廣東省佛山市順德區(qū)勒流中學(xué)(528322) 鄧先春

普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)(2019年6月第一版)【以下簡(jiǎn)稱新教材】, 在內(nèi)容安排上嚴(yán)格依據(jù)普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)的課程性質(zhì)與基本理念,著力落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)與課程目標(biāo). 這套新教材在習(xí)題的編排上關(guān)注到學(xué)生的實(shí)際,分設(shè)復(fù)習(xí)鞏固、綜合應(yīng)用、拓廣探求等三個(gè)層次,形成數(shù)學(xué)能力的遞進(jìn)式增長(zhǎng). 下面就新教材P.255第23 題用幾何方法進(jìn)行研究.

題目: 如圖1,正方形ABCD 邊長(zhǎng)為1,P,Q 分別在邊AB,DA 上的兩點(diǎn),當(dāng)?APQ 的周長(zhǎng)為2 時(shí),求∠PCQ 的大小.

圖1

圖2

此題位于新教材第五章“三角函數(shù)”內(nèi)容處, 很容易聯(lián)想到利用和差角的三角函數(shù)公式, 先求∠DCQ+∠BCP的三角函數(shù)值, 并由0 < ∠DCQ + ∠BCP <確定∠DCQ + ∠BCP =從而∠PCQ =(詳見新教材教師用書P.293 解答,此處從略).

在新教材第215 頁“兩角差的余弦公式”推導(dǎo)過程中“把扇形OAP 繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)β 得到重合”的啟發(fā).下面用幾何方法對(duì)此進(jìn)行探求解答:

因?yàn)镻,Q 兩點(diǎn)分別在邊長(zhǎng)為1 的正方形兩鄰邊上并且滿足AP +AQ+PQ = 2 = 2×1 = AB +AD, 所以PQ=2?(AP+AQ),PB+QD =(1?AP)+(1?AQ)=2?(AP+AQ),所以PQ=PB+QD. 于是將Rt?CDQ 繞點(diǎn)C 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90?得到CD 與CB 重合,點(diǎn)Q 到點(diǎn)Q′,BQ′=DQ(如圖),BQ′與AB 共線. 這樣PQ′=PB+BQ′= PB+DQ = PQ,可見,在?PCQ 與?PCQ′中有CP = CP,CQ = CQ′,PQ = PQ′,∴?PCQ ～= ?PCQ′,∴∠PCQ=∠PCQ′. 又∵∠QCQ′=90?,∴∠PCQ=45?.

可見,用幾何方法解決此類問題比用和差角的三角函數(shù)公式求解更為簡(jiǎn)單高效. 教材安排此題只不過是為了起到運(yùn)用所學(xué)知識(shí)(三角知識(shí))解決問題以達(dá)到鞏固知識(shí)的作用.

于是,一般地,正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為a,P,Q 分別為邊AB,DA 上的點(diǎn). 當(dāng)?APQ 的周長(zhǎng)為2a 時(shí), 求∠PCQ的大小. 其結(jié)果也為45?. 證明可類似以上探究,此處從略.