李 健

(江蘇省外國語學校 215104)

1 問題提出

正如美國科學院院士C．R．勞所說:“在抽象的意義下，一切科學都是數(shù)學；在理性的基礎上，所有的判斷都是統(tǒng)計”，步入大數(shù)據(jù)時代以來，社會、經(jīng)濟、科技等領域的發(fā)展與數(shù)學尤其是概率統(tǒng)計學的研究和應用實現(xiàn)了深度融合．與此同時，《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(簡稱《課標》)也對概率與統(tǒng)計的學科價值和教育價值進行了深度挖掘，并對高中數(shù)學教學提出了新的要求[1]．然而筆者注意到，“概率和統(tǒng)計”——這個“獨具個性”的數(shù)學分支——雖然成為了新課程體系中一個突出的獨立主題，但在目前實際教學中其概念內涵和學科本質往往會被忽視，甚至存在“機械記憶”的現(xiàn)象，這有悖于新課程提出的“為學生的可持續(xù)性發(fā)展和終身學習創(chuàng)造條件”的要求．基于此，筆者結合教學實際，希冀借助變式教學這一有效途徑進行分析和探討，在開展概率統(tǒng)計教學時逐步理解和落實新課程理念．

2 “概率與統(tǒng)計”的新課程背景簡析

2.1 對學科內容要求的解讀

作為新課程體系中的“四大主線”之一，“概率與統(tǒng)計”貫穿于“必修”、“選擇性必修”以及“選修”三個階段的課程中，其中，“必修”和“選擇性必修”涵蓋了“計數(shù)原理”、“概率”、“統(tǒng)計”3個模塊5個單元的內容(詳見表1)．相比較2003年頒布的《課標(實驗)》而言，《課標》主要有三個方面的變化或調整，一是在結構調整上，主要體現(xiàn)在“隨機事件的獨立性”由選擇性必修調整至必修，而“變量的相關性”則由必修調整到選擇性必修；二是在內容變化上，主要集中在必修課程內“隨機事件和概率”以及“抽樣”兩個知識點中；三是在教學要求上，更加強調了“古典概型”的作用以及對“統(tǒng)計本質”的理解[2]．這些變化和調整恰好為變式教學的實施提供了可操作空間．

2.2 從核心素養(yǎng)的視域分析

《課標》對該主題的學業(yè)要求是重點提升“數(shù)據(jù)分析”、“數(shù)學建?！薄ⅰ斑壿嬐评怼?、“數(shù)學運算”和“數(shù)學抽象”等5項數(shù)學學科素養(yǎng)(詳見表1)．不難看出，這5項學科素養(yǎng)是按照關聯(lián)度“從高到低”的順序排列的．作為統(tǒng)計學的核心內容，“數(shù)據(jù)分析”必然成為概率統(tǒng)計學習過程中所逐步形成的最關鍵能力；而在《課標》中，“實例”作為高頻詞在本主題中出現(xiàn)了高達20次，這充分說明了概率和統(tǒng)計模型是落實開展數(shù)學建模學習活動的重要載體[3]．所以，在日常教學中，我們要面向實際背景，讓學生學會從數(shù)據(jù)思維的角度去發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，即在概率統(tǒng)計的課程教學中，重點聚焦“數(shù)據(jù)分析”、“數(shù)學建?！边@兩項數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，同時兼顧“邏輯推理”、“數(shù)學運算”和“數(shù)學抽象”三項素養(yǎng)的滲透與培養(yǎng)，幫助學生逐步提升“四能”，把握數(shù)學本質．

表1

3 變式教學的案例實施探析

3.1 通過“概念性變式”多維度認知概念內涵

對核心概念內涵的理解是建構知識體系的關鍵，《課標》基于學生已有的知識儲備，增設了“同邏輯、類屬性”的概念，讓學生自發(fā)地將舊的知識與新的概念有效地拼接與融合，促進學生知識的縱向遷移和多角度認知，動態(tài)地對體系中的核心概念加以深度理解．這本質上就是“概念性變式”，即“用不同形式的直觀材料或具體事例說明概念的本質屬性, 或變換同類事物的非本質特征以突出概念的本質特征[4]．”

案例1《課標》增加了新概念——“樣本點及有限樣本空間”，它的引入讓我們可以用集合的語言去刻畫“事件的關系及運算”，從而能夠從集合的角度去審視概率問題．以2019年人教版《普通高中教科書·數(shù)學·必修·第二冊》(簡稱《必修二》)P230-231的內容為例，正是利用了學生所熟悉的“集合”的相關知識，來類化新增內容——“事件的關系和運算”的概念，同時借助Venn圖從“數(shù)和形”的角度幫助學生深度認知其概念內涵．這既是“化歸”和“數(shù)形結合”思想方法的體現(xiàn)，也是“概念性變式”實效的彰顯．

圖1

概念的內涵與外延對立且統(tǒng)一[4]，即概念有了明確的內涵則其外延就有了清晰的界定，反之亦然．所以深化概念可以通過厘清與其“周邊概念”的界限來達到突出其本質屬性的目的．

案例2《課標》將“古典概型”列為概率教學體系中的重要概念，而作為古典概型問題必備特性的“等可能性”往往是學生的初識“盲點”，因此強化“在具體問題情境中判斷樣本點的等可能性”是教學重點，此處可借助生活中的實例——彩票中獎概率問題——設計一個對比性較強的“非概念”示例來進行概念性變式教學(詳見表2)，再與《必修二》第236頁例8的兩個“思考”相銜接，歸納出求解古典概型問題的一般思路，達到深化理解“古典概型”內涵的目的．

表2

3.2 通過“過程性變式”多層次建構知識體系

《課標》對概率和統(tǒng)計的概念要求做了較大的調整，與其他模塊相比較，并沒有刻意強調對其概念的認知，取而代之的是強調在對相關知識的實踐過程中感悟性質、掌握方法．在《必修二》中，對兩個概念的描述主要以章首語中的概述為主，以概率為例，其中有兩個顯性的變化：一是“概率”的定義沒有像以往教材一樣設置在本章首節(jié)，而是以“有限樣本空間”為起點進行了兩節(jié)內容的鋪墊，直到第三節(jié)“古典概型”才給出了明確定義；二是沒有從“頻率”的角度去詮釋概率的定義，僅從“概率是對隨機事件可能性大小的量化”這一層面進行了表述，是對章首語的呼應．而上述變化，正是教師在實施教學時需要調整的聚焦點，采用“過程性變式”有助于在概念辨析中揭示兩者的區(qū)別與聯(lián)系，更有助于在情景化中建構概率與統(tǒng)計的知識體系．

根據(jù)數(shù)學活動過程具有層次性的基本特征，“過程性變式”包含了深化認知的一系列策略與途徑，旨在形成不同概念之間的層次關系或獲得多種方法[4]．同作為量化隨機現(xiàn)象規(guī)律性的兩個概念，概率與統(tǒng)計在研究方向、推理方法和判斷準則上均有差異(圖2)[6]，針對這個特點，筆者設計了以“失蹤的彈孔”為情境的過程性變式：

圖2

案例3師：二戰(zhàn)中，為了提高飛機的防御效能，在盡量減少對飛機機動性影響的前提下，美國軍方?jīng)Q定在飛機最需要防護、受攻擊概率最高的部位增加裝甲，他們根據(jù)戰(zhàn)斗后返程飛機各部位的彈孔分布，給相關的統(tǒng)計研究小組提供了如下數(shù)據(jù)(見表3)，如果你是小組成員，你會建議在飛機的哪個部位增加裝甲呢？

表3

生：應該在彈孔出現(xiàn)頻率最多的機身部位進行加固．

師：但是當時研究小組中的數(shù)學家亞伯拉罕·瓦爾德可不這么認為，他給出的建議是“加固裝甲中彈頻率最低的位置——引擎.”大家可以交流思考下，這是什么原因？(拋出變式情境，引導學生思考)

生：(討論交流，思考探究)從概率學角度分析，飛機各部位中彈的幾率應是均等的，然而實際出現(xiàn)這么大偏差，是因為這一統(tǒng)計數(shù)據(jù)源自于能夠返航的“幸存者”．因此，我們可以得出結論——引擎中彈為致命傷，這些飛機無法返回導致了引擎上的彈孔大量“失蹤”．

師：很好！從上述事例中你感悟到什么了嗎？

生：概率學中的結論是確定的理論值，它對統(tǒng)計學的應用有著很重要的判斷和指導作用．

師：(因勢利導，實施變式)很好！大家都知道在統(tǒng)計學中，我們常用“頻率”來度量隨機現(xiàn)象變化規(guī)律，例如表3中數(shù)據(jù)就可以轉化為“飛機各部位的中彈頻率”，大家不妨結合頻率的概念談一談統(tǒng)計對概率的研究有著怎樣的意義？

生：統(tǒng)計出來的頻率是具有隨機性的實驗值，通過大量重復的實驗可以用頻率去估計概率，例如著名的“拋硬幣實驗”就很好地說明了“頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的近似值”的基本事實．

師：非常好！所以我們可以通過統(tǒng)計學中得出的數(shù)據(jù)，幫助我們建立相應的概率模型或者驗證某個概率模型是否合理．

由此可見，“過程性變式”中所蘊含的動態(tài)思辨更有利于學生自發(fā)地厘清概率與統(tǒng)計之間的“血緣關系”，可以更有效地幫助學生在形成概念的過程中構建知識體系．

3.3 通過“解題型變式”多途徑把握學科本質

近幾年的高考概率統(tǒng)計題中，愈發(fā)明顯地突出理論聯(lián)系實際的導向[5]．情景創(chuàng)設更趨于真實、模型設計更加精致、題型設置也更為多元，這充分體現(xiàn)了高考的導向——概率統(tǒng)計的解題教學應側重于現(xiàn)實意義下的對知識的理解掌握．例如《課標》明確要求通過具體的實例了解、掌握“超幾何分布”和“二項分布”，而學生在剛接觸“超幾何分布”時，往往會與之前所學的“二項分布”混淆，我們可設置下述“解題型變式”，以幫助學生將兩種分布融合到現(xiàn)實情境中辨析異同、感悟內涵．

案例4(2021蘇州高三期初調研第18題)隨著視頻傳輸和移動通信技術的日益成熟、以及新冠疫情的推動，直播+電商的模式正在全球范圍內掀起熱潮．目前，國際上Amazon、Rakuten等電商平臺和以Facebook為代表的社交類平臺都紛紛上線了直播電商業(yè)務；在國內，淘寶、京東、抖音、拼多多、蘇寧等眾多平臺都已成為該賽道內的玩家．根據(jù)中研產(chǎn)業(yè)研究院《2020—2025年中國直播電商行業(yè)市場深度分析及投資戰(zhàn)略咨詢研究報告》顯示，2020年上半年，“直播經(jīng)濟”業(yè)態(tài)主要崗位的人才達到2019年同期的2.4倍；2020年“6．18”期間，帶貨主播和直播運營兩大崗位高達去年同期的11.6倍．針對這一市場現(xiàn)象，為了加強監(jiān)管，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次．

(1)請完成關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務好評有關？(附表略)

對服務好評對服務不滿意合計對商品好評80對商品不滿意10合計200

(2)(原題)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全為好評的次數(shù)為隨機變量X，求對商品和服務全為好評的次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．

(變式)以“評價系統(tǒng)中選出的200次成功交易”作為研究對象，從中隨機抽取3次交易，記這3次交易中對商品和服務全為好評的次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．

師：(一題多變，比對辨析)請大家針對第2問思考下原題與變式的題設有何異同之處．

師：(引導探究，把握本質)很好！不同的統(tǒng)計背景對應不同的概率分布，從上述問題中我們可以解讀出“取后是否放回”、“總體容量大小”以及“是否出現(xiàn)‘用統(tǒng)計數(shù)據(jù)替代’的表述”是區(qū)分“二項分布”和“超幾何分布”的一些關鍵點．那為何上述兩種不同的概率分布期望值卻“殊途同歸”？是巧合嗎？你如何理解的？

師：(回歸教材，多題一解)很不錯的解題思路！事實上該方法還可以推出更為一般性的結論，但需要嚴格的演繹推理去論證，請大家研讀教材(人教A版《選擇性必修3》)78頁至79頁“探究”的內容，深度理解二者的期望為何相等，同時利用上述解決問題的思路去研究例6，理論聯(lián)系實際，深層次理解“超幾何分布”和“二項分布”的概念本質．

由該例我們不難窺出，“一題多變”、“一題多解”和“多題一解”等常用的“解題型變式”教學手段，是引導學生分析、解決問題并最終把握數(shù)學本質的重要研究方法．

4 結束語

長期的教學實踐證明了“唯‘變’不變”的真理，歷經(jīng)幾次教改，變式教學一直都扮演著數(shù)學教學“催化劑”的重要角色，在概率與統(tǒng)計的學習中，它既是指向數(shù)學概念深度學習的有效手段，也是指向培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的重要途徑．隨著這一輪教改逐步走入深水區(qū)，變式教學也必將為“加快教學縱深發(fā)展、促進學生多向思維”提供更強大的助力．