控制量，可以計(jì)算出控制過(guò)程中追蹤星和目標(biāo)星累積的相位差，結(jié)合初軌歷元時(shí)刻的相位差，可計(jì)算出理論起控時(shí)刻，具體算法如下。

(1)計(jì)算理論控制過(guò)程積累的相位差。

(5)

式中：ai1為第i批次中第1次脈沖控制后追蹤星的半長(zhǎng)軸值；ai2為第i批次中第2次脈沖控制后追蹤星的半長(zhǎng)軸值；Δti1為第i批次中第1次脈沖控制起控時(shí)刻與第i批次中第2次脈沖控制起控時(shí)刻的差值；Δti2為第i批次中第2次脈沖控制起控時(shí)刻與第i+1批次第1次脈沖控制起控時(shí)刻的差值；af為目標(biāo)星半長(zhǎng)軸。

(2)計(jì)算理論起控時(shí)刻。

令

(6)

如果要求追蹤星與目標(biāo)星交會(huì)，則k需為整數(shù)，進(jìn)而可以確定最優(yōu)的起控時(shí)刻為

Tnomal=T0+Δtm

(7)

2.4 滿(mǎn)足測(cè)控條件約束的控制序列調(diào)整算法

受測(cè)控條件約束，實(shí)際的起控時(shí)刻與理論起控時(shí)刻可能不同，會(huì)造成追蹤星相位與目標(biāo)星最終相位無(wú)法重合，需要通過(guò)增加1個(gè)批次控制并調(diào)整控制量來(lái)保證累積的相位變化滿(mǎn)足

(8)

如圖2所示，按照理論控制時(shí)刻計(jì)算得到的每個(gè)脈沖控制量依次為Δa11、Δa12、Δa21、Δa22、……、Δan2，控后的半長(zhǎng)軸依次為a11、a12、a21、a22、……、an1、af。

圖2 控制量調(diào)整示意圖Fig.2 Schematic diagram of control quantity adjustment

控制序列調(diào)整的基本思路是減少第一批次的控制量，再額外增加一個(gè)控制批次，采用逐步迭代收斂的方法，計(jì)算出滿(mǎn)足相位約束的實(shí)際控制量。

調(diào)整控制量的算法描述如下。

(9)

i=1,……,n+1，j=1,2

(10)

(3)計(jì)算控制量調(diào)整后變化的相位差。

(11)

(4)使用牛頓迭代法迭代求解滿(mǎn)足條件的控制序列，使dum滿(mǎn)足式(8)。

2.5 算法流程

平面內(nèi)多沖量軌道交會(huì)算法流程如圖3所示，描述如下。

圖3 平面內(nèi)多沖量軌道交會(huì)算法流程圖Fig.3 Flow chart of the algorithm for in-plane multi-impulse orbital rendezvous

(1)讀取追蹤星和目標(biāo)星的軌道初值，轉(zhuǎn)換至瞬時(shí)平赤道坐標(biāo)系，并預(yù)報(bào)至同一歷元，計(jì)算雙星相位差及相位差變化率。

(2)基于聯(lián)合控制方法計(jì)算單批次雙脈沖控制完成a、e、ω控制目標(biāo)的控制量和控制點(diǎn)相位。

(3)假設(shè)每批次控制時(shí)長(zhǎng)相等，基于發(fā)動(dòng)機(jī)模型，使用牛頓迭代法計(jì)算滿(mǎn)足總控制量Δa的單批次控制時(shí)長(zhǎng)，同時(shí)計(jì)算出每批次雙脈沖控制量初值。

(4)積分雙星軌道計(jì)算控制點(diǎn)相位對(duì)應(yīng)的控制時(shí)刻，基于式(5)計(jì)算雙星在理論控制過(guò)程中累積的相位差。

(5)利用式(7)計(jì)算最近的控制窗口，根據(jù)測(cè)控條件選擇首次機(jī)動(dòng)參考時(shí)刻。

(6)通過(guò)調(diào)整控制量迭代計(jì)算滿(mǎn)足目標(biāo)相位的控制過(guò)程。

(7)輸出控制時(shí)間和控制量序列。

3 仿真算例

3.1 初始參數(shù)

為驗(yàn)證本文算法，分4種情況建立仿真場(chǎng)景，給出多沖量控制時(shí)間和控制量，最后用包含機(jī)動(dòng)過(guò)程的軌道預(yù)報(bào)軟件進(jìn)行驗(yàn)證。

初始條件為：目標(biāo)星和追蹤星衛(wèi)星質(zhì)量100 kg，衛(wèi)星迎風(fēng)面積5.0 m2，光壓面積6.0 m2，光壓系數(shù)0.1，周期變率為-0.000 1。為模擬平面內(nèi)控制情況，兩顆星的傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)統(tǒng)一設(shè)置為80°和240°。

表1 仿真情況1衛(wèi)星軌道參數(shù)Table 1 Satellite orbit elements in simulation 1

表2 仿真情況2衛(wèi)星軌道參數(shù)Table 2 Satellite orbit elements in simulation 2

表3 仿真情況3衛(wèi)星軌道參數(shù)Table 3 Satellite orbit elements in simulation 3

表4 仿真情況4衛(wèi)星軌道參數(shù)Table 4 Satellite orbit elements in simulation 4

3.2 約束條件和目標(biāo)

單次控制時(shí)長(zhǎng)小于600 s；每天安排控制2次，間隔時(shí)間約4 h；僅使用切向控制；等待時(shí)間(初始?xì)v元和起控時(shí)刻之差)和控制過(guò)程時(shí)間最短；控制結(jié)束后追蹤星與目標(biāo)星交會(huì)。

3.3 仿真結(jié)果

4種仿真場(chǎng)景的控制序列計(jì)算結(jié)果分別見(jiàn)圖4、圖5、圖6、圖7，控制過(guò)程中追蹤星與目標(biāo)性半長(zhǎng)軸、偏心率、近地點(diǎn)幅角和緯度幅角差值的變化情況分別見(jiàn)圖8、圖9、圖10、圖11。

從仿真結(jié)果看，4種場(chǎng)景下計(jì)算出的控制序列均滿(mǎn)足約束條件。從控制效果看，追蹤星與目標(biāo)性半長(zhǎng)軸、偏心率、近地點(diǎn)幅角和緯度幅角都最終收斂到了與目標(biāo)星一致。

圖4 仿真場(chǎng)景一控制序列計(jì)算結(jié)果Fig.4 Control sequence results in simulation 1

圖5 仿真場(chǎng)景二控制序列計(jì)算結(jié)果Fig.5 Control sequence results in simulation 2

圖6 仿真場(chǎng)景三控制序列計(jì)算結(jié)果Fig.6 Control sequence results in simulation 3

圖7 仿真場(chǎng)景四控制序列計(jì)算結(jié)果Fig.7 Control sequence results in simulation 4

圖8 仿真場(chǎng)景一追蹤星與目標(biāo)星軌道根數(shù)變化過(guò)程Fig.8 Track satellite and target satellite orbital changes in simulation scenario 1

圖9 仿真場(chǎng)景二追蹤星與目標(biāo)星軌道根數(shù)變化過(guò)程Fig.9 Track satellite and target satellite orbital changes in simulation scenario 2

圖10 仿真場(chǎng)景三追蹤星與目標(biāo)星軌道根數(shù)變化過(guò)程Fig.10 Track satellite and target satellite orbital changes in simulation scenario 3

圖11 仿真場(chǎng)景四追蹤星與目標(biāo)星軌道根數(shù)變化過(guò)程Fig.11 Track satellite and target satellite orbital changes in simulation scenario 4

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)平面內(nèi)軌道交會(huì)問(wèn)題給出了一種多沖量軌道控制算法?；谠撍惴ǎ诮o定測(cè)控條件、最大點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)等約束情況下，可快速計(jì)算出實(shí)現(xiàn)與目標(biāo)航天器軌道交會(huì)的多沖量控制策略。通過(guò)4個(gè)軌道交會(huì)問(wèn)題算例，得到如下結(jié)論：

(1)本文平面內(nèi)軌道交會(huì)問(wèn)題多沖量軌道控制算法有效，在滿(mǎn)足最大點(diǎn)火時(shí)長(zhǎng)、測(cè)控條件約束的前提下可快速制定出交會(huì)控制策略；

(2)在不額外增加燃料消耗前提下，本文算法可以實(shí)現(xiàn)的追蹤星與目標(biāo)星的盡快交會(huì)；

(3)該方法可推廣至航天器追擊、相位捕獲、星座組網(wǎng)控制等應(yīng)用場(chǎng)景。