馮清波，王明帥，江信東，賈 逸

(1.寧波寧大地基處理技術(shù)有限公司， 浙江 寧波 315211； 2.中國(guó)建筑西南勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司， 成都 610052； 3.中國(guó)地質(zhì)調(diào)查局 地質(zhì)災(zāi)害防治技術(shù)中心， 成都 611734)

0 引 言

本構(gòu)模型是巖石力學(xué)中的核心內(nèi)容，近年來(lái)受到學(xué)者廣泛關(guān)注[1～2]。Krajcinovic[3]、唐春安[4]和曹文貴[5]等國(guó)內(nèi)外學(xué)者將統(tǒng)計(jì)學(xué)和損傷力學(xué)有機(jī)地結(jié)合，提出統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型并應(yīng)用到巖土工程中，取得良好的成效。巖石是一種非均質(zhì)、非線性的地質(zhì)材料，構(gòu)造運(yùn)動(dòng)、自然風(fēng)化、水作用等因素使得巖石內(nèi)部表現(xiàn)出微缺陷，導(dǎo)致巖石性能弱化，造成巖石性能劣化的微結(jié)構(gòu)變化即為損傷[6]。

目前對(duì)巖石損傷本構(gòu)關(guān)系研究已有較多成果。曹文貴等[5]、何志磊等[7]、Zhu等[8]、蔣維等[9]、黃海峰等[10]基于Lemaitre[11]應(yīng)變等價(jià)性假說(shuō)，假定了冪函數(shù)分布、Weibull分布、正態(tài)分布和Harris分布等概率密度函數(shù)來(lái)描述巖石微元強(qiáng)度并構(gòu)建統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。這類(lèi)模型雖然具有良好的擬合效果，但是忽略了中間主應(yīng)力對(duì)巖石變形破壞的影響。巖石在三維應(yīng)力狀態(tài)下，其變形破壞全過(guò)程受三向應(yīng)力影響，忽略中間主應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致模擬計(jì)算出現(xiàn)偏差。鑒于此，筆者引入了考慮中間主應(yīng)力的SMP強(qiáng)度準(zhǔn)則，基于統(tǒng)計(jì)損傷理論，建立一種新的考慮中間主應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。通過(guò)該模型描述巖石變形破壞過(guò)程，為巖石變形破壞全過(guò)程的模擬預(yù)測(cè)及深層次認(rèn)識(shí)提供參考。

1 統(tǒng)計(jì)損傷軟化模型的建立

1.1 SMP準(zhǔn)則

大量研究表明[12-13]，中間主應(yīng)力會(huì)影響到巖體變形。傳統(tǒng)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則是基于最大和最小主應(yīng)力的二維摩擦準(zhǔn)則，忽略了中間主應(yīng)力的影響，由此引入考慮中間主應(yīng)力的三維摩擦準(zhǔn)則—SMP(松崗-中井)準(zhǔn)則，其表達(dá)式為

式中：I1、I2、I3——應(yīng)力張量第一、二、三不變量；

φ——內(nèi)摩擦角。

式中，σ1、σ2和σ3為分別為最大、中間和最小主應(yīng)力。

Satake等[14]、Mastuoka等[15]拓展該準(zhǔn)則，使其同時(shí)適應(yīng)非黏結(jié)性材料和黏結(jié)性材料，并提出黏結(jié)應(yīng)力σ0=ccotφ的概念，

依據(jù)相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，可得黏性材料SMP準(zhǔn)則為

(1)

1.2 損傷變量的定義

根據(jù)Lemaitre[11]應(yīng)變等價(jià)性假設(shè)，應(yīng)力σ作用在受損、無(wú)損材料上產(chǎn)生的應(yīng)變等價(jià)，如圖1所示。

圖1 應(yīng)變等價(jià)示意Fig. 1 Strain equivalence schematic

由圖1可見(jiàn)，有以下關(guān)系：

σ=σ′(1-D)，

(2)

式中：σ′——有效應(yīng)力；

D——損傷變量。

假設(shè)巖石內(nèi)部由n個(gè)受損微單元和N-n個(gè)無(wú)損微單元組成，則D可表示為

(3)

依據(jù)式(1)得到基于 SMP 準(zhǔn)則的微元強(qiáng)度F表達(dá)式為

(4)

假定巖石屈服前服從Hooke定律，巖石內(nèi)部微單元為線彈性單元，則有

(5)

式中：ε1——軸向應(yīng)變；

μ——泊松比；

E——彈性模量。

假設(shè)巖石破壞概率為P[f(σ1,σ2,σ3)]，再結(jié)合式(4)、(5)有

(6)

將式(6)代入式(3)得到D為

(7)

將式(5)、(7)代入式(2)可得

(8)

式(8)即為文中基于SMP準(zhǔn)則巖石統(tǒng)計(jì)損傷關(guān)系表達(dá)式。

1.3 模型建立

考慮到巖石內(nèi)部微缺陷發(fā)展具有隨機(jī)分布特性，故引入統(tǒng)計(jì)損傷理論。統(tǒng)計(jì)損傷理論中，應(yīng)用較多的概率分布主要有Weibull分布、冪函數(shù)分布、正態(tài)分布等，其中Weibull分布由于其形式簡(jiǎn)練應(yīng)用最為廣泛，文中選取Weibull分布，其概率密度函數(shù)為

式中，m、F0——Weibull分布參數(shù)。

當(dāng)某一荷載下，巖石內(nèi)部已損微單元為

(9)

聯(lián)立式(7)、(9)可得

(10)

將式(10)代入式(8)可得

(11)

式(11)即為文中基于SMP準(zhǔn)則的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。其中

(12)

2 模型參數(shù)確定方法

2.1 參數(shù)m和F0

將式(12)代入式(11)并對(duì)應(yīng)變求偏微分可得

(13)

假設(shè)巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值點(diǎn)為b，引入峰值條件：

(14)

將式(14)代入式(13)可得

(15)

式中：ε1b——峰值應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變；

Fb——峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的F值。

變形式(11)可得：

(16)

式中，σ1b——峰值應(yīng)力。

聯(lián)立式(15)、(16)得

(17)

(18)

式(13)～(18)為參數(shù)m和F0的確定方法。由式(17)、(18)可看出，m通過(guò)E，μ，σ3，σ0，σ1b，ε1b確定，而F0的取值與m密切相關(guān)。

2.2 參數(shù)σ0

前文已經(jīng)給出黏結(jié)應(yīng)力σ0=ccotφ，僅需確定巖石抗剪強(qiáng)度指標(biāo)黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ，即可得到σ0，c和φ通?？赏ㄟ^(guò)繪制不同圍壓狀態(tài)下的莫爾圓，并作其公切線來(lái)求解，通過(guò)式(19)、(20)求取

(19)

(20)

式中：σc——最佳關(guān)系曲線在縱軸上的截距；

p——斜率。

3 模型驗(yàn)證及參數(shù)求解

3.1 常規(guī)三軸壓縮實(shí)驗(yàn)

以某邊坡英安巖為研究對(duì)象，通過(guò)YSJ巖石三軸試驗(yàn)機(jī)開(kāi)展常規(guī)三軸壓縮實(shí)驗(yàn)，圍壓設(shè)置為10、20和30 MPa，得到應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示。根據(jù)文獻(xiàn)[16]，將巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線上近似直線段的斜率作為彈性模量，三種圍壓下的彈性模量E分別為330.77、486.67和509.09 MPa，實(shí)驗(yàn)確定μ為0.24?；趫D2，以峰值應(yīng)力為縱坐標(biāo)、圍壓為橫坐標(biāo)的最佳關(guān)系曲線，如圖3所示。

圖2 應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 2 Stress-strain curves

圖3 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)最佳關(guān)系曲線Fig. 3 Best relation curves of test point

由圖3可知，σc和p分別為78.67 MPa和3.15，再結(jié)合式(19)、(20)，計(jì)算得出英安巖的c和φ分別為22.16 MPa和31.22°，從而確定σ0為36.59 MPa。

3.2 模型驗(yàn)證及參數(shù)m和F0的確定

由所建模型對(duì)英安巖變形破壞全過(guò)程進(jìn)行辨識(shí)，依據(jù)式(11)、(12)繪制理論值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比曲線，再引入文獻(xiàn)[17]中未考慮中間主應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)損傷模型進(jìn)行對(duì)比，模型參數(shù)如表1所示。模型辨識(shí)結(jié)果對(duì)比如圖4所示。

表1 參數(shù)m和F0值

圖4 模型辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Fig. 4 Comparison of model identification results

對(duì)圖4分析可得，未考慮中間主應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型的辨識(shí)能力較差，平均相關(guān)系數(shù)R2為0.893 6，峰后階段存在較大誤差，理論值明顯低于實(shí)驗(yàn)值。文中所建模型理論值在峰后階段遠(yuǎn)大于引用模型，與實(shí)驗(yàn)值較為接近，平均R2達(dá)到0.977 2。

為驗(yàn)證所建模型對(duì)不同類(lèi)型巖石的適用性，引用文獻(xiàn)[10]和[18]中泥巖、二長(zhǎng)花崗巖的應(yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用文中模型進(jìn)行辨識(shí)，得到對(duì)比曲線如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)值和理論值對(duì)比曲線Fig. 5 Comparison curves between experimental value and theoretical value

由圖5可以看出，文中所建模型對(duì)泥巖和二長(zhǎng)花崗巖實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果較好，平均R2分別為0.989 4和0.987 3?？傮w而言，文中所建基于SMP準(zhǔn)則的巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型具有較強(qiáng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線辨識(shí)能力，能較為準(zhǔn)確地描述不同類(lèi)型巖石的變形破壞全過(guò)程。

4 結(jié) 論

(1)基于SMP破壞準(zhǔn)則，建立了一種新的考慮中間主應(yīng)力的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。通過(guò)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的極值特性，給出模型參數(shù)m和F0確定方法。開(kāi)展英安巖常規(guī)三軸壓縮實(shí)驗(yàn)，通過(guò)求解抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，得到巖石黏結(jié)應(yīng)力。

(2)傳統(tǒng)的未考慮中間主應(yīng)力的模型對(duì)巖石峰后階段的描述存在較大誤差，基于SMP準(zhǔn)則的統(tǒng)計(jì)損傷模型對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線具有較好的辨識(shí)效果。對(duì)比兩者模型預(yù)測(cè)效果，證明文中所建模型的可行性和合理性。

(3)引用相關(guān)文獻(xiàn)中泥巖和二長(zhǎng)花崗巖的三軸壓縮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用文中所建模型進(jìn)行辨識(shí)，理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線吻合較好，驗(yàn)證了所建模型的適用性。