張 婷，康 明

(天津師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

光子晶體借鑒固體物理中的晶體概念，是由具有不同折射率的介質(zhì)按一定周期排布而成的新型光學(xué)微結(jié)構(gòu)材料[1-2]。在光子晶體中原子或分子被具有不同介電常數(shù)的宏觀介質(zhì)取代，周期勢被周期的介電函數(shù)所取代。由于周期電磁響應(yīng)函數(shù)的出現(xiàn)，光在傳播時將受到調(diào)制從而形成類似于晶體中電子的能帶結(jié)構(gòu)，這種能帶結(jié)構(gòu)被稱為光子能帶。在對光子晶體的分析和研究中，光子晶體能帶結(jié)構(gòu)[3]是理解光子晶體光學(xué)性質(zhì)的核心內(nèi)容，也是利用光子晶體調(diào)控光場的關(guān)鍵因素。

最近，在光子晶體能帶調(diào)控學(xué)領(lǐng)域，無色散的平帶結(jié)構(gòu)引起了人們極大的關(guān)注。目前對光子晶體平帶的研究主要集中在探索它們的基本物理性質(zhì)和潛在應(yīng)用。Mukherjee等[4]實(shí)驗上演示了光波導(dǎo)陣列中Lieb晶格中的無色散平帶，并分析了對應(yīng)平帶態(tài)的演化過程。Leykam等[5]詳細(xì)討論了不同類型的光學(xué)平帶模型如何在光波導(dǎo)陣列、冷原子體系和超材料中實(shí)現(xiàn)，并進(jìn)一步在此基礎(chǔ)上闡明了其應(yīng)用以及未來的可能方向。Yang等[6]從理論上研究了二維光子晶體中平帶的拓?fù)湫再|(zhì)，探討了非零陳數(shù)拓?fù)淦綆У目赡苄浴?/p>

一般而言，無色散的平帶僅僅出現(xiàn)在布里淵區(qū)的部分區(qū)域，并不能覆蓋整個布里淵區(qū)。目前通常有兩類方法能夠?qū)崿F(xiàn)整個布里淵區(qū)平帶：第一種是光子晶體原胞中引入更多的“原子”及其耦合，通過調(diào)控這些多“原子”的相互耦合獲得整個布里淵區(qū)的平帶，如二維體系中的Lieb格子以及kagome格子[7-9]。徐常清[10]基于能帶調(diào)控的理論方法，通過設(shè)計二維正方格子電介質(zhì)光子晶體的復(fù)合結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了覆蓋整個布里淵區(qū)的全平帶。另一種是通過提高光子晶體中介電常數(shù)對比度來提高本征波函數(shù)的局域性來獲得整個布里淵區(qū)的近平帶。

近幾年，在改變內(nèi)置材料介電常數(shù)來提高介電常數(shù)對比度進(jìn)而獲得全布里淵區(qū)平帶方面的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟。通常的方法是提高光子晶體中某種介質(zhì)材料的介電常數(shù)來提高其介電常數(shù)對比度，從而獲得近平帶。然而，在光學(xué)波段，利用介質(zhì)材料來進(jìn)一步提高介電常數(shù)而獲得大的介電常數(shù)存在一定的難度，所以為介電常數(shù)比的提高設(shè)置了障礙。降低背景材料介電常數(shù)，其實(shí)也可以變相提高介電常數(shù)對比度，從而提高本征波函數(shù)的局域性。在這樣的情況下，光子晶體能帶結(jié)構(gòu)中是否也會有全布里淵區(qū)平帶出現(xiàn)呢?現(xiàn)以二維介質(zhì)圓柱正方格子光子晶體為例，利用有限元方法從數(shù)值角度針對降低背景材料介電常數(shù)來提高介電常數(shù)對比度從而獲得平帶進(jìn)行了研究，并仔細(xì)比較了這兩種提高介電常數(shù)對比度的方法對能帶平整性的影響。

1 計算模型與方法

光在光子晶體中的傳播可由麥克斯韋方程組來描述。諧波模式下求解光子晶體本征能量的本征方程一般表示為

(1)

式(1)中：H為磁場；ε(r)為介電函數(shù)；r為位置矢量；ω為本征頻率；c為真空中的光速。二維光子晶體中可有TE和TM兩種極化模式，在TE極化模式下，磁場與波傳播的所在面平行，而電場與傳播平面垂直。在 TM 極化模式下，電場與波傳播的平面平行，而磁場與波傳播的平面垂直。這里僅考慮TE模式的本征值問題。

目前光子能帶的數(shù)值計算方法有很多種，主要有平面波展開方法[11]、時域有限差分方法[12]及傳輸矩陣法[13]。利用這些數(shù)值計算方法能夠方便地計算出光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。一般可以用傳輸矩陣法來計算一維光子晶體的能帶，平面波展開法來計算二維光子晶體的能帶，時域有限差分法來計算三維光子晶體的能帶。然而，對于具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的光子晶體，平面波展開法比較難以收斂，而時域有限差分方法精度會降低。有限元方法作為一種成熟的數(shù)值計算方法，能夠?qū)?fù)雜結(jié)構(gòu)的光子晶體進(jìn)行精度較高的能帶計算。為了獲得不同介電常數(shù)對比度情況下的二維介質(zhì)柱光子晶體能帶結(jié)構(gòu)，采用了有限元方法[14-15]來研究TE模式下的能帶。

圖1所示為所研究的二維介質(zhì)柱光子晶體的原胞結(jié)構(gòu)示意圖，晶格常數(shù)為a，介質(zhì)柱的半徑r=0.2a，介電常數(shù)為ε1，背景材料的介電常數(shù)為ε2。

圖1 二維介質(zhì)柱光子晶體原胞示意圖

2 模擬與分析

2.1 同種方法不同介電對比度下能帶圖的比較

選擇空氣作為背景材料，ε2=1，介質(zhì)柱的介電常數(shù)值分別取ε1=10和ε1=36。圖2所示為這兩種情況下二維介質(zhì)柱光子晶體TE模式的能帶圖。本征頻率使用歸一化的本征頻率ωa/(2πc)，單位為1。如圖2(a)所示，當(dāng)介質(zhì)柱和背景材料的介電常數(shù)比ε1:ε2=10∶1時，二維介質(zhì)柱正方晶格的光子能帶中并沒有出現(xiàn)平帶。不改變晶格常數(shù)和背景材料，僅改變介質(zhì)柱的介電常數(shù)，如圖2(b)所示，隨著原胞中圓柱介電常數(shù)的提高，當(dāng)原胞中圓柱介電常數(shù)為ε1=36時,在光子晶體簡約布里淵區(qū)出現(xiàn)了平帶，如第8條能帶。此時，其他能帶也不同程度地變得較為平坦。由此可見，通過提高原胞中圓柱的介電常數(shù)來提高介電常數(shù)對比度可以使得整個布里淵區(qū)出現(xiàn)平帶。

圖2 二維介質(zhì)柱光子晶體TE模式能帶圖

提高介質(zhì)柱介電常數(shù)可以提高兩種材料的介電常數(shù)對比度，從而提高本征態(tài)波函數(shù)的局域性。當(dāng)然，降低背景材料的介電常數(shù)也可以變相地提高介電常數(shù)對比度。取介質(zhì)柱的介電常數(shù)值為ε1=10，背景材料的介電常數(shù)值為ε2=0，如圖3所示，得到了這種情況下二維介質(zhì)柱正方晶格TE模式能帶圖。

圖3 二維介質(zhì)柱光子晶體TE模式能帶圖

與圖2(a)的情況進(jìn)行比較，在圖2(a)中介質(zhì)柱和背景材料的介電對比度為ε1∶ε2=10∶1時，前10條能帶中不存在平帶。然而，當(dāng)保持介質(zhì)柱的介電常數(shù)值不變，通過將背景材料的介電常數(shù)降低到0，來提高介電常數(shù)對比度時，由圖3明顯發(fā)現(xiàn)光子帶中出現(xiàn)全布里淵區(qū)平帶。因此，通過降低背景材料介電常數(shù)變相提高介電常數(shù)對比度，提高本征波函數(shù)的局域性也可以使得整個布里淵區(qū)出現(xiàn)平帶。

2.2 不同方法相同介電對比度能帶圖的比較

以上是在只改變介質(zhì)柱介電常數(shù)值來改變介電對比度及只改變背景材料介電常數(shù)值來改變介電對比度的兩種情況下，對二維介質(zhì)柱正方晶格的光子能帶圖進(jìn)行了分析。如果同時改變介質(zhì)柱和背景材料的介電常數(shù)值，但保持介質(zhì)柱和背景材料的介電對比度相同，在相應(yīng)的能帶圖中又將有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？圖4(a)～圖4(d)分別是在不改變晶格常數(shù)、介質(zhì)柱半徑條件下，介質(zhì)柱與背景材料介電常數(shù)比值為8.9∶1、4.45∶0.5、72∶1、36∶0.5時，TE模式二維介質(zhì)柱正方晶格的光子能帶圖。

由圖4(a)可知，當(dāng)空氣中圓柱介電常數(shù)為ε1=8.9時，在整個布里淵區(qū)并沒有出現(xiàn)平帶。但是在保持兩者介電對比度不變，同時降低介質(zhì)柱和背景材料介電常數(shù)值時，如圖4(b)所示，光子晶體布里淵區(qū)中的能帶不同程度的變平坦。同理，對比圖4(c)和圖4(d)也能得到這一結(jié)論。如圖4(b)和圖4(d)所示，維持與圖4(a)和圖4(c)相同的介電常數(shù)對比度，取圓柱與背景材料的介電常數(shù)分別為4.45∶0.5和36∶0.5。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，將背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)同時降低，當(dāng)介電常數(shù)對比度較小時，如圖4(b)所示，整個布里淵區(qū)也不會出現(xiàn)平帶。但是當(dāng)介電常數(shù)對比度較大時，整個布里區(qū)有平帶的出現(xiàn)，如圖4(d)中的第7條能帶?？梢姡ㄟ^同時降低背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)來提高介電常數(shù)對比度也可以使得整個布里淵區(qū)出現(xiàn)平帶。

在介電常數(shù)對比度一致時，圖4(c)和圖4(d)中第7條能帶即全布里淵區(qū)平帶對應(yīng)的頻率位置并不相同。為了進(jìn)一步理解平帶形成的物理機(jī)制，圖5給出它們各自在高對稱點(diǎn)Γ、Χ、М的本征電場分布。從圖5(a)～圖5(c)可以看出，當(dāng)介質(zhì)柱的介電常數(shù)值為72，背景材料的介電常數(shù)值為1時，全布里淵區(qū)平帶在不同高對稱點(diǎn)的本征電場分布都呈現(xiàn)相同的電六級矩分布。這使得近鄰圓柱間相互作用很弱，光場能量主要局域在介質(zhì)圓柱內(nèi)，從而獲得整個布里淵區(qū)的平帶。當(dāng)介質(zhì)柱的介電常數(shù)值為36，背景材料的介電常數(shù)值為0.5時，情況也是如此，但相比之下光場能更好地局域在介質(zhì)圓柱內(nèi)，如圖5(e)～圖5(f)所示。

圖4 二維介質(zhì)柱光子晶體TE模式能帶圖

圖5 全布里淵區(qū)平帶高對稱點(diǎn)處本征態(tài)的場圖

2.3 改變介電常數(shù)對比度的不同方法對能帶平坦程度的影響

為了進(jìn)一步研究不同情況下介電常數(shù)對比度改變對能帶平坦程度的影響，給出了不同介電常數(shù)對比度情況下目標(biāo)平帶方差的變化。目標(biāo)平帶的方差可以用來衡量平帶的平整程度，其定義為

(2)

圖6 平帶波矢量的特征頻率方差與介電對比度的關(guān)系

改變介質(zhì)柱介電常數(shù)時，維持背景材料的介電常數(shù)為ε2=1。當(dāng)改變背景材料的介電常數(shù)時，維持介質(zhì)柱的介電常數(shù)為常數(shù)ε1=36。由圖6可以看出，在一定范圍內(nèi)，隨著介電常數(shù)對比度的增加，平帶的方差越來越小，會提高波函數(shù)的局域。當(dāng)對比度較小時，降低背景材料的介電常數(shù)會更明顯地減小平帶的方差，而當(dāng)對比度較大時，提高介質(zhì)柱的介電常數(shù)會較好地減小平帶的方差。

3 結(jié)論

以二維介質(zhì)柱正方格子光子晶體為例，利用有限元方法，在不改變晶格常數(shù)和介質(zhì)柱半徑的前提下，研究了通過改變背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)來改變介電常數(shù)對比度的不同方法對平帶平整性的影響，得出以下結(jié)論。

(1)不改變背景材料，只提高介質(zhì)柱的介電常數(shù)值，隨著介質(zhì)柱介電常數(shù)的增加，介質(zhì)柱和背景材料的介電對比度的提高，在整個布里淵區(qū)中會有平帶出現(xiàn)。

(2)不改變介質(zhì)柱的介電常數(shù)值，只改變背景材料，發(fā)現(xiàn)降低背景材料介電常數(shù)變相提高介電常數(shù)對比度也可以產(chǎn)生整個布里淵區(qū)的近平帶。

(3)對于確定的介電常數(shù)對比度，在保證對比度不變的前提下，同時降低背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)值，發(fā)現(xiàn)此時光子能帶中的能帶均不同程度的變平坦。在這種情況下，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)同時降低背景材料和介質(zhì)柱的介電常數(shù)值，來提高介電對比度時，平帶也會出現(xiàn)在布里淵區(qū)中。

(4)通過平帶的方差比較，對于降低背景材料和提高介質(zhì)柱介電常數(shù)這兩種改變介電對比度的不同方法來說，發(fā)現(xiàn)在某些情況下，與通過增大介質(zhì)柱的介電常數(shù)來提高平帶的平整性相比，降低背景材料介電常數(shù)值的方法將會得到更平坦的全布里淵區(qū)平帶。