趙 春

(內(nèi)蒙古機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

1 漸開線及其基本性質(zhì)

如圖1所示，漸開線齒輪輪齒兩側(cè)的工作齒廓是內(nèi)兩段對(duì)稱的漸開線所組成。漸開線的形成過(guò)程如圖2所示，當(dāng)一直線L沿某一半徑為rb的圓周作純滾動(dòng)，該直線從位置I順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)到位置II時(shí)，直線上任一點(diǎn)K所形成的軌跡眾AK就是該圓的漸開線。

圖1 漸開線的形成

圖2 漸開線齒廓的形成

圖3 漸開線齒廓的壓力角

漸開線的數(shù)學(xué)方程式，為了對(duì)漸開線齒輪嚙合傳動(dòng)的一些參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，漸開線的數(shù)學(xué)方程式最常用的是極坐標(biāo)方程式由上圖可知，rx為漸開線上任意一點(diǎn)的向徑，θx為漸開線上任意一點(diǎn)的漸開角。

任意一點(diǎn)的向徑為:

(1)

漸開線上任意一點(diǎn)的漸開角θx為:

θx=tanαx-αx

(2)

(2)式中的tanαx、θx和αx均以弧度表示。

由上式可知，漸開線θx是隨壓力角αx的大小變化的，只要知道漸開線上各點(diǎn)的壓力角αx，則可求出各點(diǎn)的漸開角θx。因此稱的漸開角θx為壓力角αx的漸開線函數(shù)，用invαx表示invαx=θx。

漸開線曲線方程的建立，時(shí)刻t時(shí)，AB段線段在坐標(biāo)系2中的曲線族參數(shù)方程為：

(3)

(4)

消去θ得到:

(5)

在方程(3～5)兩邊對(duì)α求偏導(dǎo)得到：

(6)

聯(lián)立式(3～5)，式(3～6)可得：

(7)

則可得，漸開線的極坐標(biāo)方程為：

(8)

斜齒輪Pro/E內(nèi)笛卡爾坐標(biāo)系下的漸開線方程：

r=DB/2

theta=t×45

x=r×cos(theta)+r×sin(theta)×theta×pi/180

y=r×sin(theta)-r×cos(theta)×theta×pi/180

z=0

2 過(guò)渡曲線方程

齒根過(guò)渡曲線形狀分別由刀具與齒坯的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系和刀具頂部的刃形決定，齒條形刀具加工出來(lái)的齒輪的過(guò)渡曲線是延伸漸開線的等距曲線，而由齒輪型刀具則為延伸外擺線的等距曲線，如圖3～圖4所示。

I、II兩段為延伸漸開線的等距曲線III段為齒輪的根圓圓弧

I段為延伸漸開線的等距曲線

對(duì)于第一種過(guò)渡曲線，其參數(shù)具有以下關(guān)系：

xc=ha*m+c*m-ρ0

(9)

(10)

(11)

刀具齒廓如圖3～圖5所示，其參數(shù)具有以下關(guān)系：

xc=ha*m+c*m-ρ0

(12)

(13)

(14)

在以上刀具參數(shù)關(guān)系式中：

xc—刀頂圓角圓心距中線的距離；

yc—刀頂圓角圓心距刀具刀槽中心的距離；

ρ0—刀頂圓角半徑。

2.1 過(guò)渡曲線方程的建立

BC段圓弧在展成運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的曲線族在坐標(biāo)系2中的參數(shù)方程：

(15)

消去θ，可得：

(x-(a-rα)cosα-bsinα)2+(y-(rα-a)sinα-bcosα)2=R2

(16)

方程兩邊對(duì)α求偏導(dǎo)，可得：

(x-l1)l2+(y-l3)l4=0

(17)

其中，l1=(a-rα)cosα+bsinα,

l2=(b-r)cosα+(rα-a)sinα,

l3=(rα-a)sinα+bcosα,

l4=(r-b)sinα+(rα-a)cosα

在消去θ的過(guò)程中引入了多余的根，所以上述4組解中有3組是不符合要求的，通過(guò)實(shí)際作圖判斷，可以得到合理的一組解，作為過(guò)渡曲線在坐標(biāo)系2中的參數(shù)方程。聯(lián)立上述兩個(gè)方程求解可得到:

(18)

建立如圖3～圖5所示的齒條刀具和齒輪坯的坐標(biāo)系。曲線ABC為齒條刀具齒廓，其中AB段為直線，BC段位圓弧。d為齒條刀具節(jié)線與齒輪輪坯中心間的距離。設(shè)齒輪的變位系數(shù)為x，則d=m(z/2+x)。坐標(biāo)系1與齒條刀具固連，坐標(biāo)系2與齒輪坯固連。為了求取齒輪輪齒齒廓曲線方程，可將展成運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化成如下運(yùn)動(dòng)：齒條刀具沿x1方向以速度v平動(dòng)，齒輪坯繞自身原點(diǎn)以角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。v與w之間滿足：

(19)

圖5 刀具齒輪坯坐標(biāo)系

若以齒輪坯坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，則展成運(yùn)動(dòng)可看成齒條刀具繞著坐標(biāo)系2的原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí),沿著切線方向平動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AB線段曲線族的包絡(luò)線就是齒輪輪齒的漸開線部分，BC段圓弧曲線族的包絡(luò)線就是過(guò)渡線部分。

初始狀態(tài)時(shí)，AB段曲線在坐標(biāo)系1中的參數(shù)方程為：

(20)

-m≤θ

BC段曲線在坐標(biāo)系1中的參數(shù)方程為：

(21)

2.2 漸開線斜齒輪精確建模

斜齒輪的建模分析：

2.2.1 創(chuàng)建齒輪的基本圓。首先用草繪曲線的方法，以任意直徑繪制4個(gè)同心圓，如圖6所示，通過(guò)參數(shù)之間的關(guān)系來(lái)控制圓的大小。

圖6 創(chuàng)建齒輪的基本圓

2.2.2 創(chuàng)建并鏡像漸開線。用定義曲線方程來(lái)生成漸開線齒廓的方法，如圖7所示，創(chuàng)建精確的漸開線。然后鏡像已創(chuàng)建的漸開線，用關(guān)系式來(lái)控制鏡像平面之間的角度。

圖7 創(chuàng)建并鏡像漸開線

2.2.3 拉伸形成實(shí)體。通過(guò)拉伸創(chuàng)建齒根圓實(shí)體和齒輪的首個(gè)齒形，如圖8所示。

圖8 拉伸形成實(shí)體

2.2.4 陣列輪齒。對(duì)創(chuàng)建的輪齒進(jìn)行陣列，如圖9所示，完成齒輪的基本外形，同樣需要加入關(guān)系式來(lái)控制齒輪的齒數(shù)以及其他參數(shù)。

圖9 陣列輪齒

2.2.5 陣列輪齒。創(chuàng)建齒輪的輪軸、倒角、端面孔等細(xì)節(jié)特征，最終齒輪軸實(shí)體如圖10所示。

圖10 齒輪軸實(shí)體

2.2.6 斜齒輪副裝配。根據(jù)齒輪副中心距設(shè)置裝配軸線，以銷釘連接的裝配方式，選擇軸對(duì)齊保證與齒輪中心軸線重合，以軸端面為對(duì)齊平面設(shè)置端面偏距，完成齒輪副的裝配，在應(yīng)用程序里設(shè)置齒輪副定義。裝配體效果如圖11所示。

圖11 斜齒輪裝配體