董連成，李珠君，董 軍

(1.黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2.北京建筑大學(xué) 工程結(jié)構(gòu)與新材料北京市高等學(xué)校工程研究中心， 北京 100044)

0 引 言

車(chē)—軌—橋耦合振動(dòng)體系研究一直以來(lái)都是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)，并取得了相當(dāng)?shù)某晒鸞1-4]。橋梁不僅承受來(lái)自上部軌道結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)期載荷，還承受列車(chē)通過(guò)時(shí)短期沖擊的載荷作用。延長(zhǎng)橋梁壽命，提高橋梁承載能力，使其經(jīng)濟(jì)效益極大化，是橋梁研究的目的。以獲得橋梁使用最佳狀態(tài)為目標(biāo)，大量學(xué)者進(jìn)行了橋梁的優(yōu)化研究。謝冠宇等[5]選取深圳東寶河新安大橋—三跨波形鋼腹板PC組合連續(xù)箱梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象，研究了基于橢圓基函數(shù)(Elliptic basis function，EBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的橋梁有限元模型修正，結(jié)果表明，橢圓基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似模型的模型修正較三階響應(yīng)面和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有更高的精度。殷允垚[6]將扣減剛度、過(guò)渡段長(zhǎng)度及填料作為設(shè)計(jì)變量，對(duì)車(chē)—軌耦合作用下路橋過(guò)渡段進(jìn)行優(yōu)化研究。傅強(qiáng)等[7]研究了大跨度斜拉橋的動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)。楊書(shū)儀等[8]依托響應(yīng)面法和有限元技術(shù)，建立了橋梁主桁架的撓度、彎曲應(yīng)力和結(jié)構(gòu)尺寸的函數(shù)表達(dá)式，對(duì)11 m簡(jiǎn)支鋼橋主桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

優(yōu)化常用的近似模型有響應(yīng)面模型、正交多項(xiàng)式模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以其良好的擬合能力、對(duì)非線性映射關(guān)系的良好表達(dá)能力成為優(yōu)化構(gòu)建近似模型的常見(jiàn)選擇，而基于EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法計(jì)算效率和精度更高[5]。目前，24 m跨徑箱梁橋在制作、維修、施工等方面較易實(shí)現(xiàn)，既有鐵路和在建鐵路上均有應(yīng)用，如津秦鐵路客運(yùn)專(zhuān)線等。有鑒于此，筆者以鐵路上常用的24 m鐵路箱梁橋?yàn)槔?，采用時(shí)速為36 km/h的列車(chē)和德國(guó)高干擾軌道不平順譜，分別考慮有限元模型中7個(gè)參數(shù)，先進(jìn)行顯著性分析，確定3個(gè)對(duì)橋梁振動(dòng)影響顯著的因子，針對(duì)顯著因子進(jìn)行了基于EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)優(yōu)化研究，構(gòu)建了有效的鐵路箱梁橋優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，為后續(xù)鐵路箱梁橋設(shè)計(jì)與仿真分析提供理論參考，并為提高鐵路實(shí)際建設(shè)提供服務(wù)。

1 構(gòu)建列車(chē)—軌道—箱梁橋耦合模型

1.1 模型構(gòu)建及參數(shù)選取

鐵路箱梁橋結(jié)構(gòu)如圖1a所示。模型包括軌道、軌道板、CA砂漿層、底座板、滑動(dòng)層和箱梁橋。列車(chē)經(jīng)過(guò)鐵路箱梁橋時(shí)，鋼軌傳力于軌道板，之后力傳遞于底座板，底座板傳力于橋梁。筆者以單跨24 m雙線標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)支箱梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象，上面鋪設(shè)CRTSⅡ型板式軌道板，鋼軌采用標(biāo)準(zhǔn)60軌，列車(chē)采用CRH380AL列車(chē)。模型具體參數(shù)為：橋面寬12.00 m，梁高3.05 m，單跨橋梁長(zhǎng)25.95 m，橋梁上鋪設(shè)4塊軌道板，底座板寬2.95 m，厚度0.20 m；CA砂漿層寬2.50 m，厚度0.03 m；軌道板寬2.50 m，厚度0.20 m；每塊標(biāo)準(zhǔn)軌道板長(zhǎng)6.45 m，板間距0.05 m。標(biāo)準(zhǔn)軌道板與鋼軌設(shè)10組扣件，每?jī)山M扣件間距0.65 m。鋼軌與橋梁同長(zhǎng)度。CRH380AL列車(chē)，選取一節(jié)中間車(chē)做模擬，長(zhǎng)度25.00 m，寬3.38 m，高3.70 m，軸重15 t，車(chē)體重40 t。有限元模型如圖1b所示，扣件采用combin14線性彈簧單元，滑動(dòng)層采用combin39非線性彈簧單元。

圖1 鐵路箱梁橋橫斷面與有限元模型Fig. 1 Cross section and finite element model of rail box bridge

1.2 加載條件

為獲得24 m單跨簡(jiǎn)支箱梁橋振動(dòng)響應(yīng)，采用的加載條件如下：車(chē)輛速度為36 km/h，過(guò)橋時(shí)間為4.74 s，施加德國(guó)高干擾軌道高低不平順譜。

其中，德國(guó)軌道高低不平順表達(dá)式[3]：

(1)

式中：Sv——高低不平順功率譜密度，m2/rad·m-1；

Ωc——截?cái)囝l率，rad/m，取0.8246；

Av——粗糙度常數(shù)，m2·rad/m，取1.08×10-6；

Ω——軌道不平順的空間頻率，rad/m；

Ωr——截?cái)囝l率，rad/m，取0.020 6。

根據(jù)逆傅里葉變換法(IFFT)，利用Matlab軟件對(duì)式(1)進(jìn)行數(shù)值分析，得德國(guó)高干擾垂向不平順時(shí)域樣本，見(jiàn)圖2。

圖2 垂向不平順時(shí)域樣本Fig. 2 Time domain samples of vertical track irregularity

1.3 優(yōu)化目標(biāo)

列車(chē)經(jīng)過(guò)時(shí)橋梁發(fā)生振動(dòng)，該振動(dòng)屬于多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)，振動(dòng)方程[9-10]為

(2)

式中：M——質(zhì)量矩陣；

c——阻尼矩陣；

K——?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

Y——位移列向量；

F(t)——外荷載。

求解該方程需引入正則坐標(biāo)和主振型矩陣，先求得自振頻率和振型，再求廣義質(zhì)量和廣義荷載，計(jì)算阻尼比，之后求得正則坐標(biāo)，最后求得結(jié)構(gòu)的位移等動(dòng)力反應(yīng)。故作者以降低橋梁振動(dòng)、優(yōu)化鐵路箱梁橋結(jié)構(gòu)為目的，選取可以表征橋梁振動(dòng)特性跨中的撓度、加速度和1階豎向彎曲的自振頻率3個(gè)參數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)(多目標(biāo)優(yōu)化)。

2 軌道箱梁橋結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及顯著因子篩選

考慮模型的復(fù)雜性，為了防止在優(yōu)化仿真中因子數(shù)過(guò)多或者所選因子不顯著而造成實(shí)驗(yàn)結(jié)果失敗，暫選7組參數(shù)采用正交實(shí)驗(yàn)法進(jìn)行參數(shù)敏感性分析，如式(3)，因素水平表如表1所示。

x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)，

(3)

式中：x1——combin14彈簧剛度；

x2——combin14彈簧高度；

x3——combin39高度；

x4——combin14彈簧間距(扣件間距)；

x5——軌道板混凝土強(qiáng)度的彈性模量；

x6——底座板混凝土強(qiáng)度的彈性模量；

x7——橋梁混凝土強(qiáng)度的彈性模量。

表1 因素水平

全因子實(shí)驗(yàn)所需的實(shí)驗(yàn)次數(shù)是和因子數(shù)呈指數(shù)相關(guān):

r=km，

(4)

式中：r——實(shí)驗(yàn)次數(shù)；

k——因子水平；

m——因子數(shù)。

文中的7因子2水平的全因子實(shí)驗(yàn)次數(shù)為27，128次，取16次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)表如表2所示，其中，a為加速度，f為自振頻率。

根據(jù)對(duì)正交實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出的標(biāo)準(zhǔn)化效應(yīng)Pareto圖可知，顯著因子是對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響比較大的因子。Pareto圖是可以確定影響較大參數(shù)的條形圖，條形一旦超出紅線部分即為顯著。該圖取決于誤差項(xiàng)的自由度，當(dāng)誤差項(xiàng)的自由度大于等于1時(shí)，Pareto圖則在t處繪制紅線；當(dāng)誤差項(xiàng)的自由度等于0時(shí)，Pareto圖則在邊際誤差處繪制紅線，邊際誤差ε為

ε=t×εPSE，

(5)

式中：t——t分布的(1-α/2)分位數(shù)；

εPSE——偽標(biāo)準(zhǔn)誤。

顯著性水平關(guān)乎區(qū)間估計(jì)的可靠度，文中取顯著性水平αs=0.1，即置信度為90%。橋梁跨中撓度的標(biāo)準(zhǔn)化效應(yīng)Pareto圖見(jiàn)圖3，橋梁跨中振動(dòng)加速度的標(biāo)準(zhǔn)化效應(yīng)Pareto圖見(jiàn)圖4，橋梁跨中1階豎向彎曲自振頻率的標(biāo)準(zhǔn)化效應(yīng)Pareto圖見(jiàn)圖5。

由圖3～5可知，跨中撓度的顯著因子為x1和x7，跨中加速度的顯著因子為x4, 跨中1階豎向彎曲自振頻率的顯著因子為x4和x7。因此，選取x1、x4和x7為設(shè)計(jì)變量，其他變量為非顯著因子，取值如表3所示。根據(jù)文獻(xiàn)[11]可知，混凝土材料動(dòng)彈性模量高出靜彈性模量30%～50%，針對(duì)橋梁強(qiáng)度選擇的C50、C50的動(dòng)彈性模量最大取值范圍為3.45×1.5=5.18 GPa。

表2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

圖3 跨中撓度Pareto圖Fig. 3 Deflection Pareto diagram in mid span

圖4 跨中加速度Pareto圖Fig. 4 Acceleration Pareto diagram in mid span

圖5 跨中1階豎向彎曲自振頻率Pareto圖Fig. 5 First-order natural frequency Pareto diagram in mid span

2.2 最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法采樣

由于車(chē)軌橋模型本身計(jì)算工作量大，抽樣點(diǎn)多，因此，采用最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法獲取樣本點(diǎn)，取值如表3所示，方案如表4所示。最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)抽樣方法是對(duì)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)抽樣方法的改進(jìn)，樣本點(diǎn)數(shù)更少，精確度更高。

表3實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)

表4 最優(yōu)拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案

2.3 EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建

為了更好的優(yōu)化鐵路箱梁橋結(jié)構(gòu)，引入橢圓基函數(shù)(Elliptic basis function，EBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為優(yōu)化過(guò)程中的近似模型。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有可以充分逼近任意復(fù)雜的非線性關(guān)系，可并行處理方法等優(yōu)點(diǎn)，在許多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域都取得了顯著成效[12]，且EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較響應(yīng)面和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更好的適用性和更高的精度[5]。EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)如圖6所示。其中輸入層的x1、x2和x3代表由正交實(shí)驗(yàn)確定的3個(gè)顯著因子，即扣件彈簧剛度，扣件間距，橋梁混凝土強(qiáng)度的彈性模量，輸出層的y1、y2和y3代表3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，即跨中的撓度、加速度和1階豎向彎曲的自振頻率。

圖6 橢圓基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig. 6 Elliptic basis function neural network

設(shè)輸入層有N個(gè)輸入?yún)?shù)，隱含層有n個(gè)神經(jīng)元，輸出層有M個(gè)響應(yīng)值，則響應(yīng)值對(duì)應(yīng)的公式[5,13]：

(6)

式中：wi——第i個(gè)神經(jīng)元與第M個(gè)響應(yīng)值的連接權(quán)重系數(shù)；

gi——橢圓基函數(shù)。

權(quán)重系數(shù)wi可通過(guò)式(7)、(8)聯(lián)立求得，橢圓基函數(shù)gi可通過(guò)式(9)求得。

(7)

(8)

gi(x)=(x-xi)TS-1(x-xi)，

(9)

(10)

w=H-1y，

(11)

式中：S——協(xié)方差矩陣；

μ——樣本中心點(diǎn);

y=(y1,y2,…,yn,0)T。

根據(jù)表2和表3的參數(shù)取值，將其作為ANSYS有限元軟件初始參數(shù)計(jì)算鐵路箱梁橋跨中的撓度、加速度和1階豎向彎曲的自振頻率(優(yōu)化目標(biāo))，提取計(jì)算結(jié)果，如表4，從而獲得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本集。

2.4 擬合優(yōu)度分析

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無(wú)法給出輸入變量和輸出變量直接的函數(shù)關(guān)系，為獲得最佳近似模型，引入R2復(fù)相關(guān)系數(shù)評(píng)價(jià)模型近似程度，其表達(dá)式：

(12)

式中：yi——第i個(gè)樣本點(diǎn)的響應(yīng)值；

ypi——第i個(gè)樣本點(diǎn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型近似值；

跨中的撓度、加速度及1階豎向彎曲自振頻率的橢圓基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的擬合優(yōu)度均在0.90以上，表明擬合所得模型能夠很好的反應(yīng)設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)之間的函數(shù)關(guān)系，可用于下一步優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.5 優(yōu)化設(shè)計(jì)

基于優(yōu)化參數(shù)為變量，以撓度、加速度和1階豎向彎曲的自振頻率為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為

(13)

表5 設(shè)計(jì)變量的初始值和取值范圍

由于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中各優(yōu)化目標(biāo)之間可能存在交互作用，無(wú)法同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，因此選用NSGA-II遺傳算法尋優(yōu)，即非支配排序遺傳算法，以便獲取Pareto最優(yōu)解集。NSGA-II遺傳算法較傳統(tǒng)的遺傳算法降低了計(jì)算復(fù)雜度，保持了種群多樣性，擴(kuò)大了采樣空間[14]。優(yōu)化時(shí)，子代種群規(guī)模100，最多迭代次數(shù)100，變異概率0.03，交叉概率0.7[15]。Pareto前沿解分布圖如圖7所示。

圖7 Pareto前沿解分布Fig. 7 Distribution of Pareto frontier solutions

根據(jù)式(13)，選A點(diǎn)作為優(yōu)化后滿意解，優(yōu)化后最終結(jié)果如表6所示。

結(jié)果顯示，采用NSGA-II遺傳算法對(duì)EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似模型尋優(yōu)并進(jìn)行調(diào)整，代入有限元模型，產(chǎn)生跨中的撓度、加速度和1階自振頻率誤差分別為6.10%、2.84%和 6.34%，這表明該優(yōu)化方法有效。由表6結(jié)果得到，與初始值相比，跨中的撓度、加速度和第1階自振頻率分別下降了7.0%、9.0%和 9.5%。

表6 優(yōu)化前后設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)的對(duì)比

橋梁跨中的撓度，振動(dòng)加速度和1階自振頻率的降低，說(shuō)明橋梁振動(dòng)得到了有效改善。優(yōu)化后橋梁1階模態(tài)振型如圖8所示。

圖8 1階模態(tài)振型Fig. 8 Shape of first-order modal

3 結(jié) 論

針對(duì)列車(chē)通過(guò)鐵路箱梁橋造成的振動(dòng)，為降低對(duì)橋梁的振動(dòng)，以24 m鐵路箱梁橋?yàn)槔?，建立了鐵路列車(chē)—軌道—箱梁橋有限元模型，通過(guò)正交實(shí)驗(yàn)從有限元模型中選取的7個(gè)參數(shù)中確定3個(gè)明顯影響橋梁振動(dòng)的參數(shù)(顯著因子)，基于EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得出箱梁橋近似模型，通過(guò)NSGA-II遺傳算法對(duì)近似模型進(jìn)行優(yōu)化。

(1)依據(jù)正交實(shí)驗(yàn)，在置信水平為90%的基礎(chǔ)上，確定combin14彈簧剛度，扣件間距和橋梁混凝土強(qiáng)度的彈性模量3個(gè)顯著因子，即明顯影響橋梁跨中的撓度、加速度和1階彎曲的自振頻率的參數(shù)。

(2)根據(jù)NSGA-II遺傳算法尋優(yōu)可知，當(dāng)彈簧剛度為3.33×107N/m，扣件間距為0.65 m，橋梁混凝土強(qiáng)度的動(dòng)彈性模量4.11 GPa時(shí)，橋梁跨中的撓度、加速度和1階彎曲的自振頻率(3個(gè)優(yōu)化目標(biāo))最小，橋梁振動(dòng)得到有效改善。

(3)基于EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)跨中的撓度降低7.0%，加速度降低9.0%，1階彎曲的自振頻率降低9.5%，有效提升計(jì)算效率并保證優(yōu)化結(jié)果精度，對(duì)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)，基于EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化方法同樣適用。