廣東省汕頭市聿懷中學(xué)(515041) 李 虹

五點(diǎn)作圖法就能高效的解決正、余弦型函數(shù)含參題. 它是數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用,簡(jiǎn)單實(shí)用,學(xué)生只要找到三角函數(shù)中幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),就可以描繪出三角函數(shù)的簡(jiǎn)易圖像,通過圖像問題就能迎刃而解,且解法簡(jiǎn)捷,使復(fù)雜的三角問題簡(jiǎn)單化,抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.

1 含參單調(diào)性的問題

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解題模板: 第一步根據(jù)題意畫出第一零點(diǎn),主題至少畫兩個(gè)周期.

解題心得: 本題在考查正弦型函數(shù)單調(diào)性,求解參數(shù)ω的問題,這類題通常是中檔題或者難題,學(xué)生用三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間去解題會(huì)遇到較麻煩的分類討論,學(xué)生不容易掌握該法. 用五點(diǎn)法畫圖,就會(huì)非常直觀的發(fā)現(xiàn)它的單調(diào)性與區(qū)間的關(guān)系, 輕松比較大小, 進(jìn)而求出參數(shù)的值. 我們常常以“五點(diǎn)法”中的第一零點(diǎn)作為突破口,要從圖象的升降情況找準(zhǔn)對(duì)稱軸的位置,要善于抓住特殊量和特殊點(diǎn). 特別指出在該類題型中,常見的參數(shù)還有A,B,?,或者是動(dòng)區(qū)間問題,解法與該題一樣,作圖會(huì)稍難.

2 含參零點(diǎn)的問題

例2(2019 新課標(biāo)Ⅲ理12)設(shè)函數(shù),已知f(x)在[0,2π]有且僅有5 個(gè)零點(diǎn). 下述四個(gè)結(jié)論:

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( ).

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④

【解析】列表、畫圖如下:

ωx+ π 5 0 1 2π 5π 11 2 π 6π x ?π 5ω 3π 10ω 24π 5ω 53π 10ω 29π 5ω y 0 1 0?1 0

解題模板: 第一步要明確函數(shù)的性質(zhì)與條件,然后把與試題有關(guān)的點(diǎn)都描出來.

第二步觀察在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),我們就可以得到解答需要的等式或不等式,進(jìn)而求出相關(guān)參數(shù)的范圍.

第三步結(jié)合參數(shù)的范圍和圖像就可以解決試題中的所有答案.

解題心得: 本題是五點(diǎn)作圖法解決正、余弦型函數(shù)含參題的典型例題. 該題雖然是“2019 新課標(biāo)Ⅲ理”選擇題的壓軸題,但我們通過圖像,能輕松得出該題的答案,相對(duì)其它方法會(huì)簡(jiǎn)單得多. 數(shù)形結(jié)合對(duì)于解多選題會(huì)有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì),我們可以通過一個(gè)圖像觀察函數(shù)的性質(zhì),可以極大的節(jié)約解題時(shí)間和提高解題準(zhǔn)確度. 值得注意的是對(duì)于零點(diǎn)要從圖象的升降情況判斷其為“第一零點(diǎn)”還是“第二零點(diǎn)”.

3 含參正、余弦型函數(shù)值域的問題

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解題模板: 第一步把ωx+? 看做一個(gè)整體,找出關(guān)鍵的五個(gè)點(diǎn),列表繪制出五點(diǎn)圖.

第二步注意把值域的最大值最小值標(biāo)出.

解題心得:

五點(diǎn)作圖法解決正、余弦型函數(shù)含參題,該題是非常嚴(yán)格地按照五點(diǎn)法作圖求解,基本思想是把ωx+? 看做一個(gè)整體,根據(jù)定義域找值域的適合區(qū)間是一類常見的題型,要從圖象的升降情況找準(zhǔn)函數(shù)的最大最小值的位置,這種題用五點(diǎn)法做的好處是: ①容易確定動(dòng)態(tài)定義域所在位置或大致位置; ②最值點(diǎn)位置由圖就可以得到; ③最重要的是參數(shù)可以當(dāng)作常數(shù)處理會(huì)避免繁雜的討論. 因此五點(diǎn)法是解這類題的不二方法.

4 含參正、余弦型函數(shù)對(duì)稱軸的問題

【解析】列表畫圖如下:

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解題模板: 第一步用五點(diǎn)法畫出一個(gè)周期的圖像.

第二步在y 軸右側(cè)畫出第一條對(duì)稱軸和第二條對(duì)稱軸.

綜上所述,“五點(diǎn)法”是數(shù)形結(jié)合思想的一部分,具有形象直觀,易于接受等優(yōu)點(diǎn),且對(duì)于溝通知識(shí)間的聯(lián)系,活躍課堂氣氛,開闊學(xué)生思路,發(fā)展智能,提高數(shù)學(xué)水平有著獨(dú)到的作用,所以,我們要高效備考高考時(shí),一定要讓學(xué)生熟練掌握“五點(diǎn)法”,特別是在解正、余弦型函數(shù)含參題是要優(yōu)先考慮“五點(diǎn)法”. 該法在解其它函數(shù)題時(shí)同樣很重要,在解決具體題目時(shí)可以根據(jù)需要增加或刪減點(diǎn)的個(gè)數(shù). 當(dāng)然我們也要了解五點(diǎn)法的局限性,因?yàn)槲妩c(diǎn)法只是大概圖形,往往沒辦法得到精準(zhǔn)答案.