張 婷,康 明
(天津師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,天津 300387)
光子晶體借鑒固體物理中的晶體概念,是由具有不同折射率的介質(zhì)按一定周期排布而成的新型光學(xué)微結(jié)構(gòu)材料[1-2]。在光子晶體中原子或分子被具有不同介電常數(shù)的宏觀介質(zhì)取代,周期勢被周期的介電函數(shù)所取代。由于周期電磁響應(yīng)函數(shù)的出現(xiàn),光在傳播時將受到調(diào)制從而形成類似于晶體中電子的能帶結(jié)構(gòu),這種能帶結(jié)構(gòu)被稱為光子能帶。在對光子晶體的分析和研究中,光子晶體能帶結(jié)構(gòu)[3]是理解光子晶體光學(xué)性質(zhì)的核心內(nèi)容,也是利用光子晶體調(diào)控光場的關(guān)鍵因素。
最近,在光子晶體能帶調(diào)控學(xué)領(lǐng)域,無色散的平帶結(jié)構(gòu)引起了人們極大的關(guān)注。目前對光子晶體平帶的研究主要集中在探索它們的基本物理性質(zhì)和潛在應(yīng)用。Mukherjee等[4]實(shí)驗上演示了光波導(dǎo)陣列中Lieb晶格中的無色散平帶,并分析了對應(yīng)平帶態(tài)的演化過程。Leykam等[5]詳細(xì)討論了不同類型的光學(xué)平帶模型如何在光波導(dǎo)陣列、冷原子體系和超材料中實(shí)現(xiàn),并進(jìn)一步在此基礎(chǔ)上闡明了其應(yīng)用以及未來的可能方向。Yang等[6]從理論上研究了二維光子晶體中平帶的拓?fù)湫再|(zhì),探討了非零陳數(shù)拓?fù)淦綆У目赡苄浴?/p>
一般而言,無色散的平帶僅僅出現(xiàn)在布里淵區(qū)的部分區(qū)域,并不能覆蓋整個布里淵區(qū)。目前通常有兩類方法能夠?qū)崿F(xiàn)整個布里淵區(qū)平帶:第一種是光子晶體原胞中引入更多的“原子”及其耦合,通過調(diào)控這些多“原子”的相互耦合獲得整個布里淵區(qū)的平帶,如二維體系中的Lieb格子以及kagome格子[7-9]。徐常清[10]基于能帶調(diào)控的理論方法,通過設(shè)計二維正方格子電介質(zhì)光子晶體的復(fù)合結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了覆蓋整個布里淵區(qū)的全平帶。另一種是通過提高光子晶體中介電常數(shù)對比度來提高本征波函數(shù)的局域性來獲得整個布里淵區(qū)的近平帶。
近幾年,在改變內(nèi)置材料介電常數(shù)來提高介電常數(shù)對比度進(jìn)而獲得全布里淵區(qū)平帶方面的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟。通常的方法是提高光子晶體中某種介質(zhì)材料的介電常數(shù)來提高其介電常數(shù)對比度,從而獲得近平帶。然而,在光學(xué)波段,利用介質(zhì)材料來進(jìn)一步提高介電常數(shù)而獲得大的介電常數(shù)存在一定的難度,所以為介電常數(shù)比的提高設(shè)置了障礙。降低背景材料介電常數(shù),其實(shí)也可以變相提高介電常數(shù)對比度,從而提高本征波函數(shù)的局域性。在這樣的情況下,光子晶體能帶結(jié)構(gòu)中是否也會有全布里淵區(qū)平帶出現(xiàn)呢?現(xiàn)以二維介質(zhì)圓柱正方格子光子晶體為例,利用有限元方法從數(shù)值角度針對降低背景材料介電常數(shù)來提高介電常數(shù)對比度從而獲得平帶進(jìn)行了研究,并仔細(xì)比較了這兩種提高介電常數(shù)對比度的方法對能帶平整性的影響。
光在光子晶體中的傳播可由麥克斯韋方程組來描述。諧波模式下求解光子晶體本征能量的本征方程一般表示為
(1)
式(1)中:H為磁場;ε(r)為介電函數(shù);r為位置矢量;ω為本征頻率;c為真空中的光速。二維光子晶體中可有TE和TM兩種極化模式,在TE極化模式下,磁場與波傳播的所在面平行,而電場與傳播平面垂直。在 TM 極化模式下,電場與波傳播的平面平行,而磁場與波傳播的平面垂直。這里僅考慮TE模式的本征值問題。
目前光子能帶的數(shù)值計算方法有很多種,主要有平面波展開方法[11]、時域有限差分方法[12]及傳輸矩陣法[13]。利用這些數(shù)值計算方法能夠方便地計算出光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。一般可以用傳輸矩陣法來計算一維光子晶體的能帶,平面波展開法來計算二維光子晶體的能帶,時域有限差分法來計算三維光子晶體的能帶。然而,對于具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的光子晶體,平面波展開法比較難以收斂,而時域有限差分方法精度會降低。有限元方法作為一種成熟的數(shù)值計算方法,能夠?qū)?fù)雜結(jié)構(gòu)的光子晶體進(jìn)行精度較高的能帶計算。為了獲得不同介電常數(shù)對比度情況下的二維介質(zhì)柱光子晶體能帶結(jié)構(gòu),采用了有限元方法[14-15]來研究TE模式下的能帶。
圖1所示為所研究的二維介質(zhì)柱光子晶體的原胞結(jié)構(gòu)示意圖,晶格常數(shù)為a,介質(zhì)柱的半徑r=0.2a,介電常數(shù)為ε1,背景材料的介電常數(shù)為ε2。
圖1 二維介質(zhì)柱光子晶體原胞示意圖
選擇空氣作為背景材料,ε2=1,介質(zhì)柱的介電常數(shù)值分別取ε1=10和ε1=36。圖2所示為這兩種情況下二維介質(zhì)柱光子晶體TE模式的能帶圖。本征頻率使用歸一化的本征頻率ωa/(2πc),單位為1。如圖2(a)所示,當(dāng)介質(zhì)柱和背景材料的介電常數(shù)比ε1:ε2=10∶1時,二維介質(zhì)柱正方晶格的光子能帶中并沒有出現(xiàn)平帶。不改變晶格常數(shù)和背景材料,僅改變介質(zhì)柱的介電常數(shù),如圖2(b)所示,隨著原胞中圓柱介電常數(shù)的提高,當(dāng)原胞中圓柱介電常數(shù)為ε1=36時,在光子晶體簡約布里淵區(qū)出現(xiàn)了平帶,如第8條能帶。此時,其他能帶也不同程度地變得較為平坦。由此可見,通過提高原胞中圓柱的介電常數(shù)來提高介電常數(shù)對比度可以使得整個布里淵區(qū)出現(xiàn)平帶。
圖2 二維介質(zhì)柱光子晶體TE模式能帶圖
提高介質(zhì)柱介電常數(shù)可以提高兩種材料的介電常數(shù)對比度,從而提高本征態(tài)波函數(shù)的局域性。當(dāng)然,降低背景材料的介電常數(shù)也可以變相地提高介電常數(shù)對比度。取介質(zhì)柱的介電常數(shù)值為ε1=10,背景材料的介電常數(shù)值為ε2=0,如圖3所示,得到了這種情況下二維介質(zhì)柱正方晶格TE模式能帶圖。
圖3 二維介質(zhì)柱光子晶體TE模式能帶圖
與圖2(a)的情況進(jìn)行比較,在圖2(a)中介質(zhì)柱和背景材料的介電對比度為ε1∶ε2=10∶1時,前10條能帶中不存在平帶。然而,當(dāng)保持介質(zhì)柱的介電常數(shù)值不變,通過將背景材料的介電常數(shù)降低到0,來提高介電常數(shù)對比度時,由圖3明顯發(fā)現(xiàn)光子帶中出現(xiàn)全布里淵區(qū)平帶。因此,通過降低背景材料介電常數(shù)變相提高介電常數(shù)對比度,提高本征波函數(shù)的局域性也可以使得整個布里淵區(qū)出現(xiàn)平帶。
以上是在只改變介質(zhì)柱介電常數(shù)值來改變介電對比度及只改變背景材料介電常數(shù)值來改變介電對比度的兩種情況下,對二維介質(zhì)柱正方晶格的光子能帶圖進(jìn)行了分析。如果同時改變介質(zhì)柱和背景材料的介電常數(shù)值,但保持介質(zhì)柱和背景材料的介電對比度相同,在相應(yīng)的能帶圖中又將有什么新的發(fā)現(xiàn)呢?圖4(a)~圖4(d)分別是在不改變晶格常數(shù)、介質(zhì)柱半徑條件下,介質(zhì)柱與背景材料介電常數(shù)比值為8.9∶1、4.45∶0.5、72∶1、36∶0.5時,TE模式二維介質(zhì)柱正方晶格的光子能帶圖。
由圖4(a)可知,當(dāng)空氣中圓柱介電常數(shù)為ε1=8.9時,在整個布里淵區(qū)并沒有出現(xiàn)平帶。但是在保持兩者介電對比度不變,同時降低介質(zhì)柱和背景材料介電常數(shù)值時,如圖4(b)所示,光子晶體布里淵區(qū)中的能帶不同程度的變平坦。同理,對比圖4(c)和圖4(d)也能得到這一結(jié)論。如圖4(b)和圖4(d)所示,維持與圖4(a)和圖4(c)相同的介電常數(shù)對比度,取圓柱與背景材料的介電常數(shù)分別為4.45∶0.5和36∶0.5。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),將背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)同時降低,當(dāng)介電常數(shù)對比度較小時,如圖4(b)所示,整個布里淵區(qū)也不會出現(xiàn)平帶。但是當(dāng)介電常數(shù)對比度較大時,整個布里區(qū)有平帶的出現(xiàn),如圖4(d)中的第7條能帶??梢姡ㄟ^同時降低背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)來提高介電常數(shù)對比度也可以使得整個布里淵區(qū)出現(xiàn)平帶。
在介電常數(shù)對比度一致時,圖4(c)和圖4(d)中第7條能帶即全布里淵區(qū)平帶對應(yīng)的頻率位置并不相同。為了進(jìn)一步理解平帶形成的物理機(jī)制,圖5給出它們各自在高對稱點(diǎn)Γ、Χ、М的本征電場分布。從圖5(a)~圖5(c)可以看出,當(dāng)介質(zhì)柱的介電常數(shù)值為72,背景材料的介電常數(shù)值為1時,全布里淵區(qū)平帶在不同高對稱點(diǎn)的本征電場分布都呈現(xiàn)相同的電六級矩分布。這使得近鄰圓柱間相互作用很弱,光場能量主要局域在介質(zhì)圓柱內(nèi),從而獲得整個布里淵區(qū)的平帶。當(dāng)介質(zhì)柱的介電常數(shù)值為36,背景材料的介電常數(shù)值為0.5時,情況也是如此,但相比之下光場能更好地局域在介質(zhì)圓柱內(nèi),如圖5(e)~圖5(f)所示。
圖4 二維介質(zhì)柱光子晶體TE模式能帶圖
圖5 全布里淵區(qū)平帶高對稱點(diǎn)處本征態(tài)的場圖
為了進(jìn)一步研究不同情況下介電常數(shù)對比度改變對能帶平坦程度的影響,給出了不同介電常數(shù)對比度情況下目標(biāo)平帶方差的變化。目標(biāo)平帶的方差可以用來衡量平帶的平整程度,其定義為
(2)
圖6 平帶波矢量的特征頻率方差與介電對比度的關(guān)系
改變介質(zhì)柱介電常數(shù)時,維持背景材料的介電常數(shù)為ε2=1。當(dāng)改變背景材料的介電常數(shù)時,維持介質(zhì)柱的介電常數(shù)為常數(shù)ε1=36。由圖6可以看出,在一定范圍內(nèi),隨著介電常數(shù)對比度的增加,平帶的方差越來越小,會提高波函數(shù)的局域。當(dāng)對比度較小時,降低背景材料的介電常數(shù)會更明顯地減小平帶的方差,而當(dāng)對比度較大時,提高介質(zhì)柱的介電常數(shù)會較好地減小平帶的方差。
以二維介質(zhì)柱正方格子光子晶體為例,利用有限元方法,在不改變晶格常數(shù)和介質(zhì)柱半徑的前提下,研究了通過改變背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)來改變介電常數(shù)對比度的不同方法對平帶平整性的影響,得出以下結(jié)論。
(1)不改變背景材料,只提高介質(zhì)柱的介電常數(shù)值,隨著介質(zhì)柱介電常數(shù)的增加,介質(zhì)柱和背景材料的介電對比度的提高,在整個布里淵區(qū)中會有平帶出現(xiàn)。
(2)不改變介質(zhì)柱的介電常數(shù)值,只改變背景材料,發(fā)現(xiàn)降低背景材料介電常數(shù)變相提高介電常數(shù)對比度也可以產(chǎn)生整個布里淵區(qū)的近平帶。
(3)對于確定的介電常數(shù)對比度,在保證對比度不變的前提下,同時降低背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)值,發(fā)現(xiàn)此時光子能帶中的能帶均不同程度的變平坦。在這種情況下,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)同時降低背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)值,來提高介電對比度時,平帶也會出現(xiàn)在布里淵區(qū)中。
(4)通過平帶的方差比較,對于降低背景材料和提高介質(zhì)柱介電常數(shù)這兩種改變介電對比度的不同方法來說,發(fā)現(xiàn)在某些情況下,與通過增大介質(zhì)柱的介電常數(shù)來提高平帶的平整性相比,降低背景材料介電常數(shù)值的方法將會得到更平坦的全布里淵區(qū)平帶。