崔曉萌， 趙小山

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院 天津 300222)

分數(shù)階微積分作為對傳統(tǒng)整數(shù)階微分和積分微積分的擴展和推廣，由于其具有建模動態(tài)行為、更大的穩(wěn)定性等明顯優(yōu)勢，因此一直應(yīng)用于控制理論和工程學(xué)以提高目標系統(tǒng)的性能和魯棒性以及遺傳特性。在過去的幾年中，前人研究了分數(shù)階系統(tǒng)的一些顯著魯棒控制結(jié)果[1-3]。由于其在安全通信和控制處理中的潛在應(yīng)用[4,5]，分數(shù)階動力學(xué)系統(tǒng)及其相關(guān)現(xiàn)象中的混沌同步研究日益受到關(guān)注。

為了提高非線性系統(tǒng)的控制性能和魯棒性，許多非線性控制技術(shù)用于控制器設(shè)計,例如模糊控制[6,7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[8]、滑?？刂芠9,10]和自適應(yīng)控制[11，12]。另外，文獻[13]提出了一種自適應(yīng)模糊分數(shù)階滑?？刂?AFFOSMC)方法，保證了PMLSM的動子位置精密跟隨給定。在現(xiàn)實生活尤其是工程中，時滯現(xiàn)象與不確定因素是普遍可以看到的，這樣就會導(dǎo)致系統(tǒng)性能的不穩(wěn)定性[14]。對分數(shù)階混沌系統(tǒng)在不確定性和外界干擾下通過有限時間控制，可使系統(tǒng)在有限時間收斂到零，但是設(shè)計的控制器魯棒性性能未能達到理想的效果。隨著學(xué)者們的研究逐漸深入，發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)測量和測量元件過程中有些系統(tǒng)的時滯量是不可避免的。前人也研究了相關(guān)的分數(shù)階時滯混沌系統(tǒng)的同步問題。但是，由于數(shù)值仿真驗證分數(shù)階時滯微分混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性不是那么容易。因此，相關(guān)的研究不是很多。

針對上述出現(xiàn)的問題，本文利用自適應(yīng)模糊滑模控制研究了一類帶有外界干擾和不確定項的分數(shù)階時滯系統(tǒng)。最后通過數(shù)值仿真驗證控制器的魯棒性以及控制方法的有效性。

1 預(yù)備知識

1.1 分數(shù)階微分算子定義

與經(jīng)典的“整數(shù)階”方法相比，分數(shù)階微積分可以更準確地描述和建模實際對象。分數(shù)階微積分目前沒有統(tǒng)一的定義方法，但是常用的有3種。分別是：G-L型定義、R-L定義以及Caputo定義。在實際工程應(yīng)用中，常用的是Caputo定義。因此，我們簡單介紹Caputo定義。

其中，Caputo微積分拉普拉斯變換為

(2)

其中，m-1

1.2 分數(shù)階微積分性質(zhì)

計算分數(shù)階微積分時，利用分數(shù)階微積分的性質(zhì)可以起到簡化計算步驟的作用。因此，這里簡單介紹常用的分數(shù)階微積分的相關(guān)性質(zhì)。

性質(zhì)1：如果q=m，其中m是整數(shù)。那么此時，分數(shù)階微積分的運算與整數(shù)階m微積分運算相同。

性質(zhì)2：如果q=0，那么aDtqf(t)=f(t)

(3)

性質(zhì)3：

Dq[αf(t)+βg(t)]=αDqf(t)+βDqg(t)

(4)

DqD-q=D0f(t)=f(t)

性質(zhì)4：分數(shù)階微積分滿足分配運算：

Dtqf(t)=Dtq1Dtq2...Dtqnf(t)

(5)

其中,q=q1+q2+...+qn

引理1：分數(shù)階時滯微分方程為

(6)

其中，v(t)∈R，t∈[0,+∞)是非負連續(xù)函數(shù)。φ(t)≥0，t∈[-τ,0]，滿足-a+b<0則方程的零解是漸近穩(wěn)定的。

1.3 模糊系統(tǒng)的萬能逼近原理

設(shè)有一個二維模糊系統(tǒng)g(x)為集合U=[α1,β1]×[α2,β2]?R2上的一個函數(shù)，但是這個函數(shù)的形式是未知的.設(shè)對?x∈U，都可以得到g(x),那么就可以設(shè)計一個逼近的模糊系統(tǒng)。那么就有下面的萬能逼近原理：假設(shè)f(x)為構(gòu)造的二維模糊系統(tǒng)，g(x)是未知函數(shù)。如果g(x)在U=[α1,β1]×[α2,β2]?R2是連續(xù)可微,那么模糊系統(tǒng)的逼近精度為

(7)

利用模糊系統(tǒng)的萬能逼近特性，可實現(xiàn)對被控對象的模型信息和外界干擾的逼近，并能夠通過參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整，實現(xiàn)不要模型信息的自適應(yīng)模糊滑?？刂啤?/p>

2 系統(tǒng)的描述

考慮如下帶有一類帶有雙重不確定項[15]的分數(shù)階時滯系統(tǒng)。

其中，驅(qū)動系統(tǒng)為

(8)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(9)

其中，xi(t)(i=1,2,3,4)和yi(t)(i=1,2,3,4)為狀態(tài)向量，τ為時滯量。f(x,t)、g(y,t)為該系統(tǒng)的非線性未知有界函數(shù)。d(t)為外界不確定項。u(t)∈R是控制輸入。

當α=0.95，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

同步誤差可定義為

e(t)=(e1,e2,e3)，其中ei(t)=yi(t)-xi(t)，i=1,2,3。

3 控制器的設(shè)計

3.1 滑模變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計

首先，通過滑模到達條件，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計傳統(tǒng)意義上的控制器[16],分兩個階段完成。第一階段：系統(tǒng)狀態(tài)由任意初始狀態(tài)向滑模面運動，直到進入該平面。該階段中滑模面對應(yīng)方程不為0，此時設(shè)計的任務(wù)是使系統(tǒng)滿足到達條件。第二階段：系統(tǒng)狀態(tài)進入滑模面并沿著滑模面運動。在該階段si(t)=0，此時設(shè)計的任務(wù)是使滑模動態(tài)具有期望的性能。因此，文章將滑?？刂破鞯脑O(shè)計分成了兩個步驟：(1)進行切換函數(shù)的s(t)設(shè)計；(2)根據(jù)滑動模態(tài)的到達條件進行控制器的設(shè)計。

設(shè)計分數(shù)階滑模面s(t)，并在系統(tǒng)到達滑模面時滿足條件s(t)=0。并且，保證系統(tǒng)誤差e能夠從第一階段到達第二階段的充分條件為

(10)

假設(shè)外界非線性函數(shù)f(x,t)、g(y,t)已知，并且無外界干擾，即d(t)=0。

定理1 誤差系統(tǒng)的滑模面可設(shè)計為

s(t)=k1e1(t)+k2e2(t)+k3e3(t)

(11)

其中，k1、k2、k3為任意常數(shù)，此時，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達到同步狀態(tài)。

Dqs(t)=Dq[k1e1(t)+k2e2(t)+k3e3(t)]

=k1Dq(y1-x1)+k2Dq(y2-x2)+k3Dq(y3-x3)

=k1(y2-x2)+k2(y3-x3)+k3[g(y,t)-

f(x,t)+ueq(t)+e3(t-τ)]

=k1e2+k2e3+k3[g(y,t)-f(x,t)+ueq(t)+

e3(t-τ)]

=0

從而得到等價控制器

(12)

從而設(shè)計切換控制器

usw=ηswDq-1(sgn(s(t))

(13)

其中，ηsw為正常數(shù)，且滿足：ηsw>|D1-qd(t)|+|D1-qω|，ω為最小近似誤差估計值。達到克服和補償系統(tǒng)的建模誤差，以此保證系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)是有界的。

因此，在非線性函數(shù)已知，并且不含外界干擾項僅有時滯量時，設(shè)計如下控制器，式(14)可使得誤差系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，進而使驅(qū)動系統(tǒng)(8)與響應(yīng)系統(tǒng)(9)達到同步。

e3(t-τ)-ηswDq-1(sgn(s(t))

(14)

然而在實際工程應(yīng)用中，不僅含有時滯量一種影響系統(tǒng)穩(wěn)定的因素[17]。除此，不可避免地存在外界干擾和未知不確定項。因此，實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)(8)和響應(yīng)系統(tǒng)(9)同步，僅僅依靠控制器式(14)是遠不夠的。

3.2 自適應(yīng)模糊滑?？刂破鞯脑O(shè)計

(15)

引理2：如果基于模糊控制系統(tǒng)的間接自適應(yīng)律為

(16)

其中，r1和r2為正常數(shù)。那么控制器保證了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，同步誤差e(t)將漸近收斂到零。

定理2：根據(jù)傳統(tǒng)滑模控制器(14)和模糊控制系統(tǒng)(15)得到自適應(yīng)模糊滑?？刂破鳛?/p>

e3(t-τ)-ηswDq-1(sgn(s(t))

(17)

使得帶有不確定項以及外界干擾的分數(shù)階混沌系統(tǒng)(8)和(9)逐漸同步。

(18)

其中，參數(shù)矩陣誤差的定義為

接著，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(19)

對式(19)求導(dǎo)，得

由式(11)得

Dqs(t)=Dq[k1e1(t)+k2e2(t)+k3e3(t)]

=k1e2+k2e3+k3[g(y,t)-f(x,t)+u(t)+

d(t)+e3(t-τ)]

將式(17)代入：

Dqs(t)=k1e2+k2e3+k3{[g(y,t)-f(x,t)]+

(sgn(s(t))]+d(t)+e3(t-τ)]}

由式(18)可得

-k3[ηswDq-1(sgn(s(t))]-d(t)-ω]

(sgn(s(t))]-d(t)-ω]

由引理2以及不等式性質(zhì)可以得出

=-k3|s(t)|{ηsw-‖D1-qd(t)‖-‖D1-qω‖}<0

即證。

因此，Lyapunov穩(wěn)定性定理可知,雙重不確定分數(shù)階混沌誤差系統(tǒng)，在控制器(14)的作用下，逐步穩(wěn)定。不僅實現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)(8)與響應(yīng)系統(tǒng)(9)的快速同步，在T-S模糊控制系統(tǒng)作用下，也有效地削弱了抖振。

4 數(shù)值仿真

考慮如下被控對象：

(20)

系統(tǒng)階數(shù)q取值為0.97；參數(shù)k1=k2=k3=1，正常數(shù)r1=r2=h=0.001，其中，h為步長。選取系統(tǒng)初值為x(0)=[0.2,0.6,0.9]，y(0)=[0.1,0.5,0.3]；時滯量τ=1；切換參數(shù)ηsw=2.5，選取以下5個為模糊輸入的隸屬函數(shù)。

μNM(xi)=exp[-((xi+π/3)/(π/12))2]

μNS(xi)=exp[-((xi+π/6)/(π/12))2]

μZ(xi)=exp[-(xi/(π/12))2]

μPS(xi)=exp[-((xi-π/6)/(π/12))2]

μPM(xi)=exp[-((xi-π/3)/(π/12))2]

其中，隸屬函數(shù)圖如圖1所示。

圖1 隸屬函數(shù)圖

通過Matlab數(shù)值仿真[20]得到傳統(tǒng)意義下的不確定分數(shù)階時滯混沌系統(tǒng)的仿真結(jié)果，即圖2和圖3。

圖2 誤差系統(tǒng)時間歷程

圖3 傳統(tǒng)控制器時間歷程

通過圖2觀察到，在運行前期誤差系統(tǒng)的同步效果，當時間t=4 s時，誤差系統(tǒng)e1達到同步；時間t=2 s時，誤差系統(tǒng)e2、e3逐步趨于同步。

通過圖3可以觀察到控制輸入前期階段，由于切換項的引入引起了抖振現(xiàn)象，直至?xí)r間t=5 s時，系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定。

因為滑模變結(jié)構(gòu)控制中，切換增益項的引入引起系統(tǒng)抖振，這無論從理論上還是實際工程上都會帶來一些應(yīng)用的困難。理論上，切換增益函數(shù)為不連續(xù)函數(shù)，因此勢必會使得對應(yīng)工程模型方程的解不是唯一的。工程應(yīng)用上，控制器的抖振會造成執(zhí)行結(jié)構(gòu)的過度消耗。因此，對傳統(tǒng)的控制器通過模糊控制系統(tǒng)進行改進，其仿真圖效果如圖4和圖5。

圖4 誤差系統(tǒng)時間歷程

通過圖4，觀察到誤差系統(tǒng)通過對控制器改進之后，其很好地達到了同步狀態(tài)。

圖5 改進控制器時間歷程

通過圖5，可以觀察到控制器在運行到時間t=2 s時便已經(jīng)逐漸穩(wěn)定。很好地達到了削弱抖振的效果。

5 結(jié)論

基于Lyapunov穩(wěn)定性分析方法，研究了具有干擾的兩個不確定分數(shù)階時滯混沌系統(tǒng)之間的混沌同步問題。建立了T-S模糊控制系統(tǒng)模型作為改進的逼近器，對不確定項和未知參數(shù)進行了近似。建立了自適應(yīng)滑模控制系統(tǒng)，提出了自適應(yīng)滑模控制設(shè)計方法，不僅保證了所提出控制方法的穩(wěn)定性和魯棒性，也可以確保同步誤差的外部干擾得以緩解。最后，仿真結(jié)果表明了該控制策略的適用性和有效性。