沈力 沈媛 周浩

時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)

沈力1沈媛2周浩2

(1. 江蘇省規(guī)劃設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司市政規(guī)劃與工程設(shè)計(jì)院 南京 210036；2. 中國電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所 南京 210007)

為考慮時(shí)滯系統(tǒng)的不確定性，在常時(shí)滯電力系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上建立不確定時(shí)滯電力系統(tǒng)模型。構(gòu)建新的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函，引用Bessel-Legendre不等式方法處理所提Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)中的積分項(xiàng)，計(jì)算得到不確定時(shí)滯穩(wěn)定判據(jù)。通過和現(xiàn)有文獻(xiàn)對比，驗(yàn)證所提方法的優(yōu)越性。根據(jù)得到的穩(wěn)定判據(jù)，應(yīng)用參數(shù)調(diào)整法及線性矩陣不等式技術(shù)設(shè)計(jì)出無記憶狀態(tài)反饋控制器和有記憶狀態(tài)反饋控制器，通過典型二階時(shí)滯系統(tǒng)、單機(jī)無窮大系統(tǒng)分析驗(yàn)證了兩種控制器的鎮(zhèn)定作用。

電力系統(tǒng)；時(shí)變時(shí)滯；魯棒鎮(zhèn)定控制器

1 引言

隨著智能電網(wǎng)發(fā)展，現(xiàn)代電力系統(tǒng)更加趨向于多互聯(lián)，大規(guī)模方向發(fā)展，因此僅依賴傳統(tǒng)的區(qū)域信號控制方法將無法滿足系統(tǒng)對性能的要求。近些年，隨著同步相量測量裝置技術(shù)，全球定位系統(tǒng)技術(shù)和現(xiàn)代電力通信技術(shù)的廣域測量系統(tǒng)的應(yīng)用，使得將本地電力系統(tǒng)信息同步采樣并傳送至遠(yuǎn)程控制中心成為可能，這就可以通過廣域控制器對電力系統(tǒng)進(jìn)行協(xié)調(diào)控制[1]。但是，電網(wǎng)廣域監(jiān)測系統(tǒng)(Wide area measurement system, WAMS)的應(yīng)用將電力系統(tǒng)變成了一個(gè)時(shí)滯系統(tǒng)，各類廣域控制信道中難免存在時(shí)滯，直接影響到電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，研究電力系統(tǒng)所能承受的時(shí)滯穩(wěn)定裕度是很有意義的。此外，為了保證電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，研究電力系統(tǒng)時(shí)滯鎮(zhèn)定器的設(shè)計(jì)也具有非常重要的意義。

文章基于常時(shí)滯電力系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上，建立了時(shí)變時(shí)滯(即時(shí)滯不確定)電力系統(tǒng)模型，構(gòu)建新的增廣LK泛函，應(yīng)用文獻(xiàn)[21]中Bessel-Legendre不等式估計(jì)該泛函的導(dǎo)數(shù)，以改善時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)的最大時(shí)滯上界。再應(yīng)用參數(shù)調(diào)整法[22]進(jìn)行時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)，通過典型二階時(shí)滯系統(tǒng)和單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證、模型仿真，證明了文章方法的實(shí)用性和優(yōu)越性。

2 系統(tǒng)模型

在進(jìn)行時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時(shí)，通常建立簡單的系統(tǒng)模型，達(dá)到對系統(tǒng)基本性能和概念的理解。本文主要從單機(jī)無窮大系統(tǒng)著手研究，以此為基礎(chǔ)，從而可以分析更加復(fù)雜的大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。

單機(jī)無窮大系統(tǒng)模型主要由一個(gè)發(fā)電機(jī)組(原動(dòng)機(jī)、發(fā)電機(jī)以及勵(lì)磁系統(tǒng)等)、變壓器、輸電線路以及理想化的無窮大母線端構(gòu)成。單機(jī)無窮大系統(tǒng)簡化模型見圖1。

圖1 單機(jī)無窮大系統(tǒng)

本節(jié)主要討論三階矩陣模型的單機(jī)無窮大電力系統(tǒng)，常用的模型方程如下

其中

發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓為

其中

文章討論基于自動(dòng)電壓調(diào)節(jié)勵(lì)磁控制系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒性，假定在機(jī)組電壓測量時(shí)存在時(shí)滯，得到下列狀態(tài)方程

式(7)轉(zhuǎn)變?yōu)橄铝袝r(shí)變時(shí)滯線性電力系統(tǒng)模型

考慮給系統(tǒng)設(shè)計(jì)反饋控制器

3 穩(wěn)定判據(jù)

為了得到文章定理判據(jù)，下面介紹幾種引理。

引理1[21]：定義是在區(qū)間[,]?R上的可導(dǎo)函數(shù)，對于適當(dāng)維數(shù)實(shí)對稱矩陣＞0，任意適當(dāng)維數(shù)矩陣，有積分不等式(11)成立

其中

為得到文章的判據(jù)，首先定義向量、矩陣如下

=1, 2

基于Bessel-Legendre不等式并結(jié)合自由權(quán)矩陣方法，得到時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)如下。

證明：根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論，構(gòu)建新的增廣型LK泛函如下

由引理1得

對于適當(dāng)維數(shù)任意矩陣，有以下等式成立

考慮到適當(dāng)維數(shù)任意矩陣(=1, 2, 3)，有以下等式成立

結(jié)合式(16)～(20)，得

4 控制器設(shè)計(jì)

4.1 無記憶反饋控制器設(shè)計(jì)

式中，表示適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

其中

其他各項(xiàng)參考定理1。

4.2 有記憶反饋控制器設(shè)計(jì)

式中，表示適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

其中

其他各項(xiàng)參考定理2。

5 算例分析

5.1 典型二階系統(tǒng)

常見的二階系統(tǒng)如下所示

若使用無記憶狀態(tài)反饋控制器鎮(zhèn)定時(shí)，所得時(shí)滯穩(wěn)定裕度為h=0.691 6 s，此時(shí)控制器的反饋增益[K1]= [0.598 8-2.208 3]，圖2為該系統(tǒng)狀態(tài)變量響應(yīng)曲線。

若使用有記憶狀態(tài)反饋控制器鎮(zhèn)定時(shí)，所得時(shí)滯穩(wěn)定裕度為=0.691 6 s，此時(shí)控制器的反饋增益如下，此時(shí)的狀態(tài)變量響應(yīng)曲線如圖3所示。

通過對比文獻(xiàn)[23]獲得的時(shí)滯上界=0.656 9 s，體現(xiàn)出所提方法有一定的優(yōu)越性。雖然無記憶控制器和有記憶控制器求得的最大時(shí)滯上界相同，但是可以從圖2、3中看出，有記憶反饋控制器在收斂速度上明顯優(yōu)于無記憶控制器。

5.2 單機(jī)無窮大系統(tǒng)

考慮單機(jī)無窮大系統(tǒng)時(shí)，參照文獻(xiàn)[23]，系統(tǒng)矩陣參數(shù)、1和分別為

若使用無記憶狀態(tài)反饋控制器鎮(zhèn)定時(shí)，所得時(shí)滯穩(wěn)定裕度為=0.143 2 s，此時(shí)控制器的反饋增益圖4為該系統(tǒng)狀態(tài)變量響應(yīng)曲線。

若使用有記憶狀態(tài)反饋控制器鎮(zhèn)定時(shí)，所得時(shí)滯穩(wěn)定裕度為=0.143 2 s，此時(shí)控制器的反饋增益如下，此時(shí)的狀態(tài)變量響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖5 有記憶控制器作用下的系統(tǒng)仿真結(jié)果

通過對比文獻(xiàn)[23]的時(shí)滯上界=0.140 7 s，體現(xiàn)出所提方法有一定的優(yōu)越性。

當(dāng)取0.1 s/0.01 s/0.001 s時(shí)，在無記憶控制器作用下，求得控制器增益參數(shù)見表1，單機(jī)無窮大系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖6所示。

表1 不同h值下的無記憶控制器參數(shù)

圖6 不同h值下無記憶控制器作用下的仿真結(jié)果

當(dāng)取0.1 s/0.01 s/0.001 s時(shí)，在有記憶控制器作用下，求得控制器增益參數(shù)見表2，單機(jī)無窮大系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖7所示。

表2 不同h值下的有記憶控制器參數(shù)

由圖6、7可知，在單機(jī)無窮大系統(tǒng)中，無論是記憶狀態(tài)反饋控制器還是有記憶狀態(tài)反饋控制器，在不同時(shí)滯中的鎮(zhèn)定控制效果差異不大。

圖7 不同h值下有記憶控制器作用下的仿真結(jié)果

由圖8可知，在=0.143 2 s時(shí)，有記憶狀態(tài)反饋控制器和無記憶狀態(tài)反饋控制器對系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制作用幾乎相同；但是沒有控制器作用時(shí)，單機(jī)無窮大系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

圖8 有控制器與無控制器的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

6 結(jié)論

(1) 建立了時(shí)變時(shí)滯(即時(shí)滯不確定)電力系統(tǒng)模型，考慮時(shí)滯情況比較全面。

(2) 通過構(gòu)建合適的增廣Lyapunov泛函，應(yīng)用Bessel-Legendre不等式處理泛函導(dǎo)數(shù)中的積分項(xiàng)，大大提高了時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)的時(shí)滯上界。

(3) 再應(yīng)用參數(shù)調(diào)整法進(jìn)行時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)無記憶和有記憶魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)，通過分析和比較，兩種實(shí)例驗(yàn)證、模型仿真證明了文章方法的優(yōu)越性和實(shí)用性。

[1] MEESSINA A R. Inter-area oscillations in power systems[M]. New York：Springer，2009.

[2] ZHANG X M，HAN Q L. State estimation for static neural networks with time-varying delays based on an improved reciprocally convex inequality[J]. IEEE Trans. Neural Netw. Learn Syst.，2018，29(4)：1376-1381.

[3] 賈宏杰，謝星星，余曉丹. 考慮時(shí)滯影響的電力系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定域[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2006，30(21)：1-5.

JIA Hongjie，XIE Xingxing，YU Xiaodan. Power system small signal stability region with time delay considered[J]. Automation of Electric Power Systems，2006，30(21)：1-5.

[4] 賈宏杰，陳建華，余曉丹. 時(shí)滯環(huán)節(jié)對電力系統(tǒng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性的影響[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2006，30(5)：5-8，17.

JIA Hongjie，CHEN Jianhua，YU Xiaodan. Impact of time delay on power system small signal stability[J]. Automation of Electric Power Systems，2006，30(5)：5-8，17.

[5] 賈宏杰，尚蕊，張寶貴. 電力系統(tǒng)時(shí)滯穩(wěn)定裕度求解方法[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2007，31(2)：5-11.

JIA Hongjie，SHANG Rui，ZHANG Baogui. Computation of delay stability margin of electric power systems[J]. Automation of Electric Power Systems，2007，31(2)：5-11.

[6] 賈宏杰，安海云，余曉丹. 電力系統(tǒng)改進(jìn)時(shí)滯依賴型穩(wěn)定判據(jù)[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2008，32(19)：15-19.

JIA Hongjie，AN Haiyun，YU Xiaodan. An improved delay-dependent stability criteria for power system with multiple time delays[J]. Automation of Electric Power Systems，2008，32(19)：15-19.

[7] ZENG H B，HE Y，WU M，et al. New results on stability analysis for systems with discrete distributed delay[J]. Automatica，2015，60(10)：189-192.

[8] WU M，HE Y，SHE J H. New delay-dependent stability criteria and stabilizing method for neutral systems[J]. IEEE Trans. on Automatic Control，2004，49(12)：2266-2271.

[9] PARK P G，KO J W. Stability and robust stability for systems with a time-varying delay[J]. Automatica，2007，43(10)：1855-1858.

[10] 賈宏杰，安海云，余曉丹. 電力系統(tǒng)時(shí)滯依賴型魯棒穩(wěn)定判據(jù)及其應(yīng)用[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2010，34(3)：6-11.

JIA Hongjie，AN Haiyun，YU Xiaodan. A delay-dependent robust stability criterion for power system amd its application[J]. Automation of Electric Power Systems，2010，34(3)：6-11.

[11] 董朝宇，賈宏杰，姜懿郎. 含積分二次型的電力系統(tǒng)改進(jìn)時(shí)滯穩(wěn)定判據(jù)[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2015，39(24)：35-40．

DONG Chaoyu，JIA Hongjie，JIANG Yilang. Time-delay stability criteria for power system with integral quadratic from[J]. Automation of Electric Power Systems，2015，39(24)：35-40.

[12] 李曉萌，賈宏杰. 電力系統(tǒng)改進(jìn)時(shí)滯依賴型魯棒穩(wěn)定判據(jù)[J]. 電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2018，30(4)：114-120.

LI Xiaomeng，JIA Hongjie. Improved time-delay- dependent robust stability criteria for power system[J]. Proceedings of the CSU-EPSA，2018，30(4)：114-120.

[13] 李寧，孫永輝，衛(wèi)志農(nóng)，等. 基于Wirtinger不等式的電力系統(tǒng)延時(shí)依賴穩(wěn)定判據(jù)[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2017，41(2)：108-113.

LI Ning，SUN Yonghui，WEI Zhinong，et al. Delay-dependent stability criteria for power system based on Wirtingers intergral inequality[J]. Automation of Electric Power Systems，2017，41(2)：108-113.

[14] 孫永輝，李寧，衛(wèi)志農(nóng)，等. 多時(shí)滯不確定電力系統(tǒng)的改進(jìn)時(shí)滯依賴魯棒穩(wěn)定判據(jù)[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2017，41(16)：117-122.

SUN Yonghui，LI Ning，WEI Zhinong，et al. Improved robust delay-dependent stability crriteria for power systems with multiple time delays and uncertain parameters[J]. Automation of Electric Power Systems，2017，41(16)：117-122.

[15] 孫勇，李志民，于繼來. 基于最小熵H控制的降階電力系統(tǒng)穩(wěn)定器設(shè)計(jì)[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，40(2)：523-528.

SUN Yong，LI Zhiming，YU Jilai. Design of reduced-order power system stabilizer based on minimum entropyHtheory[J]. Journal of Jilin Unversity，2010，40(2)：523-528.

[16] 石頡，王成山. 基于線性矩陣不等式理論的廣域電力系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)[J]. 電網(wǎng)技術(shù)，2008，32(6)：36-41.

SHI Jie，WANG Chengshan. Design of state feedback controller for wide-area power system based on linear matrix inequalities theory[J]. Power System Technology，2008，32(6)：36-41.

[17] 俞立. 魯棒控制：線性矩陣不等式處理方法[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2002.

YU Li. Robust control：Linear matrix inequality approach[M]. Beijing：Tsinghua University Press，2002.

[18] QI J，JIANG Q Y，WANG G Z，et al. Wide-area time-delay robust damping control for power system[J]. European Trans. on Electrical Power，2009，19(7)：899-910.

[19] 袁金鵬，王秀明，姜志國. 基于LMI的電力系統(tǒng)廣域附加阻尼控制[J]. 東北電力大學(xué)學(xué)報(bào)，2009(4)：50-54.

YUAN Jinpeng，WANG Xiuming，JIANG Zhiguo. Design of additional damped controller using LMI in power system[J]. Journal of Northeast Electric Power University，2009(4)：50-54.

[20] SOLIMAN A H，ELSHAFEI A L，BENDARY F，et al. LMI static output-feedback design of fuzzy power system stabilizers[J]. Expert Systems with Applications，2009，36(3)：6817-6825.

[21] ZHANG X M，HAN Q L，SEURET A，et al. Overview of recent advances in stability of liner systems with time-varying delay[J]. IET Control Theory and Applications，2019，13(1)：1-16.

[22] BOYD S，GHAOUI L，F(xiàn)ERON E，et al. Linear matrix inequalities in system and control theory[M]. Philadelphia：SIAM，1994.

[23] 王真. 廣域測量時(shí)變時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制[D]. 株洲：湖南工業(yè)大學(xué)，2019.

WANG Zhen. Wide-area measurement of time-varying delay power system stability analysis and control[D]. Zhuzhou：Hunan University of Technology，2019.

Robust Stabilization Controller Design for Power Systems with Time Varying Delay

SHEN Li1SHEN Yuan2ZHOU Hao2

(1. Municipal Planning and Engineering Design Institute of Jiangsu Provincial Planning and Design Group, Nanjing 210036;2. The 28thResearch Institute of China Electronics Technology Group Corporation, Nanjing 210007)

For the uncertain time-delay systems, the uncertain time-delay power system model is established based on the constant time-delay power system model. By using Bessel-Legendre inequality method to deal with the integral term in the derivative of the new augmented Lyapunov-Krasovskii functional, an uncertain delay stability criterion with less conservativeness is obtained. Compared with the existing literature, the superiority of the proposed method is verified. According to the obtained stability criteria, the memoryless feedback controller and the feedback controller with memory are designed by parameter adjustment method and LMI technology. The stabilization of the controllers is verified by the analysis of the typical second-order delay system and the single machine infinite bus system.

Power systems；time-varying delay；robust controller

10.11985/2021.04.022

TM712

20201228收到初稿，20211101收到修改稿

沈力，男，1992年生，碩士，工程師。主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)穩(wěn)定性、市政電力規(guī)劃。E-mail：18219920108@163.com

沈媛(通信作者)，女，1989年生，碩士，工程師。主要研究方向?yàn)樾畔⑾到y(tǒng)總體與集成技術(shù)。E-mail：shenyuan1989@126.com

周浩，男，1989年生，碩士，工程師。主要研究方向?yàn)樾盘柵c信息系統(tǒng)、系統(tǒng)集成方向。E-mail：563361587@qq.com