陳君昊 程 驊 劉惠康 盛道清

(武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 武漢430080)

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和工業(yè)過程控制的快速發(fā)展,在一些實(shí)際工程領(lǐng)域中多維變量系統(tǒng)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛,如機(jī)械故障檢測(cè)、板材成形、衛(wèi)星云圖、地震數(shù)據(jù)處理和圖像處理等領(lǐng)域[1-2]。二維離散時(shí)間系統(tǒng)作為一個(gè)典型的例子,已經(jīng)成為一個(gè)重要的研究課題,引起了廣泛關(guān)注。到目前為止,已經(jīng)提出了幾種不同的二維狀態(tài)空間模型。其中Fornasini-Marchesini II(F-M II)模型被認(rèn)為是最普遍的模型,它涵蓋了其他模型的特殊情況。且F-M II 模型也已經(jīng)取得了豐碩的成果,特別是在穩(wěn)定性和可觀性、濾波和估計(jì)以及控制器設(shè)計(jì)等問題上[3]。

多維系統(tǒng)的另一個(gè)重要研究方向是實(shí)現(xiàn)問題,即通過確定的多維狀態(tài)空間模型來(lái)實(shí)現(xiàn)給定的有理傳遞函數(shù)或狀態(tài)矩陣[4]。與一維系統(tǒng)不同,通常n維(n≥2)系統(tǒng)的最小狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)很難獲得。為了分析多維系統(tǒng),就必須解決實(shí)現(xiàn)問題,最常用的解決方法是使用規(guī)范形式獲得低階實(shí)現(xiàn)矩陣。但基于規(guī)范形式的方法大多只能給出系統(tǒng)的一種可能實(shí)現(xiàn),通常情況下系統(tǒng)有很多解[5]。與規(guī)范形式不同,圖論方法可以直接從特定結(jié)構(gòu)中獲得系統(tǒng)的一組最小狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。比如,文獻(xiàn)[6]的圖論方法用一系列的二項(xiàng)式有向圖構(gòu)造系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)矩陣,但這種方法不適用于多維多輸入多輸出(multiple-input multiple-output,MIMO)系統(tǒng),且目前沒有在F-M II模型中使用。

本文結(jié)合多維圖論和F-M II 狀態(tài)空間模型之間的聯(lián)系,提出了一種二維多輸入多輸出F-M II 模型實(shí)現(xiàn)矩陣求解的新方法,該方法將文獻(xiàn)[6]的一維實(shí)現(xiàn)方法擴(kuò)展到二維系統(tǒng),然后提出了多維MIMO 系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法。該算法與規(guī)范形式實(shí)現(xiàn)方法相比,實(shí)現(xiàn)過程更加清晰直觀,獲得實(shí)現(xiàn)矩陣數(shù)量更多,且狀態(tài)矩陣形式便于計(jì)算機(jī)分析,為高速計(jì)算分析多維系統(tǒng)提供了新思路。

1 F-M Ⅱ狀態(tài)空間模型

二維線性系統(tǒng)的F-M II 狀態(tài)空間模型[7]為

其中,x(i1,i2)∈Rr、u(i1,i2)∈Rl和y(i1,i2)∈Rm分別是局部狀態(tài)量、輸入量和輸出量;A、B、C、D為實(shí)數(shù)矩陣;A1、A2∈Rr×r、B1、B2∈Rr×l、C∈Rm×r、r被稱作二維F-M II 模型的階數(shù)。通過系統(tǒng)模型的化簡(jiǎn),也能使用(A,B,C,D)表示,其中A?(A1,A2) 和B?(B1,B2) 表示二維系統(tǒng)。

二維離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)被表示為

其中,N(z1,z2) 表示傳遞矩陣,d(z1,z2) 表示特征多項(xiàng)式,zi表示延遲操作[8]。

對(duì)于給定的二維傳遞函數(shù)H(z1,z2),如果存在矩陣A、B、C、D使得式(2)成立,則稱其為F-M II 模型的實(shí)現(xiàn)矩陣。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(z1,z2) 中N(z1,z2) 和d(z1,z2) 都是二維多項(xiàng)式,當(dāng)d(0,0)≠0 時(shí),稱這個(gè)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。當(dāng)d(0,0)≠0 且n(0,0)=0 時(shí),稱系統(tǒng)是嚴(yán)格因果系統(tǒng)。在不失一般性的情況下,可以假設(shè)傳遞函數(shù)是嚴(yán)格因果系統(tǒng),D=H(0,0) 為零階矩陣,將最小化問題歸結(jié)為求實(shí)數(shù)矩陣的問題。如果H(z1,z2) 是因果傳遞函數(shù)但不是嚴(yán)格因果傳遞函數(shù),只需要重新定義H(z1,z2)為H(z1,z2)-H(0,0),則能得到H(z1,z2) 為嚴(yán)格因果傳遞函數(shù)[9]。

2 設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

傳遞函數(shù)H(z1,z2) 中的D為常數(shù)矩陣,在不失一般性的情況下,考慮式(2)中D為零階矩陣的傳遞函數(shù),表示為分式結(jié)構(gòu)如下。

本文考慮F-M II 模型為一種多輸入多輸出(MIMO)狀態(tài)空間模型。則式(3)中的傳遞函數(shù)可以表示為

由式(4)可知,dj(z1,z2) 和nij(z1,z2) 可以寫成如下形式:

從式(2)中可以獲得實(shí)數(shù)矩陣D。

由式(3)可以確定以下形式的嚴(yán)格因果傳遞函數(shù):

為確定二維離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)矩陣,將傳遞函數(shù)的分子和分母乘以,得到:

其中,

特征多項(xiàng)式例如在一維系統(tǒng)中一個(gè)域F ∈R,對(duì)分布于F 上的n × n矩陣A,其特征多項(xiàng)式定義由式(12)給出。對(duì)于二維離散系統(tǒng),特征多項(xiàng)式由兩個(gè)變量z1和z2組成。對(duì)于式(3)描述的離散時(shí)間系統(tǒng),特征多項(xiàng)式如式(13)所示。

有向圖理論一個(gè)有向圖D是由非空有限集V(D)和A(D)構(gòu)成。其中V(D)和A(D)分別為有向圖D的頂點(diǎn)集和弧集,頂點(diǎn)集V(D) 中每一個(gè)元素為有向圖D的頂點(diǎn),A(D) 中每一個(gè)元素為有向圖D的弧。有向圖常被簡(jiǎn)記為D=(V,A),其中V和A分別表示有向圖D的頂點(diǎn)集和弧集。有向圖D的階是D頂點(diǎn)的數(shù)目,D的階可以被直接寫作| D|;有向圖D的大小是D中弧的數(shù)目。二維有向圖D2由6 個(gè)元素組(S,V,N1,N2,B1,B2) 組成,其中S為源,V={v1,v2,…,vn} 為頂點(diǎn)的集合,N1、N2為V×V的子集,其元素分別被稱為N1弧、N2弧,同時(shí)B1、B2是S×V的子集,其元素分別被稱為B1弧、B2弧[10-11]。如果傳遞函數(shù)H(z1,z2)中的A1和A2不是零階矩陣,則存在有從頂點(diǎn)Vi到頂點(diǎn)Vj的N1、N2弧集。如果輸入矩陣B不是零階矩陣,則存在從源S到Vi的B1、B2弧集?？梢杂脤?shí)線來(lái)表示N1和B1弧,虛線表示N2和B2弧。

交集頂點(diǎn)交集頂點(diǎn)是由文獻(xiàn)[12]中給定的特征多項(xiàng)式組成的所有二項(xiàng)式有向圖的交集的頂點(diǎn)。由于問題的復(fù)雜性,在本文中討論的是這樣一種情況,即所有二項(xiàng)式有向圖的起點(diǎn)和終點(diǎn)都相交于同一交集頂點(diǎn)的情況。

引理如果滿足以下條件[13]:

(1) 特征多項(xiàng)式傳遞函數(shù)H(z1,z2) 的d(z1,z2) 滿足:di,j≥0(i=0,1…,k1;j=0,1,…,k2;=1)。

(2) 特征多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的有向圖中循環(huán)的個(gè)數(shù)等于該多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式有向圖的個(gè)數(shù)相加總和。

(3) 特征多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的有向圖中所有循環(huán)的起點(diǎn)和終點(diǎn)都相交于同一個(gè)頂點(diǎn),則能求出特征多項(xiàng)式傳遞函數(shù)H(z1,z2) 的實(shí)數(shù)矩陣A、B、C、D。

證明引理中(1)當(dāng)且僅當(dāng)考慮特征多項(xiàng)式為正時(shí)必須滿足,否則必須滿足(2)和(3)。引理中(2)如果特征多項(xiàng)式傳遞函數(shù)的有向圖中循環(huán)的個(gè)數(shù)多于該多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式有向圖的個(gè)數(shù)相加總和,則會(huì)有額外的單項(xiàng)式形成,最終計(jì)算得到的特征多項(xiàng)式與原特征多項(xiàng)式不同。引理中(3)即有向圖滿足則有向圖屬于K1類有向圖[14]。如果存在兩個(gè)循環(huán)的起點(diǎn)和終點(diǎn)不相交于同一頂點(diǎn),則多項(xiàng)式有向圖解會(huì)出現(xiàn)B和C矩陣并發(fā)癥,需要追蹤源到輸出的所有路徑。文獻(xiàn)[15]給出了具體的證明過程。

3 算法步驟

本文提出的新方法首先為所有構(gòu)成特征多項(xiàng)式的二項(xiàng)式創(chuàng)建有向圖,然后利用頂點(diǎn)的相對(duì)組合將它們連接起來(lái),創(chuàng)建特征多項(xiàng)式可能的有向圖變體,最終實(shí)現(xiàn)給定的特征多項(xiàng)式。算法的各個(gè)部分都可以并行,這對(duì)于快速開發(fā)計(jì)算機(jī)算法具有重要的意義。算法將文獻(xiàn)[6]中的一維實(shí)現(xiàn)方法擴(kuò)展到二維,且在原有的基礎(chǔ)上增加了有向圖的組合規(guī)則,有利于從二維有向圖中獲取B和C矩陣。

算法確定實(shí)現(xiàn)矩陣

(1)把特征多項(xiàng)式d(z1,z2) 分解成多個(gè)單項(xiàng)式。

(2)根據(jù)有向圖方法,畫出每個(gè)單項(xiàng)式的有向圖。

(3)基于每個(gè)單項(xiàng)式各自的有向圖,確定特征多項(xiàng)式有向圖。

(4)特征多項(xiàng)式有向圖循環(huán)個(gè)數(shù)等于單項(xiàng)式有向圖個(gè)數(shù)之和且所有循環(huán)的起點(diǎn)和終點(diǎn)都相交于一點(diǎn)。

(5)通過特征多項(xiàng)式有向圖的弧集確定對(duì)應(yīng)的狀態(tài)矩陣Aij。

(6)對(duì)交集頂點(diǎn),創(chuàng)建從源到輸出的所有路徑。

(7)添加所有路徑的單項(xiàng)式,然后創(chuàng)建多項(xiàng)式。

(8)分配屬于B的單項(xiàng)式,形成一組方程,根據(jù)方程求解B和C矩陣。

算法由3 部分組成,第1 部分為步驟(1)～(2),將特征多項(xiàng)式表示為每個(gè)單項(xiàng)構(gòu)造的有向圖;第2部分為步驟(3)～(5),使用單項(xiàng)式有向圖表示有效的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu);第3 部分為步驟(6)～(8),通過在特定的結(jié)構(gòu)中添加兩種類型的頂點(diǎn),允許直接從二維MIMO 系統(tǒng)有向圖中獲得B和C矩陣。

本文算法的優(yōu)點(diǎn)是引入源頂點(diǎn)和輸出頂點(diǎn),不需要借助Matlab 工具箱計(jì)算B和C矩陣。矩陣B和C可通過添加2 個(gè)額外類型有向圖的頂點(diǎn)輸入頂點(diǎn)S和輸出頂點(diǎn)Y直接獲得。頂點(diǎn)V和S之間的弧值對(duì)應(yīng)輸入矩陣B,頂點(diǎn)V和Y之間的弧值對(duì)應(yīng)輸出矩陣C。在二維單輸入單輸出(single-input single-output,SISO)系統(tǒng)中引入本算法的兩種頂點(diǎn)。例如,對(duì)于一個(gè)SISO 傳遞函數(shù):

計(jì)算適當(dāng)?shù)膶?shí)現(xiàn)矩陣D:

將傳遞函數(shù)T(z1,z2) 乘以,由式(9)和式(11)可以得到:

組合圖1 單項(xiàng)式有向圖表示特征多項(xiàng)式,選擇符合引理的一個(gè)有向圖,組合結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖1 實(shí)現(xiàn)單項(xiàng)式M1、M2、M3、M4、M5 有向圖

根據(jù)圖2 有向圖D的弧集得到對(duì)應(yīng)F-MII模型的矩陣Ai。

圖2 有向圖D 實(shí)現(xiàn)特征多項(xiàng)式d(z1, z2)

然后添加兩種節(jié)點(diǎn)可得到結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

圖3 有向圖實(shí)現(xiàn)特征多項(xiàng)式n(, )

根據(jù)圖3 中有向圖的弧集得到對(duì)應(yīng)F-M II 模型的矩陣Bi和C。

因此能通過添加兩種類型節(jié)點(diǎn)得到二維F-M II模型的矩陣B和C,且該實(shí)現(xiàn)矩陣為一組最小實(shí)現(xiàn)。在一維算法中提到了多輸入單輸出(multiple-input single-output,MISO)的情況,本文將在MIMO 情況中討論二維MISO 的情況。

4 數(shù)例

考慮如下(MIMO)二維系統(tǒng)的傳遞函數(shù):

將矩陣分塊得到2 個(gè)MISO 傳遞矩陣:

先對(duì)于T1(z1,z2) 進(jìn)行求解:

步驟1確定矩陣D。

由式(4)～式(11)可以得到以下等式:

將d(z1,z2) 乘以,并且寫成二項(xiàng)和的形式,結(jié)果如下:

其中∪是對(duì)有頂點(diǎn)的有向圖操作,稱為相對(duì)于頂點(diǎn)的復(fù)合[16]。對(duì)于每個(gè)單項(xiàng)式,創(chuàng)建滿足引理的圖結(jié)構(gòu),選擇其中一個(gè)進(jìn)行研究。所選結(jié)構(gòu)如圖4 所示。

圖4 有向圖D 實(shí)現(xiàn)特征多項(xiàng)式d(z1, z2)

步驟2確定狀態(tài)矩陣A。

從獲得的有向圖中可以對(duì)應(yīng)獲得狀態(tài)矩陣A1和A2。

步驟3確定矩陣B和C。

將N(z1,z2) 乘以z-21z-12,可以獲得新的有向圖多項(xiàng)式:

對(duì)圖4 的有向圖添加源節(jié)點(diǎn)S和輸出節(jié)點(diǎn)Y,并且連接起來(lái)。在本文的數(shù)例中,源節(jié)點(diǎn)與圖4 中的公共頂點(diǎn)相連。假設(shè)矩陣C包含一個(gè)非零項(xiàng),則可得到2 個(gè)部分。

圖5 有向圖實(shí)現(xiàn)特征多項(xiàng)式n11(,)

整理上式寫成如下形式:

圖6 有向圖實(shí)現(xiàn)特征多項(xiàng)式n12(,)

值得注意的是,兩個(gè)部分的輸出矩陣C具有相同的結(jié)構(gòu),而輸入矩陣B依賴弧w(v1,y1)的值。因?yàn)橄到y(tǒng)分為兩個(gè)部分,所以輸入矩陣B1和B2可以表示為如下形式:

輸出矩陣C則表示為

現(xiàn)在對(duì)T2(z1,z2) 進(jìn)行求解,重復(fù)上面的步驟,經(jīng)過計(jì)算可得:

則二維MIMO 系統(tǒng)F-M II 模型實(shí)現(xiàn)為

對(duì)于同一類型的特征多項(xiàng)式,可以有圖2 和圖4 兩種有向圖結(jié)構(gòu)。用同樣的方法還可以創(chuàng)建滿足引理的其他有向圖結(jié)構(gòu)。將本文方法與其他標(biāo)準(zhǔn)形式求解算法[17-20]獲得實(shí)現(xiàn)矩陣的大小和數(shù)量進(jìn)行詳細(xì)對(duì)比,結(jié)果如表1 所示。充分說明了本文方法在獲取求解數(shù)量和實(shí)現(xiàn)矩陣階次方面的優(yōu)越性。該算法能夠?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式創(chuàng)建一組完整的解,但解的數(shù)量隨著特征多項(xiàng)的冪和系統(tǒng)維度的增長(zhǎng)而呈指數(shù)增長(zhǎng)。用Matlab 進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖7 所示。

圖7 算法獲得特征多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)矩陣的數(shù)量

表1 比較實(shí)現(xiàn)矩陣階次和實(shí)現(xiàn)數(shù)量

5 結(jié)論

本文提出了基于F-M II 狀態(tài)空間模型的多維系統(tǒng)圖論實(shí)現(xiàn)的新方法,通過在特征多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)中引入源頂點(diǎn)和輸出頂點(diǎn),該方法能夠從多維系統(tǒng)的傳遞矩陣中獲取F-M II 狀態(tài)空間模型的一組A、B、C、D矩陣。不同于經(jīng)典的規(guī)范方法只有一種實(shí)現(xiàn),本文方法在獲得完整實(shí)現(xiàn)的同時(shí)可以調(diào)整交集頂點(diǎn)的位置得到多種實(shí)現(xiàn),并給出了具體的數(shù)例驗(yàn)證新方法的有效性和可行性,為多維系統(tǒng)的研究提供了新思路。將此算法應(yīng)用在MIMO 系統(tǒng)中,可以獲得更低階次且數(shù)量更多的實(shí)現(xiàn)矩陣,簡(jiǎn)化了MIMO 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)矩陣求解的難度。今后更進(jìn)一步的研究是減少特征多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的限制,并盡可能減少算法的步驟和復(fù)雜度,使之能夠在計(jì)算機(jī)中求解多維系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)矩陣。