楊 平，余 潔，孫宇貞

(上海電力學(xué)院電力與自動(dòng)化工程學(xué)院，上海 200090)

在控制器的設(shè)計(jì)方法中，除了常規(guī)的頻域法、根軌跡法和狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置法以外，還有一種標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)設(shè)計(jì)法［1］.運(yùn)用該設(shè)計(jì)方法時(shí)，一旦選定具有最優(yōu)性能的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)，并推導(dǎo)出含有已知的受控過程模型參數(shù)和待求的控制器參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，則控制器參數(shù)就可通過簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算算出，既不需要復(fù)雜的最優(yōu)化算法，也不需要大量的整定試驗(yàn).正是由于這種方法的獨(dú)特思路和設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)捷性，近30年來吸引了不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)展研究，并且取得了大量成果［2-10］.在應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)設(shè)計(jì)法時(shí)，常用的閉環(huán)系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)主要有兩種:ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)［11］和Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)［12］.我國(guó)的學(xué)者在應(yīng)用這兩種標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)中發(fā)現(xiàn)了一些不足，并對(duì)其進(jìn)行了一些完善，包括對(duì)ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的改進(jìn)研究［13-16］和對(duì) Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的改進(jìn)研究［17］.在形式上，所改變的是標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的多個(gè)系數(shù)數(shù)值.在實(shí)質(zhì)上的改變有:積分時(shí)間域的縮短，重新優(yōu)化計(jì)算，優(yōu)化方法選用遺傳算法，其中最主要的是減少了超調(diào)量.在應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)法設(shè)計(jì)控制器的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，除了上述兩種標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)外，更好用的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)是多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù).

1 常用的閉環(huán)系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)

1.1 ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)

ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)是使系統(tǒng)ITAE指標(biāo)最小的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù).根據(jù)文獻(xiàn)［13］，1型系統(tǒng)的ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)為:

其1至8階函數(shù)的各系數(shù)值見表1.

2型系統(tǒng)的ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)為:

其2至6階函數(shù)的各系數(shù)值見表2.

表1 1型系統(tǒng)的ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)1至8階的系數(shù)值

表2 2型系統(tǒng)的ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)2至6階的系數(shù)值

在應(yīng)用這些標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)之前，先要設(shè)定閉環(huán)系統(tǒng)的自然振蕩頻率ωn，這個(gè)參數(shù)決定了閉環(huán)系統(tǒng)的快速性能(即閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性帶寬).確定ωn時(shí)，既要追求快速理想性能，又要顧及實(shí)際的物理約束，因此需要經(jīng)過數(shù)次的試湊.

1.2 Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)

Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)是通過將系統(tǒng)極點(diǎn)均勻地配置在根平面中以原點(diǎn)為中心、以ωn為半徑的左半平面圓周上形成的.根據(jù)文獻(xiàn)［1］，1型系統(tǒng)的Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)也如式(1)所示，但其1至6階函數(shù)的各系數(shù)值如表3所示.

表3 1型系統(tǒng)的Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)1至6階的系數(shù)值

同樣，在應(yīng)用這種標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)之前，先要設(shè)定閉環(huán)系統(tǒng)的自然振蕩頻率ωn.

2 多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)

2.1 多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的建立

多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)為:

式中:T——慣性單元的慣性時(shí)間;

γi——多項(xiàng)式展開函數(shù)的系數(shù)，i=0，1，2，…，n－1.

式中的系數(shù)λi(i=1，2，…，n－1)可根據(jù)代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理推算得到，如表4所示.

由表4可以看出，多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的系數(shù)值就是著名的楊輝三角形數(shù)陣中不含1的內(nèi)核部分，推算過程非常簡(jiǎn)單.例如，n=4時(shí)的系數(shù)值6可由n=3時(shí)的系數(shù)3+3得出，n=5時(shí)的系數(shù)值10可由n=4時(shí)的系數(shù)4+6得出，以此類推.

表4 多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)中的系數(shù)λi

當(dāng)系數(shù) λi(i=1，2，…，n－1)由表4得出后，則系數(shù) γi(i=1，2，…，n －1)可由式(5)求得.

2.2 多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的優(yōu)勢(shì)

與ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)和Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)相比，多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)有3點(diǎn)優(yōu)勢(shì):建立容易、無超調(diào)量和更便于工程應(yīng)用.

通過多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)系數(shù)的建立過程，表明該函數(shù)的建立遠(yuǎn)比其他兩種標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)簡(jiǎn)單，而且可以輕松地推算出任意高階的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù).

多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)所定制的系統(tǒng)只有負(fù)實(shí)數(shù)特征根，自然能實(shí)現(xiàn)零超調(diào).而為了將ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的超調(diào)量壓低至5%以下，許多科研人員進(jìn)行了大量研究.Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的建立雖比ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)要容易，但它所定制的系統(tǒng)的超調(diào)量遠(yuǎn)大于ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)，這也是Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)在工程中應(yīng)用較少的原因之一.

應(yīng)用ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)和Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)時(shí)，必須先確定系統(tǒng)的自然振蕩頻率ωn.而應(yīng)用多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)時(shí)，必須先確定慣性單元的慣性時(shí)間T.

在理論上，T和ωn只是互為倒數(shù)的參數(shù)，并無本質(zhì)差別.但在工程應(yīng)用上，慣性時(shí)間T的物理意義更直觀，更容易讓工程技術(shù)人員掌握.假如，一階慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時(shí)間ts為慣性時(shí)間T的3倍，即ts=3T;n階慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時(shí)間ts將為ts=3nT;那么，只要確定了期望的控制系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間ts，就可輕松算得慣性單元的慣性時(shí)間 T，即 T=ts/3n.

假設(shè) ωn=T=1，n=6，通過圖 1所示的Simulink試驗(yàn)系統(tǒng)(選擇標(biāo)幺系統(tǒng)，輸出量無量綱)進(jìn)行階躍響應(yīng)試驗(yàn)，可得到圖2所示的結(jié)果.

圖1 Simulink試驗(yàn)系統(tǒng)

圖2 4種標(biāo)準(zhǔn)傳遞的階躍響應(yīng)曲線

由圖2可知，當(dāng)多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的慣性時(shí)間T=1時(shí)，ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)最好，而多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的響應(yīng)最差.但若將多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的慣性時(shí)間改為T=0.5，則多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的響應(yīng)就成為最好的.由此可見，通過慣性時(shí)間T的選擇，可以得到期望的理想響應(yīng).當(dāng)然，這個(gè)理想響應(yīng)能否實(shí)現(xiàn)，還取決于實(shí)際的物理約束條件.

3 結(jié)論

(1)在多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)的建立過程中，利用了代數(shù)二項(xiàng)式定理和楊輝三角形數(shù)陣，因此該函數(shù)具有了建立簡(jiǎn)便、易于推廣到高階系統(tǒng)的特點(diǎn).

(2)多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)所固有的無超調(diào)性能使其在動(dòng)態(tài)特性上遠(yuǎn)比ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)和Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)優(yōu)越.

(3)應(yīng)用多容慣性標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)所需整定的是慣性單元的慣性時(shí)間T，它比ITAE標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)和Butterworth標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)所用的自然振蕩頻率ωn更易被工程師掌握和應(yīng)用.

［1］楊平，翁思義，郭平.自動(dòng)控制原理:理論篇［M］.北京:中國(guó)電力出版社，2009:147-151.

［2］項(xiàng)國(guó)波.線性定常負(fù)反饋控制系統(tǒng)中的ITAE最佳調(diào)節(jié)［J］.中國(guó)科學(xué):A，1980(2):185-192.

［3］雷迅.可控硅直流傳動(dòng)控制系統(tǒng)中的ITAE最佳調(diào)節(jié)律［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1983(7):177-185.

［4］項(xiàng)國(guó)波.ITAE最佳控制［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1986:1-230.

［5］陳明俊.ITAE最優(yōu)Ⅲ型數(shù)字伺服系統(tǒng)［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1993，19(2):172-182.

［6］項(xiàng)國(guó)波，楊益群，楊啟文.一類單容純時(shí)滯系統(tǒng)二次優(yōu)化控制［J］.信息與控制，1995，24(4):209-214.

［7］王永初.Butterworth濾波器在過程控制中的應(yīng)用(Ⅱ)［J］.工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置，1995(1):10-14.

［8］陳莊金.改進(jìn)型高魯棒性校正器的研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，1999，20(3):254-256.

［9］田保峽，蘇宏業(yè)，褚健.基于狀態(tài)估計(jì)的PID控制器整定方法研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2000，21(5):477-480.

［10］王偉，鄭耀林.一種采用Butterworth濾波器原理設(shè)計(jì)的具有高魯棒性的狀態(tài)反饋系統(tǒng)［J］.電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào)，2001，15(4):16-20.

［11］GRAHAM D，LATHROP R C.The synthesis of optimum transient response criteria and standard forms［J］.AIEE Trans，1953(2):273-275.

［12］SCHUKTZ W C，RIDEOUT C V.Control system performance measures:past，present and future［J］.IRE Trans Automatic Control，1961，26(2):270-275.

［13］李鎮(zhèn)銘.環(huán)路法及最佳狀態(tài)反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1988:1-200.

［14］楊益群，項(xiàng)國(guó)波.新的ITAE最佳傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型［J］.信息與控制，1999，26(4):259-265.

［15］張志涌，劉瑞楨.對(duì)經(jīng)典ITAE傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型的研究［J］.福州大學(xué)學(xué)報(bào)，1977，25(3):120-121.

［16］李鐘慎，位移無靜差最優(yōu)傳遞函數(shù)的研究［J］.自動(dòng)化博覽，2007(2):82-84.

［17］洪健，李鐘慎.改進(jìn)的Butterworth最佳傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型［J］.計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化，2005，24(2):13-15.