劉成龍 余小芬

(1.內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641112；2.馬來(lái)西亞沙巴大學(xué)心理及教育學(xué)院 88400 )

1 引言

從古至今，數(shù)學(xué)都是一門講理的科學(xué).然而，把講理的數(shù)學(xué)教成不講理的數(shù)學(xué)卻時(shí)有發(fā)生，比如：袁隆平院士上初中時(shí)，問(wèn)數(shù)學(xué)老師為什么負(fù)負(fù)得正，老師的回答是這是規(guī)定.這一事件給少年袁隆平留下了數(shù)學(xué)不講理的深刻印象.又如，一些老師講授三角形穩(wěn)定性時(shí)，讓學(xué)生拉三角形教具，通過(guò)“拉不動(dòng)”來(lái)說(shuō)明三角形穩(wěn)定，這顯然是對(duì)三角形穩(wěn)定性的不當(dāng)理解.再如，一些老師在講授勾股定理第一課時(shí)，花費(fèi)大量時(shí)間在勾股定理的發(fā)現(xiàn)上，但從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看，勾股定理的發(fā)現(xiàn)歷經(jīng)過(guò)程漫長(zhǎng)，顯然一節(jié)課的學(xué)習(xí)不能達(dá)成發(fā)現(xiàn)勾股定理這一目標(biāo).諸如此類的例子舉不勝舉，一個(gè)個(gè)活生生的不講理的教學(xué)案例，表現(xiàn)為不究本質(zhì)，不顧學(xué)情，不思教理，其結(jié)果是沒(méi)有揭示知識(shí)本質(zhì)之理、沒(méi)有把握學(xué)情之理、沒(méi)有遵循教學(xué)原則之理，導(dǎo)致學(xué)生不明原理，不會(huì)說(shuō)理，更何談?dòng)美?、通?[1]于是，講理的數(shù)學(xué)學(xué)科特色呼喚講理的數(shù)學(xué)教學(xué).

2 指向講理的數(shù)學(xué)教學(xué)

“澆花澆根，教人教心”，“造燭求明，讀書(shū)求理”，生活經(jīng)驗(yàn)早已告訴我們教學(xué)要講理.[1]這不僅是良善而道德的教學(xué)方式，也是現(xiàn)代教育對(duì)教學(xué)的要求，是教學(xué)高級(jí)形態(tài)的核心特征[2].數(shù)學(xué)教學(xué)如何講理？聚焦到現(xiàn)代教學(xué)系統(tǒng)的幾個(gè)根本要素——教師、學(xué)生、內(nèi)容、方法和媒體[3]，不難發(fā)現(xiàn)，教師對(duì)內(nèi)容的理解、對(duì)學(xué)情的把握、對(duì)方法的選取和對(duì)媒體的使用直接影響著教學(xué)的走向和質(zhì)量.因此，開(kāi)展講理的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師應(yīng)該把握四個(gè)要點(diǎn)：理解內(nèi)容——究數(shù)學(xué)之理，了解學(xué)生—遵學(xué)情之理，善用方法——循教學(xué)之理，活用媒體——思技術(shù)之理.其中，究數(shù)學(xué)之理是講理教學(xué)的前提，遵學(xué)情之理是講理教學(xué)的基礎(chǔ)，循教學(xué)之理是講理教學(xué)的保障，思技術(shù)之理是講理教學(xué)的輔助，四者之間相互促進(jìn)，構(gòu)成一個(gè)和諧、完整的講理數(shù)學(xué)教學(xué)體系(如圖1).

圖1

2.1 究數(shù)學(xué)之理

教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解水平，直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)水平.因此，究數(shù)學(xué)之理是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，更是講理的數(shù)學(xué)教學(xué)的前提.如何究數(shù)學(xué)之理呢？可以從宏觀和微觀兩個(gè)維度展開(kāi).

在宏觀上，要深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是自然的——數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的[4]；數(shù)學(xué)是清楚的——清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結(jié)論，數(shù)學(xué)中的命題，對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)就是錯(cuò)，不存在絲毫的含糊[4]；數(shù)學(xué)是有用的——宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)(華羅庚語(yǔ))；數(shù)學(xué)是邏輯的科學(xué)——邏輯的體系，邏輯的思考，邏輯的推理，邏輯的表達(dá)和邏輯的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)是獨(dú)特的文化——數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)[5],形成了數(shù)學(xué)特有的文化.

在微觀上，首先，弄清是什么，即準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容——數(shù)學(xué)概念、公式、定義、法則、符號(hào)、方法、推理、表達(dá)等.比如，高中函數(shù)概念的理解應(yīng)做到5點(diǎn)：(1)函數(shù)研究的對(duì)象；(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足什么條件才能構(gòu)成函數(shù)；(3)f(x)的具體含義；(4)函數(shù)的三要素；(5)高中函數(shù)概念和初中函數(shù)概念的異同.其次，搞懂為什么，即搞懂?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)背后的道理——規(guī)定的合理性，“舊知”的局限性、“新知”產(chǎn)生的必要性，“大概念”(或“大觀念”)的統(tǒng)攝性，知識(shí)表征的多樣性，知識(shí)板塊間的關(guān)聯(lián)性，知識(shí)系統(tǒng)的整體性，等等.比如：為什么高中還要學(xué)習(xí)函數(shù)？為什么高中定義函數(shù)要引進(jìn)f(x)？為什么向量沒(méi)有除法運(yùn)算？為什么稱logaN為對(duì)數(shù)？為什么負(fù)負(fù)得正？函數(shù)與數(shù)列、三角函數(shù)、密度函數(shù)有何聯(lián)系？最后，追蹤數(shù)學(xué)知識(shí)的走向，即追蹤數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展到后續(xù)階段的樣態(tài).比如，初中階段對(duì)單調(diào)性的描述是定性描述，以看為基礎(chǔ)，而高一對(duì)單調(diào)性的描述上升為定量描述，以算為核心，高三對(duì)單調(diào)性的描述借助了導(dǎo)數(shù)這一工具，充分揭示了單調(diào)性的幾何特征；初中階段認(rèn)識(shí)的切線僅與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，而高中對(duì)切線的界定超出了一個(gè)交點(diǎn)的限制；中學(xué)階段歐氏幾何下的平行線不可能相交，而后繼課程非歐幾何視角下的兩條平行線可在無(wú)窮遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)；中學(xué)階段規(guī)定集合的元素具有三個(gè)特性，但高等數(shù)學(xué)模糊集中的對(duì)象就不具有確定性；中學(xué)定義極值要求函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，而大學(xué)數(shù)學(xué)用局部最值來(lái)定義極值，不要求連續(xù)、可導(dǎo).因此，講理的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)基于數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)、在教師對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容充分理解的基礎(chǔ)上展開(kāi).正如克萊因所說(shuō)“一個(gè)數(shù)學(xué)教師的職責(zé)是：應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)并不是孤立的一門學(xué)問(wèn)，而是一個(gè)有機(jī)的整體.一個(gè)稱職的教師應(yīng)該掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過(guò)程以及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過(guò).”

案例1“三角形內(nèi)角和180°”教學(xué)片段.

教師證明方法

如圖2所示，設(shè)三角形的內(nèi)角和為x，則∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=2x，又因?yàn)椤螧+∠1+∠2+∠C=x，所以x+∠3+∠4=2x，即x+1800=2x，得x=180°.

圖2

評(píng)注在一次“國(guó)培送教”活動(dòng)中，授課教師證明三角形內(nèi)角和180°采用了上述方法.在交流環(huán)節(jié)，大部分聽(tīng)課教師和學(xué)生聽(tīng)了授課教師的講解后覺(jué)得醍醐灌頂，頗有大徹大悟之感，普遍對(duì)上述方法贊不絕口，認(rèn)為該方法簡(jiǎn)潔、直觀，回避了“三線八角”.筆者相信在未來(lái)的課堂教學(xué)中許多聽(tīng)課教師會(huì)將該方法搬到課堂之中.不妨先冷靜思考，為什么大家追捧該方法？顯然，是因?yàn)槭谡n老師不同凡響的“講理”方式和“講理”過(guò)程.題后追問(wèn)，這樣的“講理”方式和“講理”過(guò)程對(duì)嗎？事實(shí)上，上述推理過(guò)程犯了循環(huán)論證這一邏輯錯(cuò)誤：授課教師暗含了三角形內(nèi)角和為一個(gè)定值這一前提條件.然而，三角形內(nèi)角和為一個(gè)定值是在證明完三角形內(nèi)角和180°后才能得出.可見(jiàn)，不懂?dāng)?shù)學(xué)、不究數(shù)學(xué)之理的教學(xué)如同盲人摸象，更為致命的是一些教師傳授錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)而尚且不知.對(duì)此，章建躍老師指出，以邏輯性著稱的數(shù)學(xué)學(xué)科，不知所以然的教學(xué)，“把原本講道理的數(shù)學(xué)搞成了‘不講理的學(xué)問(wèn)’，使原本最容易學(xué)的學(xué)科變成了最令人懼怕，生厭的學(xué)科”．

2.2 遵學(xué)情之理

為較好的提升課堂質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)講理的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師在究數(shù)學(xué)之理的前提下，要進(jìn)一步遵循學(xué)情之理.如何講學(xué)情之理呢？可以從學(xué)生先備知識(shí)(包括經(jīng)驗(yàn))和認(rèn)知規(guī)律兩個(gè)方面展開(kāi).

先備知識(shí)(包括經(jīng)驗(yàn))是指學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)之前具備的知識(shí)(經(jīng)驗(yàn)).美國(guó)著名心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾認(rèn)為：“如果要我只用一句話來(lái)說(shuō)明教育心理學(xué)的要義，我認(rèn)為影響學(xué)生學(xué)習(xí)的首要因素是他的先備知識(shí)(包括經(jīng)驗(yàn))；研究并了解學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)之前具有的先備知識(shí)，進(jìn)而配合設(shè)計(jì)教學(xué)，以產(chǎn)生有效的學(xué)習(xí)，就是教育心理學(xué)的任務(wù).”顯然，先備知識(shí)(包括經(jīng)驗(yàn))影響著新的意義的學(xué)習(xí)和保持.但是，內(nèi)容僅停留在先備知識(shí)水平的教學(xué)是重復(fù)，而內(nèi)容極大跨越先備知識(shí)的教學(xué)是冒進(jìn).如果說(shuō)重復(fù)意味著無(wú)效，那么冒進(jìn)必將導(dǎo)致負(fù)效.

認(rèn)知規(guī)律指認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律.瑞士著名心理學(xué)家皮亞杰將兒童認(rèn)知發(fā)展劃分為四個(gè)階段：感知運(yùn)動(dòng)階段(0-2歲)、前運(yùn)算階段(2-7)、具體運(yùn)算階段(7-12)和形式運(yùn)算階段(12-15).[7]每一個(gè)階段有獨(dú)特的認(rèn)知特點(diǎn)，講理的數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)順應(yīng)認(rèn)知特點(diǎn).比如，具體運(yùn)算階段的兒童思維具有守恒性、非自我中心性和可逆性，認(rèn)知發(fā)展側(cè)重于抽象概念，但仍需要用具體內(nèi)容來(lái)支持思維活動(dòng).[8]顯然，滯后于學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知階段的教學(xué)是對(duì)學(xué)生的嚴(yán)重束縛，而超越學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知階段的教學(xué)是揠苗助長(zhǎng).

因此，遵循先備知識(shí)(包括經(jīng)驗(yàn))和認(rèn)知規(guī)律是講理教學(xué)的基礎(chǔ).只有把握這一基礎(chǔ)，才能認(rèn)清學(xué)生現(xiàn)有水平，成功跨越最近發(fā)展區(qū).

案例2“平行四邊形性質(zhì)”教學(xué)片段.

教學(xué)流程制作平行四邊形(紙板)教具——繞對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)平行四邊形(180°)——獲得猜想：平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分——證明猜想.

評(píng)注授課教師意在通過(guò)旋轉(zhuǎn)活動(dòng)，訓(xùn)練學(xué)生動(dòng)手、觀察、猜想能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.但是，授課教師嚴(yán)重忽略了學(xué)情：(1)教師主觀認(rèn)為旋轉(zhuǎn)活動(dòng)能引起學(xué)生興趣，將學(xué)生強(qiáng)行帶入低效高耗的活動(dòng)中(旋轉(zhuǎn)活動(dòng)約歷時(shí)10分鐘，占課堂的四分之一).事實(shí)上，學(xué)生在小學(xué)以及初一認(rèn)識(shí)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形時(shí)已經(jīng)兩次開(kāi)展了旋轉(zhuǎn)活動(dòng)，此時(shí)再開(kāi)展旋轉(zhuǎn)活動(dòng)屬于多次重復(fù)勞動(dòng).其結(jié)果是，既不能引發(fā)學(xué)生的興趣，還浪費(fèi)時(shí)間；(2)忽視了學(xué)生已有知識(shí)(包括經(jīng)驗(yàn))基礎(chǔ).有研究者在課前對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，表明[9]絕大多數(shù)學(xué)生可以猜測(cè)、計(jì)算出平行四邊形四個(gè)角的度數(shù)，而只有極少數(shù)學(xué)生不正確，有85.3%的學(xué)生可以猜測(cè)出平行四邊形對(duì)邊相等.也就是說(shuō)，平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等也是絕大部分學(xué)生的先備知識(shí)；(3)忽視學(xué)生認(rèn)知能力.8年級(jí)學(xué)生，大都在14歲左右，處于形式運(yùn)算階段，在這一階段，兒童出現(xiàn)了接近成人水平的抽象邏輯思維，其思維超出了事物的具體內(nèi)容和感知事實(shí)；因此，8年級(jí)學(xué)生在幾何部分的學(xué)習(xí)上應(yīng)以邏輯思維、推理訓(xùn)練為主，應(yīng)盡量減少實(shí)物展示、動(dòng)手操作，否則將會(huì)抑制抽象能力的發(fā)展.正如李大潛院士所說(shuō)：“老是‘量’，就倒退到尼羅河時(shí)代去了，當(dāng)初古希臘學(xué)者不是‘量’出來(lái)的.”可見(jiàn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)活動(dòng)來(lái)展開(kāi)教學(xué)，僅僅是一種形式而已，但它不是內(nèi)容的形式 ，沒(méi)有任何價(jià)值．因此，平行四邊形性質(zhì)的教學(xué)應(yīng)基于定義提出猜想，增加理性的推理論證活動(dòng)，減少觀察、操作等實(shí)驗(yàn)幾何活動(dòng).[10]

2.3 循教學(xué)之理

教學(xué)活動(dòng)作為一個(gè)統(tǒng)攝教師、學(xué)生、內(nèi)容和媒體的系統(tǒng)工程，并不是教師照本宣科、簡(jiǎn)單重復(fù)、蠻橫強(qiáng)加，也不是教師放任不管，更不是學(xué)生自給自足.教學(xué)活動(dòng)的根本目的是促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)，而講理的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)主張學(xué)生自然、健康、積極成長(zhǎng)，強(qiáng)調(diào)教學(xué)的過(guò)程性、自然性、創(chuàng)造性和情感性.如何開(kāi)展講理的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)呢？這就需要在究數(shù)學(xué)之理和遵學(xué)情之理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步循教學(xué)之理.循教學(xué)之理指遵循教學(xué)的機(jī)理，它是講理數(shù)學(xué)教學(xué)的保障.盡管教育者們常說(shuō)教無(wú)定法，但講理的數(shù)學(xué)教學(xué)仍然有法可依，有理可循.其法理就是講理數(shù)學(xué)教學(xué)有別于一般教學(xué)所具備的特質(zhì)：

(1)講理的教學(xué)是一種再創(chuàng)造.一方面，教師不是“復(fù)讀機(jī)”，而是創(chuàng)造者.教師的任務(wù)在于將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)改造為教育形態(tài)、學(xué)習(xí)形態(tài)的數(shù)學(xué)，即把數(shù)學(xué)的形式化邏輯鏈條，恢復(fù)為當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)明創(chuàng)新時(shí)的火熱思考，[11]這意味著對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，包括刪減、補(bǔ)充、整合、優(yōu)化等，從而利于學(xué)生的整體學(xué)習(xí)和意義構(gòu)建.正如張景中院士所說(shuō)：為了教育，改造數(shù)學(xué)；改造數(shù)學(xué)使之更適宜教學(xué)和學(xué)習(xí).另一方面，學(xué)生不是“錄音筆”，而是建構(gòu)者.學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中并非被動(dòng)的吸收知識(shí)，而是主動(dòng)、積極地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義學(xué)習(xí).

(2)講理的教學(xué)是一種多向的教育活動(dòng).教師不是旁觀者，而是參與者、引導(dǎo)者和建設(shè)者；學(xué)生不是聽(tīng)眾、不是看客，而是知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)習(xí)得者，是學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展的主體；信息不是教師-學(xué)生的單向流動(dòng)，而是教師-學(xué)生、學(xué)生-學(xué)生、學(xué)生-教師的多向流動(dòng)，這有利于在師生多向的碰撞中迸發(fā)新的火花.

(3)講理的教學(xué)呈現(xiàn)民主的教學(xué)氛圍.課堂中沒(méi)有“霸權(quán)”，沒(méi)有強(qiáng)加，沒(méi)有壓抑，教師充分將課堂的時(shí)間、話語(yǔ)權(quán)留給學(xué)生，師生以平等姿態(tài)、平等身份參與教學(xué)活動(dòng).

(4)講理的教學(xué)融合了豐富的情感體驗(yàn).課堂不是“流水線”，而是處處充滿生機(jī)活力的思想“交流源”；教師不是“機(jī)器人”，而是富有思想的引路人；學(xué)生不是“產(chǎn)品”，而是充滿情感、生機(jī)的個(gè)體.面對(duì)活生生的獨(dú)特個(gè)體，教師目中有人，口中有情，心中有愛(ài)，在和諧、互尊、互愛(ài)的氛圍中，實(shí)現(xiàn)情感交融和心靈熏陶.

(5)講理的數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程.講理的數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注知識(shí)的來(lái)龍去脈，注重知識(shí)的自然生成、個(gè)體情感體驗(yàn)和學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展過(guò)程.

案例3“為什么要證明”教學(xué)片段.

教師：如圖3，假如用一根比地球赤道長(zhǎng)1米的鐵絲將地球赤道圍起來(lái)，想象一下，鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大(地球看成球形)？[12]

圖3

學(xué)生：很小

教師：能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎？

學(xué)生：不能

教師：能放進(jìn)一顆紅棗嗎？

學(xué)生：部分說(shuō)可以，部分說(shuō)不可以，部分說(shuō)不知道.

教師：能放下一個(gè)拳頭.

評(píng)注上述教學(xué)片段在數(shù)學(xué)知識(shí)講解上沒(méi)有出現(xiàn)失誤，但對(duì)學(xué)生而言也就僅僅是做了一個(gè)數(shù)學(xué)題而已，典型的照本宣科，嚴(yán)重忽視了教學(xué)之理：缺乏教育的創(chuàng)造性、感染性和藝術(shù)性，屬于簡(jiǎn)單粗暴型教學(xué).一方面，案例中的提問(wèn)屬于淺層的無(wú)效提問(wèn)，這是因?yàn)槟苡谩笆恰薄安皇恰薄澳堋薄安荒堋薄昂谩薄安缓谩被卮鸬膯?wèn)題幾乎屬于無(wú)效的、缺乏深度的問(wèn)題，這是因?yàn)榛卮鹬T如此類問(wèn)題，學(xué)生往往都是不假思索、隨口就答，更談不上激活思維、啟迪智慧；另一個(gè)方面，教學(xué)片段不能真切地讓學(xué)生感受“為什么證明”，過(guò)于平淡的教學(xué)過(guò)程，不能引發(fā)學(xué)生前后認(rèn)識(shí)上的巨大反差和內(nèi)心深處的巨大沖突，不能在學(xué)生內(nèi)心種下要證明的“種子”.因此，為實(shí)現(xiàn)教學(xué)的創(chuàng)造性、感染性和藝術(shù)性，可以對(duì)“為什么要證明”教學(xué)設(shè)計(jì)做以下改造：

問(wèn)題1計(jì)算地球周長(zhǎng).

意圖讓學(xué)生感受地球的周長(zhǎng)(約40000000米)是一個(gè)非常大的量.

問(wèn)題2計(jì)算1米與地球周長(zhǎng)的比值.

問(wèn)題3想象一下用一根比地球赤道長(zhǎng)1米的鐵絲將地球赤道圍起來(lái)，鐵絲與地球赤道之間的間隙有多大？

意圖讓學(xué)生在大腦中形成間隙幾乎為0的意向.

問(wèn)題4能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎？能放進(jìn)一顆紅棗嗎？

意圖讓學(xué)生堅(jiān)信不能放進(jìn)一個(gè)拳頭甚至是一顆紅棗.

問(wèn)題5計(jì)算鐵絲與地球赤道之間的間隙.

意圖通過(guò)計(jì)算說(shuō)明能放下一個(gè)拳頭.

評(píng)注《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，在很大程度上提高學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的水平和教師從事教學(xué)活動(dòng)的質(zhì)量”.[13]改造后的教學(xué)片段，是對(duì)教材的創(chuàng)造性使用，極大地提升了教學(xué)質(zhì)量：先讓學(xué)生感受周長(zhǎng)是非常大的量，再感受多出的1米是多么微不足道，讓學(xué)生在內(nèi)心深處接納不能放進(jìn)一個(gè)拳頭，再通過(guò)計(jì)算讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)能放下一個(gè)拳頭，從而顛覆學(xué)生的認(rèn)知，形成強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，引發(fā)情感共鳴，進(jìn)而在內(nèi)心深處感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和證明的必要性.

2.4 思技術(shù)之理

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代背景下，信息技術(shù)(下文簡(jiǎn)稱技術(shù))的廣泛應(yīng)用對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了深刻影響.[12]一方面，技術(shù)為教學(xué)帶來(lái)了便利，比如：優(yōu)化課堂教學(xué)，拓寬教學(xué)方式，豐富教學(xué)資源.另一方面，技術(shù)的使用也產(chǎn)生了諸多新問(wèn)題：有的教師認(rèn)為使用技術(shù)課堂就高大上，不用技術(shù)則教學(xué)方式落伍；有的教師認(rèn)為技術(shù)的使用僅僅是為了減輕教師的勞動(dòng)強(qiáng)度；有的教師對(duì)技術(shù)產(chǎn)生了過(guò)度依賴，整節(jié)課以演示替代思考和講解[1],呈現(xiàn)代替板書(shū)[14]；等等.諸如此類，其根源在于未厘清技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與功能.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段，教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.”[5]比如：技術(shù)是處理復(fù)雜的畫(huà)圖、繁瑣的計(jì)算和數(shù)據(jù)的強(qiáng)大工具，能極大提高作圖、運(yùn)算和數(shù)據(jù)處理的效率和效果；技術(shù)是構(gòu)建“多元聯(lián)系表示”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境的工具；信息技術(shù)能提供數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和其他數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的手段.[15]作為輔助手段的技術(shù)，是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方式的重要補(bǔ)充，當(dāng)然也僅僅是補(bǔ)充而已，其使用從根本上是為了進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)效果，豐富教與學(xué)的方式，為教學(xué)錦上添花.因此，教學(xué)中需要以數(shù)學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)為前提，選取最優(yōu)的技術(shù)方式來(lái)輔助教學(xué)，實(shí)現(xiàn)內(nèi)容和對(duì)象的深度融合.[16]

案例4“基本不等式”教學(xué)片段.

教師：如圖4，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a，BC=b，過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD．求OD與CD(用a，b表示)．

圖4

教師：判斷OD與CD的大小關(guān)系．

學(xué)生：OD≥CD

……

3 結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)教育指向核心素養(yǎng)，知識(shí)本位將真正走向?qū)W科核心素養(yǎng)時(shí)代.學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展必然告別淺層、機(jī)械、壓抑、低效的數(shù)學(xué)教學(xué)，取而代之的是“真”、“善”、“美”的教學(xué)主張.講理的數(shù)學(xué)教學(xué)承載著真實(shí)、良善、美好，必然成為了學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的重要載體.當(dāng)然，講理的數(shù)學(xué)教學(xué)需要在核心素養(yǎng)理論的指引下，緊密圍繞數(shù)學(xué)、學(xué)情、教學(xué)和技術(shù)四個(gè)維度來(lái)做好教學(xué)的頂層設(shè)計(jì)，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展.