顏楚雄，王蘊寶，秦緒國，童軼男，宋加洪

（1. 北京航天長征飛行器研究所，北京，100076；2. 火箭軍裝備部駐北京地區(qū)第一軍事代表室，北京，100076）

0 引 言

機動飛行器具有速度高、射程遠以及機動能力強等特點，近年來受到了國內(nèi)外學者的廣泛關注。這類飛行器采用火箭發(fā)動機助推，在一定高度獲得較高的初始速度，然后利用所獲得的動能在大氣層能進行機動飛行。該飛行器在無動力段始終可以保持機動飛行，飛行軌跡難以預測，被攔截概率大幅降低[1]。

機動飛行器的軌跡設計需要滿足一系列飛行終端約束和過程約束[2～4]。終端約束包括高度、速度與速度傾角等要求。飛行過程約束需要考慮發(fā)動機推力、氣動特性、熱防護限制、控制能力以及過載等約束。

除上述約束，最小動壓約束也成為了飛行器軌跡設計中不可忽視的因素。為了保證機動飛行器具有較高的機動性能[5]，飛行器逐漸被設計成靜不穩(wěn)定的，這就要求飛行器在無動力飛行段擁有足夠的氣動力，以保持姿態(tài)穩(wěn)定控制[6]。因此，考慮最小動壓約束是這類機動飛行器軌跡設計時不可忽略的問題。

另外，傳統(tǒng)的飛行器軌跡優(yōu)化設計方法大多都是將飛行軌跡分為主動段與無動力段，然后對不同飛行段落分別進行設計與優(yōu)化，最后將飛行軌跡組合得到全程設計結果。從各分段來看，其飛行軌跡與性能指標是最優(yōu)的。然而，從全程軌跡來看，其性能未必是最優(yōu)的[7,8]。因此，綜合考慮全程軌跡，合理選擇分離點參數(shù)[9]，對提升飛行性能有著重要作用。

針對上述問題，本文首先建立了飛行器軌跡優(yōu)化問題的相關模型，同時以攻角變化率作為虛擬控制量，確保攻角變化連續(xù)且平緩。然后，建立了利用hp自適應偽譜法的軌跡優(yōu)化問題求解方法。利用該算法，分析最小動壓約束對無動力飛行軌跡中各狀態(tài)變量的影響；同時，在最小動壓影響下，分析分離點參數(shù)對飛行軌跡的影響；最后，提出一種主動段與無動力段的全程聯(lián)合優(yōu)化方法，以提升整個飛行過程的性能指標。

1 飛行器軌跡優(yōu)化問題

1.1 飛行器動力學方程

根據(jù)飛行器受力情況，縱向平面內(nèi)的飛行器動力學方程可以表示為[10]

式中V為飛行器的飛行速度；α為攻角；θ為速度傾角；x為飛行器的射程；y為飛行高度；g為重力加速度；m與S分別為飛行器的質量與參考面積；T為飛行器所受到的推力，CD和CL分別表示阻力系數(shù)和升力系數(shù)；Isp為發(fā)動機比沖；q為動壓。

為了減輕控制系統(tǒng)負擔，使攻角變化連續(xù)且平緩，以攻角變化率作為虛擬控制量，則可以得到狀態(tài)方程dα/dt=α˙。將該式補充到式（1）中，則方程的狀態(tài)變量為x=[Vθxymα]T，控制變量為

1.2 性能指標與約束條件

1.2.1 目標函數(shù)

以機動飛行器最大射程x作為優(yōu)化的性能指標：

式中tf為終端時間。

1.2.2 控制約束與過程約束

對于飛行器軌跡優(yōu)化，需要滿足各類飛行過程約束以及控制約束。對飛行器的攻角變化范圍與變化速率分別進行限制，即

動壓會對飛行器舵面的執(zhí)行能力以及飛行器的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。過大的動壓會在飛行器舵面產(chǎn)生較大的鉸鏈力矩，破壞舵面執(zhí)行機構。另一方面，對于始終在大氣層內(nèi)飛行的飛行器而言，需要滿足最小動壓約束，使得飛行器具有足夠的控制能力。因此，動壓約束的形式為

最大過載約束為

式中L與D分別為飛行器所受阻力與升力。

最大駐點熱流約束為

式中kQ為針對某一外形飛行器的比例系數(shù)；ρ為大氣密度。

1.2.3 終端狀態(tài)約束

為了滿足飛行器末制導交班約束，對機動飛行器的終端高度以及速度進行約束，即

2 hp自適應偽譜法

為解決滿足多約束條件下的機動飛行器軌跡優(yōu)化問題，本文采用hp自適應偽譜法[11,12]。該方法通過建立Legendre-Gauss-Radau配點，將最優(yōu)控制問題轉化為非線性規(guī)劃問題。轉化后的非線性規(guī)劃問題為

式中f，C以及φ分別為狀態(tài)方程約束、路徑約束以及終端約束；為第k個區(qū)間第i個配點的權重，是Radau偽譜微分矩陣，與分別為第k個子區(qū)間中第i個配點的狀態(tài)變量與控制變量；Nk為第k個子區(qū)間的配點個數(shù)[11]。

上述非線性規(guī)劃問題可通過成熟的數(shù)值算法工具包進行求解。當求解該問題精度無法滿足要求時，hp自適應偽譜法通過調(diào)整多項式階數(shù)與區(qū)間劃分個數(shù)，提高求解精度，并保證計算效率[12]。

3 仿真計算與結果分析

3.1 最小動壓約束影響下的無動力段飛行軌跡

在無動力飛行段，飛行器依靠從主動段獲得的能量，并且通過氣動力保持姿態(tài)穩(wěn)定。因此，一定的氣動力是保證飛行器擁有足夠穩(wěn)定性的必要條件。本節(jié)首先分析在最小動壓約束影響下的無動力段飛行軌跡的變化。

飛行器的初始條件為：V(t0)=2500 m/s，y(t0)=30 km，θ(t0)=25 °；終端約束為：v(tf)=500 m/s，最小動壓約束為qmin=2 kPa。

采用hp自適應偽譜法，對飛行器在考慮最小動壓約束條件下進行軌跡優(yōu)化設計，并將優(yōu)化結果與不考慮最小動壓約束時的優(yōu)化軌跡進行對比，對比結果如圖1所示。

圖1 最小動壓約束影響下的飛行軌跡對比Fig.1 The Comparison of Trajectory with Effect of Minimum Dynamic

由圖1可知：不考慮動壓約束時，飛行器最大飛行高度約為87 km，射程可達到1261 km，最小動壓約為0.02 kPa，此時，飛行器受到的氣動力作用較弱，若出現(xiàn)擾動，將難以保持姿態(tài)穩(wěn)定，該條件下，飛行器無需限制飛行高度，在初段可以利用正攻角以獲得更遠的射程；當考慮最小動壓約束時，飛行器最大飛行高度為53.6 km，最小動壓大于2 kPa，飛行器擁有足夠的氣動力進行姿態(tài)穩(wěn)定控制；由于考慮了最小動壓約束，飛行器在初始段使用負攻角壓低飛行軌跡，最大飛行高度有較大程度降低，射程減小了約9%，飛行時間也隨之減少。

3.2 初始參數(shù)對飛行軌跡的影響

通過上述分析可知，最小動壓約束對飛行軌跡，尤其是無動力飛行初始段的軌跡，有著較大影響。

分析分離點參數(shù)對飛行軌跡的影響時，無動力段初始參數(shù)設置如表1所示。

表1 初始條件參數(shù)設置Tab.1 The Initial Condition

圖2 不同初始條件下的飛行軌跡對比Fig.2 Comparison of Trajectory with Different Initial Condition

圖2為利用hp自適應偽譜法在不同初始條件下滿足最小動壓約束的飛行軌跡對比曲線。

由于初始參數(shù)的不同，飛行軌跡也有所不同。由圖2中由初始條件1與條件2進行對比可以發(fā)現(xiàn)，增加初始速度可以增加射程，但其在初始階段使用了更大的負攻角下壓飛行高度；由圖2中條件1與條件3飛行曲線對比可知，條件3增加分離點高度后，為了滿足最小動壓約束，飛行器采用更長時間的負攻角飛行，其射程反而減小。這說明由于最小動壓約束的影響，增加初始點飛行高度未必能增加射程。通過條件1與條件4對比，將分離點速度傾角適當減小，飛行器可避免使用負攻角以滿足最小動壓約束，能夠有效增加射程。

3.3 全程軌跡聯(lián)合優(yōu)化

傳統(tǒng)的飛行器全程軌跡采用分段設計方法，通常是將主動段和無動力飛行段分別進行設計的。主動段的終端條件被設置為無動力飛行段的初始條件，主動段的終端條件將很大程度上影響飛行軌跡的形式和射程。一般情況下，主動段終端條件的機械能越大，其射程越遠。在這種設計思路下的飛行軌跡從每一段看性能指標都是最優(yōu)的。

但是，由于最小動壓約束的限制，飛行器會在無動力段初始采用負攻角，避免較大的飛行高度，以致無法滿足動壓約束。這樣將會消耗一部分飛行器能量。傳統(tǒng)分段優(yōu)化方法無法得到對于整條飛行軌跡為最優(yōu)的設計結果，而且，分離點參數(shù)對無動力段飛行軌跡有著較大影響。因此，本文提出在滿足包括最小動壓約束在內(nèi)的各項約束情況下，將主動段與無動力段放在一起進行聯(lián)合優(yōu)化設計，合理設計無動力飛行段的初始參數(shù)，以得到最大的射程。

為了對比分析兩種設計方法，以最大射程作為性能指標，分別利用分段設計方法與全程優(yōu)化設計方法對軌跡進行設計。

分段設計時，主動段性能指標函數(shù)為

無動力段依然選為

飛行器初始條件為：V(t0)=0 m/s，θ(t0)=0°，y(t0)=0 m；飛行器終端狀態(tài)為：V(tf)=最大動壓約束qmax=400 kPa，最小動壓約束為qmin=2 kPa，最大過載約束為nmax=6g，最大駐點熱流約束為=500 km/m2，主動段控制量約束為-15°≤≤15°、-2 (°)/s≤≤2 (°)/s，無動力飛行段控制量約束為-30°≤≤30°、-5 (°)/s≤≤5 (°)/s。為減小攝動，主動段與無動力段交接點的攻角約束為0。

圖3給出了飛行器在滿足各項約束情況時，全程優(yōu)化與分段優(yōu)化的對比曲線。

圖3 全程優(yōu)化與分段優(yōu)化對比Fig3 The Comparison of Whole and Seperate Phase Optimization

由圖3中可以看出，應用兩種設計方法，飛行器飛行狀態(tài)變化趨勢基本一致，且都能夠滿足過程約束與終端約束。由圖3b可知，分段優(yōu)化方法得到的射程為888.3 km，全程優(yōu)化射程為959.9 km，相較于分段優(yōu)化方法，全程優(yōu)化方法射程提升8.1%，飛行時間也隨之增加，這說明在考慮多約束的飛行軌跡設計時，全程優(yōu)化設計方法優(yōu)于分段設計方法。結合圖3d可以看出，全程優(yōu)化方法在主動段飛行時采用了更長時間的負攻角飛行，分離點的速度傾角更小，在無動力段沒有采用負攻角飛行，而采用分段優(yōu)化方法時，在無動力段初始階段采用負攻角壓低飛行高度，增加了飛行器能量的消耗，射程隨之減小。由圖3a、3c與3e中可以看出，在無動力段起始點，分段優(yōu)化高度為26.51 km，速度為2237 m/s，速度傾角為31.0°，全程優(yōu)化高度為28.89 km，速度為2222 m/s，速度傾角為24.75°。從能量的角度來說，無動力段初始時刻的機械能大于全程優(yōu)化，但其終端射程小于全程優(yōu)化結果，這說明分段優(yōu)化方法在無動力段初始點有著最大機械能，其僅考慮了高度與速度的最優(yōu)組合，未考慮速度傾角對射程的影響；全程優(yōu)化能夠對主動段與無動力段約束聯(lián)合考慮，不僅對無動力段初始高度、速度進行了尋優(yōu)，同時還對速度傾角進行了優(yōu)化，保證了其在無動力段的長時間滑翔，避免了在無動力段為滿足過程約束而產(chǎn)生的能量損耗，故射程較遠。分段設計方法以最大機械能為指標，僅考慮了無動力段的初始高度與速度，未考慮速度傾角的影響，所以其射程小于全程設計方法。

4 結 論

本文利用hp自適應偽譜法針對最小動壓約束影響的飛行軌跡進行了分析與優(yōu)化設計。在最小動壓約束下，飛行器飛行高度、速度、射程以及飛行時間等狀態(tài)變量都會受到較大影響。無動力段的初始速度增加及速度傾角適當減小都能達到提升射程的目標，而增加初始高度未必能夠提高射程。利用提出的全程軌跡聯(lián)合優(yōu)化設計方法，進行了包括最小動壓約束在內(nèi)的多約束條件下的機動飛行器軌跡優(yōu)化設計。通過與分段設計方法進行對比，該方法能夠綜合考慮主動段與無動力段，對分離點高度、速度與速度傾角同時優(yōu)化，達到提高性能指標的目的。