黎紅石 樊留群 趙建華 黃云鷹

(①同濟大學(xué)中德學(xué)院，上海200092；②沈陽機床(集團)設(shè)計研究院有限公司上海分公司，上海 200433)

五軸數(shù)控加工是獲取高精度復(fù)雜曲面的有效手段之一，在船舶、汽車、航空航天等領(lǐng)域都有重要意義[1]，其中刀具路徑規(guī)劃則是保障加工質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。常見的五軸加工采用單樣條曲線進行插補[2]，利用微段平滑加工算法實現(xiàn)加工表面優(yōu)化，但擬合算法無法區(qū)分三軸位置坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)軸角度信息，擬合得到的信息是位置和姿態(tài)互相影響的結(jié)果。雙樣條插補則提出將位于刀位文件中的刀尖點坐標(biāo)與刀軸矢量分開，利用兩條樣條分別刻畫這兩類信息，以兼顧刀具在加工時位置和姿態(tài)兩方面的表現(xiàn)[3-5]。除此還出現(xiàn)多樣條的插補方法，來追求對加工路徑更精確的控制[6]，但由此帶來的計算量也會顯著增加。本文借助于五軸加工標(biāo)準(zhǔn)測試樣件S樣件的刀位文件，采用文獻[2]中的方法對數(shù)據(jù)點進行分段，針對其工件加工路徑中采取單樣條插補的數(shù)據(jù)點段，對其使用雙樣條插補，同時結(jié)合前瞻速度規(guī)劃理論，實現(xiàn)完整的插補計算過程，再對插補結(jié)果進行分析對比，驗證雙樣條插補的可行性和實用性。

1 刀位文件生成雙樣條曲線擬合方法的研究

1.1 雙樣條擬合

在現(xiàn)今五軸加工中，常使用的擬合工具為NURBS樣條[7]。NURBS曲線主要由控制點和節(jié)點向量構(gòu)成，樣條擬合目標(biāo)即控制點和節(jié)點向量的求解。雙樣條擬合則涉及到刀尖點和刀柄點兩條樣條的求解。

雙樣條擬合旨在從刀位文件里獲取兩條樣條。每次循環(huán)從刀位文件中讀取若干行數(shù)據(jù)，經(jīng)過坐標(biāo)變換。由刀尖點qm=(xm,ym,zm)組成第m個刀尖數(shù)據(jù)點Q(um)。結(jié)合刀軸矢量Om=(Oi,m,Oj,m,Ok,m)以及設(shè)定的刀柄長度Lt可以計算出一系列刀柄數(shù)據(jù)點q′(w)。至此得到刀尖點和刀柄點如圖1所示。

1.2 控制點求解

曲線控制點求解方法采用帶權(quán)因子和一階導(dǎo)數(shù)約束的最小二乘逼近算法，詳見文獻[7]。

以刀尖點擬合為例，刀柄點曲線擬合與此相同。待擬合數(shù)據(jù)點qm(m=0，…，r)，其中每個數(shù)據(jù)點帶有一階導(dǎo)數(shù)約束，導(dǎo)數(shù)約束向量矩陣用Dm(m=0，…，r)表示。每個數(shù)據(jù)點qm和Dm都設(shè)置由一個稱為權(quán)因子的參數(shù)進行控制，權(quán)因子是用來衡量曲線滿足這項給出數(shù)據(jù)要求的嚴(yán)格程度，如數(shù)據(jù)點q3的權(quán)因子為0時，曲線就必須穿過q3，類似插值。權(quán)因子常見取1。

數(shù)據(jù)點qm和Dm以權(quán)因子為判定標(biāo)準(zhǔn)，分為完全約束(權(quán)因子為0)和非完全約束(權(quán)因子不為0)。參與方程計算的各個矩陣：S表示非完全約束的數(shù)據(jù)；T表示完全約束的數(shù)據(jù)；W=[wk]為對角陣，對角線上記錄沒有完全約束時對應(yīng)的數(shù)據(jù)權(quán)因子值；P=[Pk]為控制點；N記錄非完全約束的數(shù)據(jù)項的基函數(shù)或基函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)信息；M記錄完全約束的數(shù)據(jù)項的基函數(shù)或基函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)信息；

接下來引入拉格朗日乘子A=[λk]，k=0，…，mC，然后列出方程。

在滿足完全約束方程MP=T的情況下，需要時非完全約束方程NP=S等號兩邊誤差最小，即S-NP最小。利用A=[λk]，即需要式(1)達到最?。?/p>

(ST-PTNT)W(S-NP)+aT(MP-T)

(1)

將其求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，結(jié)合MP=T，可以計算出控制點P=[Pk]。

1.3 節(jié)點向量求解

同樣以刀尖點數(shù)據(jù)為例，要獲得節(jié)點向量，需要先將數(shù)據(jù)點參數(shù)化，參數(shù)化的方法有很多：均勻參數(shù)化、弦長參數(shù)化和向心參數(shù)化等[7]。本文采用弦長參數(shù)化：

(2)

至此可以計算出刀尖點C(u)和刀柄點C′(u)擬合曲線的控制點和節(jié)點向量P、U，P′、u′。

2 雙樣條曲線插補研究

利用曲線擬合得到的雙樣條，采用圖2的步驟進行插補。

2.1 曲線插補原理

雙樣條曲線插補需要求得刀尖點樣條的參量uj+1和刀柄點樣條的參量wj+1，插補過程以刀尖點曲線為插補路徑，將其作為主要插補規(guī)劃對象，故首先計算刀尖點的參量uj+1。常見的曲線參量計算方法有等參數(shù)法、泰勒展開式、四階Adams方法、預(yù)測-校正方法[8],本文采用四階Runge-Kutta法進行參量計算[9]。應(yīng)用到NURBS插補表現(xiàn)為：

(3)

式中:ΔL為一個插補周期中規(guī)劃的步長

除了后續(xù)教育，澳大利亞對資產(chǎn)評估培養(yǎng)中最大的特點在于其更加注重高等教育。缺乏扎實的基礎(chǔ)的資產(chǎn)評估從業(yè)人員在資產(chǎn)評估業(yè)務(wù)活動中是致命的，會影響了資產(chǎn)評估人員的就職上限。所以澳大利亞各類高校基本都開設(shè)了資產(chǎn)評估相關(guān)課程并擁有一套完整的高等教育體系。這類體系對資產(chǎn)評估人才的培養(yǎng)有益無害，澳大利亞的資產(chǎn)評估人員只要在大學(xué)獲得相關(guān)學(xué)位并擁有2年相關(guān)工作經(jīng)驗后就可以直接申請成為資產(chǎn)評估師，并不需要通過資產(chǎn)評估師考試。

于是

(4)

2.2 插補參量同步

得到刀尖點樣條的插補參量uj+1后，需要計算此時刀柄點曲線上的插補點，即確定刀柄點曲線的參量wj+1。為了能從擬合的雙樣條上正確選取反映刀軸矢量原始走向的刀柄點和刀尖點，需要完成插補參量的同步如圖3。常用的同步方法[10]為，當(dāng)uj+1處于刀尖點曲線節(jié)點向量區(qū)間[uk,uk+1]時，對應(yīng)的wj+1也應(yīng)處于刀柄點曲線節(jié)點向量區(qū)間[wk,wk+1]。

在保證兩條樣條的參量始終處于同一角標(biāo)的節(jié)點區(qū)間后，可以定義區(qū)間內(nèi)參量uj+1與wj+1的對應(yīng)關(guān)系，一般以其線性變化關(guān)系建立等比關(guān)系式如式(5)：

(5)

3 前瞻速度規(guī)劃

在雙樣條插補過程中，為了保證刀具的運動特性良好、減緩機床振動和改善工件質(zhì)量，也同樣會面臨速度規(guī)劃的問題。前瞻速度規(guī)劃指在動態(tài)緩沖區(qū)預(yù)讀若干程序段，獲得多根樣條的點位信息，提前計算是否存在危險點并在發(fā)現(xiàn)時為其分配速度，以此確定出各個速度節(jié)點，形成速度分段。然后按給定的速度曲線計算段內(nèi)的加減速情況，完成每一個插補點的步長計算，從而為插補器提供信息，并在有新的擬合樣條信息加入緩沖區(qū)時進行刷新，更新各節(jié)點給定的速度[11-12]。其中段內(nèi)加減速采用S曲線加減速規(guī)劃圖[13]。

以整體加速過程為例， 即vs≤ve，需要計算兩個臨界距離，一個是按照上述S型曲線加減速圖從vs加速到最大速度從F再減速到ve的距離Rmaxl，一個是直接從vs加速到ve的距離Rminl，然后與該段本身相距長度D進行比較，情況如下：

(1)D>Rmaxl：則速度規(guī)劃為，從vs加速到最大速度F，然后以F勻速加工D-Rmaxl長度，再減速到ve；

(2)Rminl≤D≤Rmaxl：此時刀具無法做到加速到最大速度F再減速，但又有過于充足的距離加速到ve，便根據(jù)節(jié)點間距離D的大小反算得到一個中間速度vtemp，通過加速到vtemp再減速到ve來實現(xiàn)最大加工效率。但值得注意的是，vtemp的大小需要保證vs到vtemp的加速段長和vtemp到ve的減速段長大于插補周期T內(nèi)按照S型加減速該位置對應(yīng)的插補步長ΔL，否則插補時得到的插補點會越過該中間速度點。

(3)D

減速過程同理，計算兩個臨界距離，也有3種規(guī)劃情況。

完成速度規(guī)劃之后，通過計算起始點到當(dāng)前插補點的弧長來確定該點在速度規(guī)劃里的位置，從而獲得對應(yīng)的速度。但由于本文是采用Runge-Kutta法求解插補參量的，公式中不是直接使用瞬時速度，而是一個插補周期T內(nèi)的步長ΔL，即速度圖上當(dāng)前點向后一個T時間范圍走過的面積。

所以在給定一個參量uj后，按照速度規(guī)劃的結(jié)果，得到的是一個步長ΔLj。但到現(xiàn)在為止速度規(guī)劃僅考慮了單條樣條的插補情況，反映在五軸加工上即只顧及了刀尖點qm=(xm,ym,zm)的運動狀態(tài)。于是在實時獲得ΔLj且計算出uj+1后，還需要利用式(5)得到刀柄曲線wj和wj+1，分別計算出C(uj)、C′(wj)以及C(uj+1)、C′(wj+1)。并結(jié)合C(uj-1)、C′(wj-1)來計算刀軸矢量A(uj)變化的速度和加速度如圖4。

(6)

如果求得的速度和加速度滿足最大角速度、角加速度約束，則ΔLj可以使用，否則按照最大角速度、角加速度約束反解允許的最大步長ΔLjmax，然后再利用式(3)求插補參量uj+1。

4 實驗結(jié)果與分析

實驗采用S樣件的刀位文件，利用最小二乘法，分別對直接插補 (利用坐標(biāo)變換前X,Y,Z,A,C形成的五維向量作為原始點) 和雙樣條插補進行擬合。得到結(jié)果圖5～7。

從結(jié)果圖中可以看出，S樣件的數(shù)據(jù)點中會出現(xiàn)刀軸矢量突變的情況，采用平移坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)合并的直接插補法擬合，矢量擬合誤差小，但會沿襲這樣的曲線特性；而采用雙樣條插補的計算方法進行擬合，會填補刀軸矢量使其平滑過渡，但擬合誤差會增大。

插補過程中，采用參數(shù)：插補周期T=1 ms、最大進給速度F=2 000 mm/min、最大加速度為a=600 mm/s2、最大加加速度J=20 000 mm/s3、最大弦高誤差error=0.01 mm。插補結(jié)果如圖8。

在兩種插補方法中，實驗數(shù)據(jù)點被分為了三段進行擬合，在采用相同的速度規(guī)劃策略的前提下，直接插補法在樣條內(nèi)部會多產(chǎn)生幾個危險點，使其最終插補速度曲線呈現(xiàn)多次加減速；雙樣條插補也因平均速度更大，整個插補所用時間也更短。從加速度曲線來看，雙樣條插補能保證所有點的加速度都滿足最大加速度要求且波動次數(shù)更少。最后旋轉(zhuǎn)軸速度運動表現(xiàn)上，也如同擬合結(jié)果分析的那樣，雙樣條插補的旋轉(zhuǎn)軸速度過渡更平滑。

5 結(jié)語

本文對五軸加工中雙樣條插補的整個計算過程進行了仿真模擬，并將其與常見的直接樣條插補法進行了比較。兩種插補方法均采用相同的最小二乘擬合方法以及S型曲線速度規(guī)劃，從模擬結(jié)果數(shù)據(jù)可以看出，雙樣條插補與直接插補法在刀尖點的擬合精度上差別不大，但在刀軸矢量上，雙樣條插補犧牲了一定的擬合精度。但不管是刀尖點還是旋轉(zhuǎn)軸，雙樣條插補得到的運動參數(shù)曲線表現(xiàn)都更出色。在五軸加工中，根據(jù)原始點數(shù)據(jù)信息和機床自身特性，可以適當(dāng)采取不同的插補方法，雙樣條插補不失為不錯的選擇之一。