孫一航 劉小輝

在各類高中數(shù)學(xué)測試題和高考題中，自然對(duì)數(shù)的底e的泰勒展開式及其變式是命題的一個(gè)重要出發(fā)點(diǎn).本文簡要介紹泰勒公式和自然對(duì)數(shù)的底e，并結(jié)合例題分別呈現(xiàn)出利用泰勒公式進(jìn)行高中數(shù)學(xué)解題的思想和方法.最后，得到融入泰勒公式的高中數(shù)學(xué)命題的一般模式，總結(jié)命題思想及體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

評(píng)注 本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、二項(xiàng)式定理，這是一道典型的綜合題.作為壓軸題它具備一定的難度，但究其考察的知識(shí)內(nèi)容與思想方法依然是在學(xué)生的能力范圍之內(nèi).第（1）問只需套用二項(xiàng)式定理公式即可解答;第（2）問則需要綜合運(yùn)用到求導(dǎo)、均值不等式和放縮、構(gòu)造函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法;第（3）問則考察學(xué)生的二項(xiàng)展開式的計(jì)算和變形.同時(shí)，本題滲透了極限、收斂的思想，可以說是一道不錯(cuò)的高考題.

從高觀點(diǎn)的角度來看本題第（2）問，我們可以發(fā)現(xiàn)對(duì)任意函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，只需要保證f（x）與f″（x）為非負(fù)均可得到我們要證明的結(jié)果，我們并不需要用到f（x）的具體表達(dá)式，也就是說這個(gè)結(jié)論是一般性的.命題者將一般性的結(jié)論引進(jìn)到特定的函數(shù)之中，這就是命題者命題的出發(fā)點(diǎn)，并且得到的式子的結(jié)構(gòu)整齊對(duì)稱.此題對(duì)學(xué)生來說是陌生的，跟他們之前做過的題目會(huì)有所不同，這會(huì)使學(xué)生感到困難，在考試中造成一定的心理壓力.他們通常會(huì)按部就班地將證明中所涉及的導(dǎo)數(shù)都求出來再去尋找下一步的解題方向，只要學(xué)生計(jì)算沒出現(xiàn)錯(cuò)誤且會(huì)通過放縮等方法去比較兩個(gè)式子的大小，那么這道題也能解決.綜合來看，這道題沒有超出對(duì)學(xué)生的思維水平和計(jì)算能力要求，卻又給學(xué)生帶來了一定的挑戰(zhàn)，起到高考?jí)狠S題的作用.

3泰勒公式在高中數(shù)學(xué)命題中的模式

從以上兩道例題的命題模式來看，我們可以看出，泰勒公式在高中數(shù)學(xué)題的命制中主要有兩種模式：

一是運(yùn)用泰勒公式的特殊形式來命題.比如例1，直接利用e^x的泰勒展開式在x=1時(shí)的特殊形式來命制題目.在命題中泰勒公式只作為檢驗(yàn)命題結(jié)果是否正確的工具.

二是借助泰勒公式的內(nèi)涵及其結(jié)論來設(shè)計(jì)題目.比如例2，此類題目的命制需要命題者在命題時(shí)就對(duì)泰勒公式有一定的了解，從泰勒公式的一般結(jié)論出發(fā)，通過逆向推導(dǎo)和具體化來命制題目.通常是將泰勒展開式進(jìn)行簡化和四則運(yùn)算，如去掉高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，或省去無窮小項(xiàng)來得到不等關(guān)系.

但無論是哪一種命題模式，命題者在題目命制完成后一定需要做到使題目的形式、內(nèi)容以及解答，都不超出學(xué)生的已有能力.學(xué)生不需要掌握泰勒公式的知識(shí)，也不要求認(rèn)得泰勒展開式的形式，利用已掌握的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法便可進(jìn)行解題.一道好的高中數(shù)學(xué)題，要能在學(xué)生解題的過程中體現(xiàn)出學(xué)生綜合運(yùn)用觀察、聯(lián)想、嘗試、轉(zhuǎn)換、猜想、歸納、類比等數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法初步判斷出答案的數(shù)學(xué)品質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生用綜合法、分析法、三段論等嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證方法來探索解答過程，尋求答案的正確性和科學(xué)性，不斷提升數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).