石桑俐, 金重放, 王正新,b*, 肖敏

(南京郵電大學a. 理學院; b. 江蘇省物聯(lián)網智能機器人工程實驗室; c. 自動化學院、人工智能學院, 南京 210023)

近年來,由于復雜網絡系統(tǒng)在工程問題中的大量潛在應用,來自數(shù)學、控制工程、計算機科學和物理學等多個領域的研究人員對復雜網絡系統(tǒng)的群體行為進行了廣泛的研究．Yang等[1]研究了一類二階非線性多智能體系統(tǒng)的自適應事件觸發(fā)一致性控制問題; 王春彥等[2]研究了一類分數(shù)階金融超混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步問題;邵克勇等[3]研究了分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的RBF神經網絡自適應同步控制問題．其中,耦合諧振子的協(xié)調控制因其在許多現(xiàn)代化工業(yè)生產系統(tǒng)(如移動機器人和電氣網絡)中都發(fā)揮著重要的作用,引起了研究者極大的興趣,人們從不同角度為諧振子系統(tǒng)設計了許多同步(synchronization)或一致性(consensus)控制策略,取得了豐碩的成果．Xu等[4]基于事件觸發(fā)控制采用兩種不同的方法研究了異步間歇通信耦合諧振子的同步問題; Wang等[5]分別利用連續(xù)的實時信息和非周期的采樣信息研究了異質耦合諧振子網絡的擬同步問題．但在許多現(xiàn)實系統(tǒng)中,如社會網絡系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等,合作和競爭的關系是并存的,因而網絡系統(tǒng)中的個體間也不應僅僅存在合作關系,還應存在競爭關系．當合作和競爭關系共存時,網絡系統(tǒng)在整體上就會呈現(xiàn)出較為復雜的行為特征,具有極大的研究價值．在這種情況下,二分同步(bipartite synchronization)的概念被提出,二分同步意味著系統(tǒng)中所有個體的狀態(tài)最終能達成大小相同但符號可能相反的一致．二分同步概念有著重要的實際作用,如無人機的雙向飛行、社交網絡中的敵友關系等,也正是因為二分同步問題具有傳統(tǒng)的一致性控制問題所不具備的內在優(yōu)勢,激發(fā)了研究者的興趣．關于二分同步的研究可以分為無領導者[6-8]和有領導者[9-11]兩類．在無領導者網絡系統(tǒng)的二分同步中,個體的狀態(tài)往往收斂到與初值有關的某個量或該量的相反值;而在有領導者的網絡系統(tǒng)中,跟隨者的狀態(tài)通常收斂到領導者的狀態(tài)或其相反值．事實上,有領導者在現(xiàn)實系統(tǒng)中比較常見,如鳥群遷徙中的領頭鳥,無人機編隊飛行中的領航機等．領導者在克服外部環(huán)境干擾、提高工作效率等方面都發(fā)揮著十分重要的作用; 因此,研究具有領導者的網絡系統(tǒng)二分同步問題既有理論意義也有實際應用價值．Ma等[9]在系統(tǒng)存在測量噪聲的情況下研究了帶領導者多智能體系統(tǒng)的二分同步問題,引入了一個時變一致性增益函數(shù)處理噪聲; Wang等[10]研究了受外部干擾的帶領導者非線性高階多智能體系統(tǒng)的二分同步問題; Bhowmick等[11]研究了受有界擾動的未知線性多智能體系統(tǒng)的領導跟隨二分同步問題．

借助于高速計算機、現(xiàn)代控制系統(tǒng)和信號處理技術,僅使用離散時刻的采樣信息在信號傳輸和控制設計中被廣泛應用．同時, 在實際情況下, 基于采樣信息的控制器可以節(jié)約能源和降低通信成本,因此,設計基于采樣信息的控制策略更為合理．許多動態(tài)網絡的同步研究都以采樣信息作為網絡個體間信息傳遞的主要形式,但基于采樣信息的測量值通常不可避免地會被各種不確定性因素產生的噪聲所干擾,從而影響網絡系統(tǒng)個體間的通信,因此,在研究采樣控制問題時也有必要考慮測量噪聲．Ma[12]和Wang[13]等分別利用含有噪聲的采樣數(shù)據(jù)研究了二分同步和同步問題．值得注意的是,目前在利用含有噪聲的采樣信息研究帶領導者耦合諧振子系統(tǒng)二分同步問題方面所做的工作還很少,這激發(fā)了筆者研究噪聲干擾下基于采樣機制的帶領導者耦合諧振子系統(tǒng)二分同步問題．本文設計了一個僅需在離散時刻交換含有噪聲速度信息的二分同步控制策略,使帶領導者的耦合諧振子系統(tǒng)實現(xiàn)二分同步,擬借助脈沖微分方程、矩陣理論等工具,證明在滿足一定條件的情況下,基于采樣機制能實現(xiàn)噪聲干擾下帶領導者耦合諧振子系統(tǒng)的二分同步,并給出判據(jù)．

因在有向數(shù)據(jù)流下采樣成本較小, 故文中的通信拓撲是有向的．文中使用的符號為:1N表示N維元素全是1的列向量;ON,IN分別表示N階零矩陣和單位矩陣;E{ζ}表示隨機變量ζ的期望;ρ(A)表示A的譜半徑;x?y表示x被定義成另一個名字y; 對于兩個N階方陣A,B而言,A≤B意味著A-B是半負定的．

1 預備知識

如果v可被分為v1,v2且滿足v1∪v2=v,v1∩v2=?, 其中akl≥0, ?k,l∈vs(s∈{1,2});akl<0, ?k∈vs,l∈vm,s≠m(s,m∈{1,2}), 則稱g是結構平衡的, 否則是結構不平衡的[9]．

2 問題描述

考慮由N+1個諧振子組成的耦合系統(tǒng), 記為{0,1,…,N},諧振子0代表領導者,其動力學方程為

(1)

其余N個諧振子(跟隨者)的動力學方程為

(2)

其中ri(t),vi(t)∈R分別代表第i個諧振子的位置和速度狀態(tài),ui(t)是基于諧振子i從其自身和其鄰居節(jié)點中獲得的信息而設計的控制策略,α是正常數(shù),i=1,2,…,N．本文目標是設計一個合適的控制策略, 使得由式(1)和(2)描述的系統(tǒng)能實現(xiàn)均方二分同步．

對于第i個諧振子, 給出如下二分同步控制策略:

(3)

定義1對于具有領導者的耦合諧振子系統(tǒng)(1)和(2), 若在控制策略ui(t)作用下, 對ri(t),vi(t)的任意初值都存在Ψ=(φ1,φ2,…,φN)T∈RN(φi∈{±1},i=1,2,…,N)滿足limt→∞E{‖ri(t)-φir0(t)‖2}=0和limt→∞E{‖vi(t)-φiv0(t)‖2}=0, 則稱系統(tǒng)(1)和(2)實現(xiàn)了領導-跟隨者均方二分同步．

注1由定義1可知,耦合諧振子系統(tǒng)實現(xiàn)領導跟隨者均方二分同步是指在控制策略作用下系統(tǒng)中所有跟隨者的狀態(tài)最終均方收斂到領導者的狀態(tài)或領導者狀態(tài)的相反值．

下面給出本文的兩個假設:

(H2) 符號有向圖g=(v,.ε,A)是強連通的．

注2基于假設(H2)以及條件“至少存在一個di> 0”, 本文確保了系統(tǒng)中每個諧振子都能直接或者間接地接受到來自領導者的信息．

3 主要結果

證明 受文獻[13]的啟發(fā), 基于控制策略(3),系統(tǒng)(1)和(2)可改寫成脈沖微分方程

(4)

(5)

其中e(t)=[e1(t),e2(t),…,eN(t)]T,s(t)=[s1(t),s2(t),…,sN(t)]T,Φ=diag(φ1,φ2,…,φN)．結合式(4)和(5),得誤差系統(tǒng)

(6)

其中D=diag(d1,d2,…,dN),由脈沖微分方程理論[14]可得系統(tǒng)解為

其中初始值[e(0),s(0)]T=[r(0)-r0(0)Φ1N,v(0)-v0(0)Φ1N]T,

(7)

類似于文獻[13]的方法可得其協(xié)方差陣

類似于文獻[13,15]的計算,可得

注3模型(4)可以僅基于諧振子和其鄰居在離散時刻的速度信息就能解決測量噪聲下的二分同步問題,不需要精確而連續(xù)的位置和速度信息．

注4本文耦合系統(tǒng)的通信拓撲是一個有向圖,其拉普拉斯矩陣不具有對稱性,且系統(tǒng)中諧振子之間既存在合作也存在競爭,拉普拉斯矩陣的行和不再為0,所以不能直接借助拉普拉斯矩陣的特征值和特征向量分析二分同步問題,但文中巧妙利用LΦ=0這一特性,并借助奇異值分解分析解決了耦合諧振子系統(tǒng)的二分同步問題．

4 仿真結果

圖1 網絡拓撲圖

圖2 跟蹤誤差ei (a)和si (b)的軌跡Fig.2 Trajectories of tracking errors ei (a) and si (b)

圖3 位置(a)和速度狀態(tài)(b)的軌跡Fig.3 Trajectories of position (a) and velocity states (b)

5 結論

基于采樣信息研究了噪聲干擾下含領導者耦合諧振子系統(tǒng)的二分同步問題．結合采樣控制和牽制控制,提出了一種僅需在離散時刻交換速度信息的二分同步控制策略．進一步地,通過應用脈沖微分方程和矩陣理論,給出了該耦合諧振子系統(tǒng)實現(xiàn)二分同步的充分判據(jù)．仿真結果表明了二分同步控制策略和理論結果的有效性．今后的研究將進一步考慮當通信拓撲發(fā)生切換時,如何設計有效的控制策略以實現(xiàn)跟隨者與領導者的二分同步．