司 輝, 鄭永愛

(揚州大學(xué)信息工程學(xué)院, 江蘇 揚州 225127)

分數(shù)階微積分已有300多年的歷史, 但直到近幾十年分數(shù)階微積分才廣泛應(yīng)用于物理工程,生物工程和電磁波等．與整數(shù)階微積分相比,分數(shù)階微積分更能準(zhǔn)確地描述非線性系統(tǒng)．人們發(fā)現(xiàn)許多由分數(shù)階微分方程描述的非線性系統(tǒng)會呈現(xiàn)混沌和超混沌狀態(tài), 如分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)[1]、分數(shù)階Liu系統(tǒng)[2]、分數(shù)階Rossler系統(tǒng)[3]、分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)[4]、分數(shù)階Chua電路[5]和分數(shù)階Lü系統(tǒng)[6]等．隨著對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的深入研究, 人們發(fā)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步在保密通信和金融系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景,而一些分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步方式也相繼被提出,如完全同步[7]、投影同步[8]、廣義同步[9]、反相同步[10]和延遲同步[11]等．

多個混沌系統(tǒng)的同步近年來也被人們所關(guān)注,一般有單個驅(qū)動系統(tǒng)與多個響應(yīng)系統(tǒng)的同步和多個驅(qū)動系統(tǒng)與單個響應(yīng)系統(tǒng)的同步兩種模式．Chen等[12-13]研究了多個混沌系統(tǒng)的投影同步,設(shè)計了相應(yīng)的控制器來實現(xiàn)單個驅(qū)動系統(tǒng)與多個響應(yīng)系統(tǒng)的投影同步．組合同步是多個混沌系統(tǒng)同步方式中的一種典型同步方式,可以增加系統(tǒng)同步的復(fù)雜性,增強通信的保密性．Khan等[14]利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,從超混沌復(fù)系統(tǒng)的誤差狀態(tài)漸近穩(wěn)定出發(fā),導(dǎo)出了自適應(yīng)控制律和參數(shù)更新律,實現(xiàn)了超混沌復(fù)系統(tǒng)的組合-組合投影同步,但未考慮混沌系統(tǒng)中可能存在的外部干擾;方潔等[15]應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和滑?？刂品椒?設(shè)計了相應(yīng)的滑模面和控制器,實現(xiàn)了兩個驅(qū)動系統(tǒng)與多個響應(yīng)系統(tǒng)的組合函數(shù)投影同步,但系統(tǒng)中未考慮不確定項且存在的擾動上界是已知的．目前,現(xiàn)有的多個混沌系統(tǒng)的組合同步多應(yīng)用于整數(shù)階混沌系統(tǒng)中,對分數(shù)階多個混沌系統(tǒng)組合同步尚未見報道．本文擬討論含有不確定項和外部擾動的多個分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)和單個分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)的組合同步,利用分數(shù)階Barbalat引理和李雅普諾夫理論,設(shè)計一類新型的分數(shù)階自適應(yīng)滑?？刂破?并通過理論證明和數(shù)值仿真驗證所設(shè)計的自適應(yīng)滑?？刂破鞯目尚行院陀行裕?/p>

1 預(yù)備知識

1) 當(dāng)且僅當(dāng)對矩陣A的任意特征值|arg(eig(A))|>απ/2恒成立,系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;

2) 當(dāng)且僅當(dāng)對矩陣A的任意特征值|arg(eig(A))|≥απ/2恒成立,系統(tǒng)是穩(wěn)定的．

引理4若‖·‖1和‖·‖分別為Rn上的1-范數(shù)和2-范數(shù), 則存在正常數(shù)ε和ε′使得ε‖x‖≤‖x‖1≤ε′‖x‖,?x∈Rn．

2 系統(tǒng)描述

基于自適應(yīng)滑?？刂?本文設(shè)計含有不確定項和外部擾動的多個分數(shù)階混沌系統(tǒng)的組合同步,且該組合同步由N-1個分數(shù)階混沌驅(qū)動系統(tǒng)和單個分數(shù)階混沌響應(yīng)系統(tǒng)組成．N-1個分數(shù)階混沌驅(qū)動系統(tǒng)為

(1)

其中xj(t)=[xj1(t),xj2(t),…,xjn(t)]T是驅(qū)動系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量,fj(xj(t))=[fj1(xj(t)),fj2(xj(t)),…,fjn(xj(t))]T為連續(xù)非線性函數(shù), Δfj(xj(t))=[Δfj1(xj(t)),Δfj2(xj(t)),…,Δfjn(xj(t))]T為驅(qū)動系統(tǒng)(1)的不確定項,mj(t)=[mj1(t),mj2(t),…,mjn(t)]T為驅(qū)動系統(tǒng)(1)的外部擾動．而單個受控分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)可以描述為

(2)

其中xN(t)=[xN1(t),xN2(t),…,xNn(t)]T為分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量,fN(xN(t))=[fN1(xN(t)),fN2(xN(t)),…,fNn(xN(t))]T為分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)的非線性連續(xù)函數(shù), ΔfN(xN(t))=[ΔfN1(xN(t)), ΔfN2(xN(t)),…,ΔfNn(xN(t))]T為分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)(2)的不確定項,mN(t)=[mN1(t),mN2(t),…,mNn(t)]T為分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)(2)的外部干擾,U(t)=[u1(t),u2(t),…,un(t)]T為待設(shè)計的控制器．

根據(jù)系統(tǒng)(1)和(2), 不確定多分數(shù)階系統(tǒng)可以重寫為以下N-1個驅(qū)動系統(tǒng)

(3)

和一個受控響應(yīng)系統(tǒng)

(4)

定義1根據(jù)系統(tǒng)(3)和(4), 定義同步誤差e(t)=xN(t)-xN-1(t)-…-x1(t), 其中e(t)=[e1(t),e2(t),…,en(t)]．若對任意初始值xN(0)和xj(0), 滿足limt→∞‖e(t)‖=0, 則稱多個分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)(3)與單個分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)(4)實現(xiàn)組合同步．

根據(jù)系統(tǒng)(3)和(4), 誤差系統(tǒng)可表示為

(5)

顯然, 系統(tǒng)(3)和系統(tǒng)(4)組合同步的問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)t→∞時誤差系統(tǒng)(5)的零解穩(wěn)定性問題．

3 自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計

3.1 滑模面設(shè)計

設(shè)計如下的分數(shù)階積分滑模面:

(6)

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運動時, 滑模面滿足:

(7)

3.2 控制器設(shè)計

假設(shè)1假設(shè)系統(tǒng)(1)和(2)中的不確定項Δfji(xj(t))和外部干擾mji(t)都有界, 即

|ΔfNi(xj(t))-Δf(N-1)i(xj(t))-…-Δf1i(x1(t))|≤ai,
|mNi(t)-m(N-1)i(t)-…-m1i(t)|≤bi,

(8)

其中ai>0,bi>0為未知有界常數(shù)．

要使誤差系統(tǒng)軌跡到達滑模面并且穩(wěn)定在滑模面上, 須設(shè)計一個控制器ui(t)來實現(xiàn), 故設(shè)計控制器為

(9)

其中ki>0為滑?？刂破鞯目刂圃鲆妫?/p>

自適應(yīng)律為

(10)

定理1對于誤差系統(tǒng)(5), 根據(jù)所設(shè)計的控制器(9)和自適應(yīng)律(10),可使誤差系統(tǒng)(5)的運動軌跡到達并穩(wěn)定在滑模面上,即受控的誤差系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的,從而實現(xiàn)了多個分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)和單個分數(shù)階響應(yīng)系統(tǒng)的組合同步．

4 數(shù)值仿真

為了說明本文設(shè)計的自適應(yīng)滑模控制器的有效性, 仿真研究了響應(yīng)系統(tǒng)分別與兩個驅(qū)動系統(tǒng)或三個驅(qū)動系統(tǒng)進行組合同步．

4.1 分數(shù)階Chen、Liu和Lü系統(tǒng)的組合同步

考慮分數(shù)階Chen和Liu系統(tǒng)為兩個驅(qū)動系統(tǒng), 分數(shù)階Lü系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)．帶有不確定項和外部擾動的分數(shù)階Chen混沌系統(tǒng)

其中, 當(dāng)a1=35,b1=27,c1=3時, 系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．不確定項[Δf11(x1(t)), Δf12(x1(t)), Δf13(x1(t))]=[0.2sinx11,0.2sinx12, 0.2 sinx13], 外部擾動[m11(t),m12(t),m13(t)]=[-0.1sin(10t), -0.1sin(20t), 0.2sin(20t)]．

帶有不確定項和外部擾動的分數(shù)階Liu混沌系統(tǒng):

其中, 當(dāng)a2=10,b2=40,c2=2.5,d2=4時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．不確定項[Δf21(x2(t)), Δf22(x2(t)),Δf23(x2(t))]=[0.3sinx21, 0.3sinx22, 0.3sinx23],外部干擾[m21(t),m22(t),m23(t)]=[-0.2sin(10t),-0.2sin(10t),0.4sin(20t)]．

帶有不確定項和外部擾動的受控分數(shù)階Lü混沌系統(tǒng):

其中, 當(dāng)a3=36,b3=20,c3=3時, 系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．不確定項[Δf31(x3(t)),Δf32(x3(t)), Δf33(x3(t))]=[0.5sin πx31, 0.5sin πx32, 0.5sin πx33], 外部干擾為[m31(t),m32(t),m33(t)]=[0.3cost,0.3cost,0.3cost]．

定義同步誤差為e1=x31-x21-x11,e2=x32-x22-x12,e3=x33-x23-x13,可以得到誤差系統(tǒng)為

設(shè)計自適應(yīng)滑?？刂破鳛?/p>

圖1 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)間同步的誤差狀態(tài)曲線Fig.1 The error state curve of synchronization between the driving system and the response system

圖2 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線Fig.2 The state curve of the driving system and the response system

4.2 分數(shù)階Chen、Liu、Lü和Rossler系統(tǒng)的組合同步

響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計為帶有不確定項和外部干擾的受控分數(shù)階Rossler混沌系統(tǒng)

定義同步誤差e1=x41-x31-x21-x11,e2=x42-x32-x22-x12,e3=x43-x33-x23-x13,得到誤差系統(tǒng)

設(shè)計自適應(yīng)滑?？刂破?/p>

圖3 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)間同步的誤差狀態(tài)曲線Fig.3 The error state curve of synchronization between the driving system and the response system

圖4 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.4 The state curve of the driving system and the response system

5 結(jié)論

本文基于李雅普諾夫理論和分數(shù)階Barbalat引理,設(shè)計了一種具有較強魯棒性的新型分數(shù)階自適應(yīng)滑?？刂破?實現(xiàn)了含有不確定項和外部擾動的多個分數(shù)階混沌系統(tǒng)的組合同步,并對系統(tǒng)的未知參數(shù)和擾動進行了估計．最后通過兩組分數(shù)階多混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真,驗證了所設(shè)計控制器的有效性和魯棒性．與整數(shù)階多混沌系統(tǒng)的組合同步相比,本文所研究的分數(shù)階多混沌系統(tǒng)的組合同步更具有一般性,同時在保密通信中有較大的應(yīng)用價值．