王錦麗, 鐘春曉, 任喜梅, 李蓉

(華東交通大學(xué)理工學(xué)院, 江西 南昌 330031)

0 引 言

光束在非線性介質(zhì)中傳輸時(shí),當(dāng)其衍射效應(yīng)和自聚焦效應(yīng)達(dá)到平衡,可以實(shí)現(xiàn)光束的空間波包不隨傳輸坐標(biāo)而改變的“自陷”傳輸[1-3],此時(shí)光束可稱(chēng)為空間光孤子。空間光孤子理論是實(shí)現(xiàn)光控光技術(shù)的基本原理之一,基于孤子之間的傳輸特性以及相互作用,改變空間孤子的孤子參量和選擇介質(zhì)的一些物理特性可以進(jìn)行孤子的自控,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)全光操縱,這在全光計(jì)算、全光信息處理、全光網(wǎng)絡(luò)以及量子測(cè)量等方面都有廣闊的應(yīng)用前景[4-6]。

近年來(lái),人們對(duì)各種空間光孤子展開(kāi)了大量研究[7-13],大部分的探討基于介質(zhì)無(wú)損耗情形,事實(shí)上,光束在介質(zhì)中傳輸時(shí)不可避免地會(huì)存在損耗,研究損耗對(duì)孤子的傳輸特性和孤子間的相互作用產(chǎn)生的影響對(duì)信號(hào)處理及全關(guān)開(kāi)關(guān)的應(yīng)用研究能提供理論參考[14-16]。本文用變分法探討了存在介質(zhì)損耗時(shí)平板波導(dǎo)中兩束中心重合的非相干光束的傳輸規(guī)律,得到了與變分參數(shù)有關(guān)的一組常微分方程,用解析法描述了傳輸過(guò)程中光束的振幅、間距、相位等參數(shù)的演化特性。在此基礎(chǔ)上,導(dǎo)出了兩孤子相互作用的勢(shì)函數(shù),討論了損耗對(duì)非相干耦合空間光孤子對(duì)相互作用的影響。

1 耦合非線性薛定諤方程(CNLS)的變分描述

在平板波導(dǎo)中傳播的兩束非相干自陷而形成耦合空間孤子對(duì),考慮介質(zhì)損耗,孤子對(duì)的傳輸可由耦合非線性薛定諤方程(CNLS)[17]

進(jìn)行描述,方程中的ψn(n= 1,2)、z、x分別表示兩孤子的歸一化包絡(luò)函數(shù)、傳輸距離和橫向坐標(biāo),Γ 為傳輸損耗系數(shù),i 為虛數(shù),sign(n2)=±1,分別對(duì)應(yīng)自聚焦介質(zhì)和自散焦介質(zhì),B=1 為兩孤子的非相干耦合系數(shù)。此處討論自聚焦介質(zhì),sign(n2)=1,方程(1)一般不可積。

由變分原理,方程(1)所描述的系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的拉格朗日密度可以表示為

式中

即為方程(1)而獲得驗(yàn)證。

對(duì)方程(1)取嘗試解

式中ηn、Δn、kn、φn(n=1,2)分別為兩孤子的振幅、中心距離、傳播速度和相對(duì)相位,它們都是傳輸距離z的函數(shù)。將(4)式代入(2)式,并定義平均拉格朗日密度

聯(lián)立(2)～(5)式,計(jì)算得到含損耗和耦合非相干作用的平均拉格朗日密度為

式中yi表示ηn、Δn、kn、φn等參數(shù)。將(6)式代入(7)式即可分別得到孤子參數(shù)ηn、Δn、kn、φn隨傳輸距離z變化的演化方程組。先由yi=φn,得

將(6)式代入(8)式計(jì)算得到

表明由于損耗的存在,兩空間光孤子的振幅隨傳輸距離呈指數(shù)型衰減。為便于討論兩孤子間的相互作用特性,令

式中u、υ 分別表示分離損耗項(xiàng)后兩孤子的包絡(luò)函數(shù),則方程(1)可改寫(xiě)為

方程(11)相應(yīng)的平均拉格朗日密度可表示為

對(duì)方程(11)取嘗試解

式中ηm、Δm、km、 φm(m=u,υ)分別為兩孤子的振幅、中心距離、傳播速度和相對(duì)相位,它們都是傳輸距離z的函數(shù)。將(13)式代入平均拉格朗日密度〈L′〉,并由約化的變分原理代入歐拉方程,導(dǎo)出傳輸過(guò)程中孤子各參數(shù)的演化方程

式中

2 空間光孤子對(duì)動(dòng)力學(xué)研究

為便于分析,考慮對(duì)稱(chēng)傳輸?shù)膬晒伦?/p>

其來(lái)自x軸反演下方程(11)的不變性。(18)式代入(15)式得到

對(duì)(19)式求導(dǎo),并利用(14)式得

(20)式可以進(jìn)一步寫(xiě)為

由相互作用勢(shì)能(23)式,可以得到兩空間孤子間相互作用力

(18)式代入(14)式得到

由(9)式可見(jiàn),傳輸過(guò)程中介質(zhì)損耗將造成孤子對(duì)的振幅隨傳輸距離不斷衰減,如果傳播距離過(guò)長(zhǎng)最終可能導(dǎo)致孤子對(duì)的變形崩潰。而(25)式表明,孤子的相位隨傳輸距離z的變化率dφ/dz同時(shí)受到振幅、介質(zhì)損耗、非相干相互作用項(xiàng)的影響。圖1 為dφ/dz隨Δ 的變化曲線,由圖可見(jiàn)在Δ ＜4 時(shí)相位變化率較大,相位變化明顯;而當(dāng)Δ 繼續(xù)增大時(shí),相位變化率逐漸趨于平穩(wěn),這說(shuō)明兩孤子間靠得越近,相互作用對(duì)相位的影響就越大。對(duì)比圖1 中的兩條曲線,可以發(fā)現(xiàn)介質(zhì)損耗減慢了相位變化的速度。

圖1 dφ/dz 隨Δ 的變化曲線(η=1)Fig.1 Variation of dφ/dz versus Δ with η=1

由(21)、(22)式可見(jiàn),兩孤子的相互作用方式可以看成是兩粒子在勢(shì)能作用下的相對(duì)運(yùn)動(dòng),相互作用勢(shì)能受介質(zhì)損耗的影響,隨傳輸距離呈指數(shù)型衰減;同時(shí),相互作用勢(shì)能隨孤子間距變化而變化: 當(dāng)Δ 為小量,即兩孤子相距較近時(shí)

當(dāng)Δ →∞,即兩孤子相距較遠(yuǎn)時(shí)

圖2 為由(24)式得到的空間光孤子間相互作用力F隨孤子間距Δ 的變化曲線。由圖可見(jiàn),相互作用力先增大后減小,在孤子間距Δ 等于1 附近達(dá)到最大值,即此間距為臨界值,孤子間吸引力達(dá)到最強(qiáng);當(dāng)Δ 繼續(xù)增大,相互作用減弱;當(dāng)Δ ＞5 時(shí),兩孤子會(huì)互不干擾的獨(dú)立傳輸。對(duì)比圖2 中的三條曲線,可見(jiàn)介質(zhì)損耗使得孤子間的相互作用力顯著減小。

圖2 F 隨Δ 的變化曲線(η=1)Fig.2 Variation of F versus Δ with η=1

3 結(jié) 論

探討了考慮介質(zhì)損耗時(shí)兩束非相干耦合光束在自聚焦介質(zhì)中的傳播特性。研究發(fā)現(xiàn),損耗將造成孤子對(duì)在傳輸過(guò)程中振幅隨傳輸距離不斷衰減,如果傳播距離過(guò)長(zhǎng),最終可能導(dǎo)致孤子對(duì)的變形崩潰;孤子間距離較小時(shí),相互作用對(duì)相位的影響較大,同時(shí)介質(zhì)損耗減慢了相位隨傳輸距離的變化速度;相互作用勢(shì)能隨孤子間距變化而變化,介質(zhì)損耗會(huì)使相互作用勢(shì)能呈指數(shù)型衰減;介質(zhì)損耗會(huì)顯著減弱孤子間相互作用力,在孤子間距Δ=1 附近作用力達(dá)到臨界值,此時(shí)孤子間吸引力最強(qiáng),繼續(xù)增大孤子間距,相互作用減弱,而當(dāng)孤子間距大于5 時(shí),兩孤子會(huì)互不干擾地獨(dú)立傳輸。