摘 要:數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想方法,其能有效發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提高課堂教學(xué)效率。在實踐中,文章作者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的空間想象能力還不夠成熟,對枯燥的算式和數(shù)字有厭倦感,遇到難題也不會通過畫圖來幫助理解,但數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略可將抽象的知識具體化,使學(xué)生易接受?;诖?,文章擬建構(gòu)一個多維度數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行闡述。
關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;空間思維;多維度
作者簡介:李紅英(1969.11—),女,浙江杭州人,浙江省杭州市富陽區(qū)受降小學(xué),一級教師,本科,研究方向:小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。
一、現(xiàn)象與歸因
(一)看現(xiàn)象:數(shù)形結(jié)合思想的直觀情況
小學(xué)低中段學(xué)生的學(xué)習(xí)特點是以興趣為主,數(shù)學(xué)教材往往以與實際生活情境相關(guān)的符號、圖形、故事為主進(jìn)行編排,并沒有真正關(guān)注數(shù)量關(guān)系。大多數(shù)學(xué)生不能結(jié)合圖文完整地表述題目的含義,找出的數(shù)學(xué)信息不全,建立數(shù)量關(guān)系時亂湊數(shù),解題過程中缺乏空間想象。高段學(xué)生在解決問題時多數(shù)沒有將新舊知識聯(lián)系起來,未能思考現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和建構(gòu)空間模式,無法樹立起數(shù)形結(jié)合思想。那么如何讓不同學(xué)段的學(xué)生去理解不同的視圖內(nèi)容?如何讓數(shù)形結(jié)合思想在實踐操作中得到靈活有效的運用?這些問題都是筆者在本文中將要探討的話題。
(二)剖實質(zhì):數(shù)形結(jié)合思想在課堂實踐應(yīng)用中存在的問題
1.學(xué)生方面
第一,學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的知識掌握和方法掌握不夠,主要表現(xiàn)在兩方面:一是將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù);二是將數(shù)或式轉(zhuǎn)化成圖形。學(xué)生在實際做題中,往往沒有建構(gòu)起數(shù)形結(jié)合思想的概念,而是直接以數(shù)或式代形,導(dǎo)致解題受限,思維難以發(fā)散。
第二,學(xué)生思想上固有的依賴性。在日常教學(xué)中,學(xué)生對教師的作圖依賴性很強,導(dǎo)致在平時的作業(yè)中,不肯作圖或不能規(guī)范作圖。
2.教師方面
教師一般認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想沒有算理和算法重要,無意識地忽視了數(shù)形結(jié)合思想,對此降低或不作要求。目標(biāo)不明,則動力不足。
二、思考與設(shè)想
(一)數(shù)形結(jié)合的概念
數(shù)形結(jié)合就是把抽象的語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過以形助數(shù)或以數(shù)解形,使復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題具體化,從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。
(二)多維度的數(shù)形結(jié)合思想理念的意義
1.數(shù)形融合,理解文字內(nèi)涵
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,文字題占有很大比例,它是用文字表達(dá)數(shù)與數(shù)、數(shù)與形之間運算關(guān)系的題目,因此通過題目解讀結(jié)合數(shù)形以及思維的模式,就可以有效降低解題難度。所以為了讓學(xué)生理解題中的數(shù)量關(guān)系,我們應(yīng)盡可能將語言文字轉(zhuǎn)化成圖形,將抽象的語言文字形象化。
2.數(shù)形鏈接,構(gòu)建空間概念
在幾何形體的教學(xué)中,教師可以先拿出與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的幾何形體的直觀教具,讓學(xué)生觀察、體驗一下該幾何體的形狀、外形特征等,直接感知該幾何形體的直觀屬性,從而對所學(xué)內(nèi)容有直觀的認(rèn)識。
3.數(shù)形對比,厘清數(shù)量關(guān)系
動手操作可促使學(xué)生由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡。如果把抽象的知識轉(zhuǎn)化為看得見、摸得著、容易理解的知識,把要理解的知識點變得簡單化并生動有趣地呈現(xiàn)出來,就可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
4.數(shù)形互補,提煉多種算法
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,要鼓勵算法的多樣化。但算法多樣化并非一定要從中選優(yōu)、優(yōu)中選精,只要能體現(xiàn)學(xué)生自己的思維方式,都應(yīng)鼓勵他們多加提煉。算法多樣化是對學(xué)生個性化學(xué)習(xí)的尊重,也有利于學(xué)生之間的交流,同時也鍛煉了學(xué)生的高水平思維能力。
三、數(shù)形結(jié)合思想的實踐探究
(一)以形思數(shù)
1.在直觀中理解數(shù)
數(shù)學(xué)概念比較抽象,教學(xué)中,教師常常用數(shù)形結(jié)合思想開展教學(xué),利用學(xué)生對圖形與數(shù)字之間的聯(lián)系,讓學(xué)生的思考建立在對圖形的認(rèn)識、對數(shù)字的理解上。同時,教師通過滲透數(shù)形結(jié)合思想,實現(xiàn)了學(xué)生思維的多樣化。
【案例1】折出不同的面積為 ?的正方形。
(1)折出一個正方形,并且這個正方形的面積是原來正方形面積的 ?。給你的同學(xué)解釋一下,你折出的圖形面積為什么是原來面積的 ?。
(2)再折出一個三角形,并且這個三角形的面積是原來正方形面積的 ?。給你的同桌解釋一下,你折出的圖形面積為什么是原來面積的 ?,但這些三角形的形狀與前面折出的三角形的形狀是不同的。
利用手中的正方形紙片,借助日常生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,學(xué)生能折出步驟1、步驟2要求的正方形與三角形(見圖1、圖2),這是較低層級思維的思考。當(dāng)學(xué)生被要求折出新的三角形,且面積是原來正方形的 ?時,或面積是原來正方形的 ?時,學(xué)生也能借助直覺折出步驟3、步驟4要求的正方形與三角形(見圖3、圖4),學(xué)生也能借助數(shù)學(xué)推理向同桌解釋數(shù)學(xué)依據(jù),這是中高層級思維的思考。
2.明析數(shù)量關(guān)系
在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中,圖文式題目占有很大比例,主要是用文字表達(dá)數(shù)與數(shù)、數(shù)與形之間的運算關(guān)系。因此,學(xué)生合理利用數(shù)形結(jié)合想,對解題幫助很大。
【案例2】菜園里有15只小雞,還有8條小蟲,小雞比小蟲多多少?(用實物圖片擺)
從圖5中可清楚地看到,上面一行小雞比下面一行小蟲多,可把上面一行的小雞分為兩部分:一部分是一小蟲同樣多的,另一部分剩下的,只要把小雞和小蟲的數(shù)量一一對應(yīng),余下的就是小雞比小蟲多的數(shù)量。
練習(xí)變式:小雞加1只變成16只,小蟲加1條變成9條,那么小雞比小蟲多多少?
低層級思維的學(xué)生就是從16數(shù),一只一只減少9,相差7,這樣算既麻煩又易錯。
中層級思維的學(xué)生就是16先減6等于10,再減3等于7。
高層級思維的學(xué)生是就16減少1就是15,9減少1就是8,剛剛我們學(xué)過15-8等于7。
這種高層級思維可能源于小蟲的數(shù)量怎樣比小雞少,也可能源于對于減法的感性認(rèn)知,即差不變的性質(zhì)。
不同的算法,源于學(xué)生的數(shù)感。他們選擇這樣算,可能源于小蟲的數(shù)量怎樣比小雞少的一種數(shù)學(xué)比照,可能源于對朦朧的減法性質(zhì)的感知,明確了數(shù)量關(guān)系,即被減數(shù)和減數(shù)同時減去一個相同的數(shù),差不變。
3.幫助學(xué)生有序思考
【案例3】下面□的數(shù)量有怎樣的變化規(guī)律?第20個圖形有幾個□?
通過擺小木塊方式探究的學(xué)生,多數(shù)是將木塊放在圖形頂層,少部分放在右側(cè)(見圖6、圖7)。而采用畫圖方式的學(xué)生,增加的正方形幾乎全部擺在底層(見圖8)。學(xué)生能列出算式1+3+5+…+n,但第20個圖形的底層有多少個,運算有難度。
低層級思維的學(xué)生能夠根據(jù)變化規(guī)律逐步數(shù)出第20層有39個。
中層級思維的學(xué)生能夠根據(jù)觀察得出底層圖形數(shù)量的規(guī)律是:層數(shù)×2-1=底層圖形的數(shù)量。
高層級思維的學(xué)生能夠利用剪切平移法,將不規(guī)則的圖形想象成正方形(如圖9)。
最后得出結(jié)論:第20個圖形?數(shù)量的算法是:1+3+5+…37+39=20×20。
兒童的認(rèn)識規(guī)律,一般來說是從直接感知到表象再到形成科學(xué)概念的過程。通過形轉(zhuǎn)化為數(shù),學(xué)生拓展了對本部分知識學(xué)習(xí)的深度,一方面對將數(shù)轉(zhuǎn)化為形的知識進(jìn)行鞏固,另一方面又提升了逆向思考、發(fā)散性思維的能力。
(二)以數(shù)想形
1.引導(dǎo)學(xué)生在轉(zhuǎn)換中建立“形”
【案例4】“異分母分?jǐn)?shù)加減法”練習(xí)課,可參考圖10進(jìn)行教學(xué)。
先計算,再想一想你能發(fā)現(xiàn)什么。交流得出:此算式結(jié)合圖形計算難度更小。
學(xué)生用這種方法算出 ? ? ? ? ? ? ? ? ?。
在多媒體的幫助下,展示最后剩余的越來越小,引導(dǎo)學(xué)生感受極限思維,即最后逐漸逼近1,這是高等數(shù)學(xué)中常用的思維。
教師利用學(xué)生對圖形與數(shù)字之間的聯(lián)系的理解,讓學(xué)生的思考建立在對圖形的認(rèn)識、對數(shù)字的理解上,促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性、多樣化思考,這種設(shè)計滲透了數(shù)形結(jié)合的理念,也優(yōu)化了算法。
2.理解各種公式
【案例5】教學(xué)三角形的面積計算公式時,課始,絕大部分學(xué)生已經(jīng)隱約知道三角形的面積計算公式,教師展示圖形后,讓學(xué)生計算三角形(如圖11)的面積。
學(xué)生經(jīng)過思索,出示了多種式子,如8×4÷2、8×(4÷2)、8÷2×4,這些不同的式子體現(xiàn)了不同的圖形轉(zhuǎn)化思路,教師也大膽地請學(xué)生根據(jù)式子分別想辦法找到不同的轉(zhuǎn)換方法。學(xué)生分別用圖表示出各種算式的意思、各種推導(dǎo)公式的思路。
再經(jīng)過討論、分析,學(xué)生就可以發(fā)現(xiàn)三角形的面積計算公式是底×高÷2,這就由計算轉(zhuǎn)向了幾何推理。
3.激發(fā)學(xué)生運算靈性
【案例6】計算題“18×5”的教學(xué)。
我們不妨將例題改成:每套書有18本,王老師買了5套書。一共買了多少本?
(1)布置探究任務(wù),自主計算
師:同學(xué)們,今天我們來學(xué)學(xué)口算“18×5”,大家獨立思考,爭取用不同方法計算,并把自己的算法在格子圖上畫出來。
(2)小組分享、學(xué)習(xí)算法
在本例中,我們需要指導(dǎo)學(xué)生直接計算18×5,但畫圖的方法給他們帶來了驚喜和快樂——原來計算也可以這樣有意思。把18拆成9+9,重拼,18×5不就是9×10了嗎?
(三)數(shù)形結(jié)合
1.數(shù)形結(jié)合,幫助記憶數(shù)學(xué)知識
運用形象記憶的特點,使抽象的數(shù)學(xué)盡可能地形象化,學(xué)生對輸入的數(shù)學(xué)信息和知識的記憶就更加深刻。
2.數(shù)形結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維
教學(xué)中,教師常借助一題多解的形式,突出已知與未知之間的聯(lián)系,讓學(xué)生想出新的方法,提出新的問題,達(dá)到知識融會貫通,提高思維的廣闊性和靈活性,提高解決問題的能力。
3.數(shù)形結(jié)合,提高學(xué)生創(chuàng)新能力
教師可編選一些探索性題目,讓學(xué)生去研究,去探討,去發(fā)現(xiàn)。學(xué)生進(jìn)行一系列探索性思維活動,將已有的思維方式大跨度地遷移,從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的方法。
四、思考
(一)數(shù)形結(jié)合≠有圖有數(shù)
數(shù)形結(jié)合直觀、形象,可避免繁雜的計算、抽象的概念等。但并不是只要有圖和數(shù),就是數(shù)形結(jié)合。
(二)數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)應(yīng)注重時機
培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,要更多地關(guān)注學(xué)生學(xué)的時機,在相應(yīng)的年段提供行之有效的教學(xué)活動和方法。教師應(yīng)抓住學(xué)生學(xué)的時機,從一年級就開始培養(yǎng)他們的數(shù)形結(jié)合能力。
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