范晉偉 李晨寶 李偉華 謝本田

(①北京工業(yè)大學(xué)材料與制造學(xué)部，北京 100022；②北京第二機(jī)床廠有限公司，北京 100165)

在曲軸隨動(dòng)磨削加工過程中，磨削運(yùn)動(dòng)軌跡直接影響加工精度和效率[1]。針對(duì)曲軸隨動(dòng)磨削方式較為復(fù)雜的特點(diǎn)，本文提出一種基于頭架主軸在旋轉(zhuǎn)過程中為變速運(yùn)動(dòng)，工件磨削點(diǎn)相對(duì)于連桿頸中心為恒速運(yùn)動(dòng)的曲軸隨動(dòng)磨削方法，并分別對(duì)主軸變速隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)軌控制模型和傳統(tǒng)控制模型[2]進(jìn)行仿真分析。

1 隨動(dòng)磨削加工瞬時(shí)位置方程的建立

為滿足曲軸高效、精密加工要求，曲軸的磨削技術(shù)朝著數(shù)控非圓磨削方向發(fā)展。所謂非圓磨削一般是指在數(shù)控磨削過程中，磨削點(diǎn)的軌跡為非圓曲線的磨削過程[3](其工作原理如圖 1 所示)，是通過控制曲軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(C軸和砂輪的直線進(jìn)給運(yùn)動(dòng)X軸)，保持砂輪外圓與曲軸連桿頸加工表面始終處于相切的狀態(tài)，從而保證曲軸的輪廓精度[4]。如圖2所示，在加工連桿頸的過程中，通過控制頭架的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與砂輪的橫向的進(jìn)給，來確保砂輪的磨削點(diǎn)始終與連桿頸相切，達(dá)到實(shí)時(shí)跟蹤磨削。

圖 3 為在曲軸隨動(dòng)磨削過程中在某一瞬時(shí)的砂輪與曲軸的相對(duì)位置關(guān)系。首先，在主軸頸軸、砂輪以及連桿頸軸中心建立與各自部件固連的坐標(biāo)系O1X1Y1，O2X2Y2，O3X3Y3。其次，在主軸頸軸中心建立固定慣性坐標(biāo)系O0X0Y0。初始位置時(shí)，主軸頸轉(zhuǎn)角θ1與連桿頸轉(zhuǎn)角θ2為零。其他坐標(biāo)系坐標(biāo)軸均與慣性坐標(biāo)系平行，令坐標(biāo)系O1X1Y1原點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，則坐標(biāo)系O2X2Y2的原點(diǎn)坐標(biāo)表示為(LSC，0)，坐標(biāo)系O3X3Y3的原點(diǎn)坐標(biāo)為(Re，0)，設(shè)砂輪位移量參數(shù)為x。

設(shè)在坐標(biāo)系O3X3Y3中有一矢量O3P，起點(diǎn)為(0，0)，終點(diǎn)為任意點(diǎn)P，與X3軸的夾角為θ2，任意點(diǎn)P在坐標(biāo)系O3X3Y3中的坐標(biāo)表示為：

(1)

由坐標(biāo)變換原理可得任意點(diǎn)P在坐標(biāo)系O1X1Y1中的坐標(biāo)為：

(2)

當(dāng)主軸頸做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，任意點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

(3)

式中：Re為主軸頸與連桿頸的中心距；θ1為曲軸繞主軸頸中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。

在慣性坐標(biāo)系中令任意點(diǎn)P與砂輪中心相重合，得到隨動(dòng)磨削加工過程中任意點(diǎn)P的瞬時(shí)位置方程：

(4)

式中：r連桿頸和砂輪中心距，為Rq+Rs-δ；Rq為連桿頸半徑；Rs為砂輪半徑；δ為磨削余量；LSC為初始位置時(shí)主軸頸與砂輪軸中心距；x為砂輪橫向進(jìn)給時(shí)位移量。

由式(4)第二行可得：

Resinθ1+rsin(θ1+θ2)=0

(5)

對(duì)式 (5) 求一階導(dǎo)，從而得到：

Recosθ1ω1+rcos(θ1+θ2)(ω1+ω2)=0

(6)

在坐標(biāo)系O3X3Y3中，砂輪繞連桿頸軸中心轉(zhuǎn)速為：

(7)

式中：ω1為主軸頸轉(zhuǎn)速；ω2為砂輪繞連桿頸軸中心轉(zhuǎn)速。

由式(7)可得，為避免產(chǎn)生速度位置奇異，則θ1+θ2≠90°， 根據(jù)式(5)可得：

(8)

其中r為Rq+Rs-δ，得隨動(dòng)磨削約束方程：

Rs>|Resinθ1-Rq+δ|

(9)

所以砂輪半徑應(yīng)取較大，而實(shí)際生產(chǎn)加工中，砂輪半徑遠(yuǎn)大于該值。

2 隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)軌跡控制模型的建立

曲軸隨動(dòng)磨削加工實(shí)質(zhì)是數(shù)控系統(tǒng)按照一系列關(guān)于θ1-x的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)指令來驅(qū)動(dòng)砂輪磨削點(diǎn)與連桿頸任意加工點(diǎn)始終處于相切的狀態(tài)，其中θ1表示主軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度，x表示砂輪平移運(yùn)動(dòng)的位移。為了避免連桿頸表面的加工問題，本文采取恒磨除量的磨削方式。

將砂輪繞連桿頸軸中心旋轉(zhuǎn)一周范圍內(nèi)θ2值進(jìn)行離散化，以Δθ為均勻采樣周期，如下式：

(10)

由式(4)第二行可得：

(11)

利用式(11)，得到相應(yīng)的θ1的離散值，然后根據(jù)式(4)第一行得到對(duì)應(yīng)的x值，即數(shù)控系統(tǒng)發(fā)出驅(qū)動(dòng)指令信息，從而得到數(shù)據(jù)矩陣列表：

(12)

利用式(12)，根據(jù)θ2-θ1-x離散矩陣列表，獲得曲軸隨動(dòng)磨削控制參數(shù)，從而建立了隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)軌跡控制模型。由式(4)第二行可知，θ1的值存在多組解的情況，因此在實(shí)際的加工過程中，給定曲軸連桿頸中心在砂輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(xO3O2,yO3O2,zO3O2)T，根據(jù)圖 3 中砂輪與曲軸在某一瞬時(shí)的相對(duì)位置關(guān)系，在慣性坐標(biāo)系中令任意點(diǎn)P與砂輪中心重合，可以得到式(11)和(12)，從而得到θ1的值。

θ1=θ2-φ

(13)

(14)

將式(14)整理成如下形式：

(15)

當(dāng)θ2=0時(shí)，φ=0，θ1=0；

3 建模仿真分析

為驗(yàn)證本文所提出的主軸變速磨削運(yùn)動(dòng)軌跡控制模型具有可行性，本節(jié)分別對(duì)主軸變速磨削運(yùn)動(dòng)軌跡控制模型和傳統(tǒng)控制模型兩種方法進(jìn)行了仿真分析，并對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行了量化。

在給定連桿頸軸半徑與磨削余量下，選擇砂輪半徑分別為 200 mm、400 mm和800 mm進(jìn)行仿真。根據(jù)式(7)和式(13)，保持主軸轉(zhuǎn)速ω1為π/3不變，得到傳統(tǒng)磨削方式轉(zhuǎn)速影響曲線圖，r如圖4所示。根據(jù)轉(zhuǎn)速影響曲線圖得到轉(zhuǎn)速差值柱狀圖和轉(zhuǎn)速差值降幅率，分別如圖6和表1所示。保持砂輪繞連桿頸中心轉(zhuǎn)速ω2為π/3不變，可以得到主軸變速磨削方式的轉(zhuǎn)速影響曲線圖，從而得到轉(zhuǎn)速差值柱狀圖和轉(zhuǎn)速差值降幅率，如圖4、圖6和表11所示。

表1 轉(zhuǎn)速差值的降幅率

根據(jù)圖4和表1，隨著砂輪半徑的增大，傳統(tǒng)磨削方式的轉(zhuǎn)速差值，分別為1.037 rad/s、0.621 rad/s和0.434 rad/s，轉(zhuǎn)速差值降幅率分別為40.12 %和30.11 %；而本文提出的主軸變速磨削方式的轉(zhuǎn)速差值分別為0.617 rad/s、0.573 rad/s和0.538 rad/s，轉(zhuǎn)速差值降幅率分別為7.13%和6.11%。由此可見，本文提出的磨削方式受砂輪尺寸的影響較小。因此，本節(jié)提到的隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)軌跡控制模型，轉(zhuǎn)速和受力狀態(tài)相對(duì)穩(wěn)定，能大大提高曲軸的表面加工質(zhì)量。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出的一種基于頭架主軸在旋轉(zhuǎn)過程中為變速運(yùn)動(dòng)的恒磨除率曲軸隨動(dòng)磨削方法。針對(duì)曲軸隨動(dòng)磨削加工的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)和工作特點(diǎn)，推導(dǎo)出磨削加工時(shí)，砂輪和曲軸磨削點(diǎn)的瞬時(shí)位置運(yùn)動(dòng)軌跡表達(dá)方程。利用一系列關(guān)于θ2-θ1-x的離散數(shù)據(jù)矩陣列表，獲得頭架旋轉(zhuǎn)的控制參數(shù)和砂輪驅(qū)動(dòng)位置信息，從而建立了曲軸隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)軌跡控制模型，為達(dá)到恒速曲軸隨動(dòng)精密磨削加工奠定了理論基礎(chǔ)。最后利用仿真分析對(duì)比傳統(tǒng)磨削方式與本文提出的主軸變速隨動(dòng)磨削方式，觀察到本文提出的主軸變速磨削方式受砂輪尺寸影響較小，連桿頸上的磨削點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)中心的速度和受力狀態(tài)是相對(duì)穩(wěn)定的，能大大提高曲軸的表面加工質(zhì)量。