汪一敏

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常有一些說法似是而非，甚至錯誤。數(shù)學(xué)教師對此須有清晰的認(rèn)識，才能更好地服務(wù)于教學(xué)。

一、那不是圓面積公式的推導(dǎo)證明——對圓面積公式推導(dǎo)、證明的誤解分析

教材對圓面積公式來歷的處理，引起不少教師的誤解。他們認(rèn)為那就是圓面積公式的推導(dǎo)和證明，并依此認(rèn)識展開教學(xué)，這樣難免以訛傳訛。

對圓面積公式的推導(dǎo)證明，可追溯到歐幾里得和阿基米德時代（約公元前300 —前212年）。在《幾何原本》12卷的命題2里，歐幾里得使用窮竭法和雙重歸謬法證明了“諸圓彼此之比，等于在其直徑上作出的正方形之比”，說兩個圓的面積之比等于它們內(nèi)接正方形的面積之比，由于正方形的面積比等于它們對角線的平方比。即

[Ss=D2d2]

這里的S、s、D、d分別表示兩圓的面積和直徑。

在此基礎(chǔ)上，阿基米德（歐幾里得的學(xué)生）用窮竭法和雙重歸謬法證明了圓面積的計算公式：

[S=12R?C]（R是圓的半徑，C是圓的周長）

把歐幾里得的結(jié)論與阿基米德的結(jié)論聯(lián)立起來即可推出 [Cc=Dd] → ?[CD=cd]。至此，人們知道了圓周率——圓的周長和其直徑的比是一個常數(shù)。最早的圓周率的近似值由阿基米德計算得出。

近代人們對圓面積公式推導(dǎo)證明的工具是微積分。

圓方程：x2+y2=r2

[14] 圓面積：[0rr2-x2]dx = r2[0π2cos2tdt] ?（第二換元法）

=[ 14]πr2 ，

圓面積：S=πr2。

定積分的基礎(chǔ)是極限理論，極限理論是建立在嚴(yán)密邏輯基礎(chǔ)之上的，并不是非專業(yè)人士想象中的“極限思想”。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中在推導(dǎo)證明圓面積公式時提出對圓面進行分割（如圖1），拼接成一個近似的長方形，在等分的份數(shù)越來越多的情況下，近似的長方形越來越接近長方形，其寬為r，長為πr（圓周長的一半），面積為πr2，因此我們有理由推測圓面積計算公式為πr2。

但這只是猜測，不能看作是圓面積公式的推導(dǎo)證明。近似長方形的長在無限分割下的極限一定是πr嗎？事實上，要確定此極限，并不比求圓面積公式簡單。

大家知道，（數(shù)學(xué)上）猜想的結(jié)論不一定正確。圖2中的小半圓直徑相同，設(shè)AB=2r，則每個圖中的小半圓周的和都是πr，當(dāng)小半圓的直徑越來越小時，AB之間由小半圓周形成的“波浪線”將趨于線段AB。那么AB應(yīng)該等于πr，但AB=2r，因此不能斷定圓面拼成的近似長方形的長的極限是πr。

那么教材對圓面積公式的處理起什么作用呢？如果我們在教學(xué)中直接告訴學(xué)生（或講一些圓面積公式的小故事），說圓面積的計算公式是πr2，學(xué)生是理解不了的。

因此，教師仍可大膽使用教材中處理圓面積公式的方法，但千萬不要信誓旦旦地說，這就是圓面積公式的推導(dǎo)證明。

二、一張長方形紙是不能卷成圓柱的——對教學(xué)小實驗究竟如何進行科學(xué)改良的說明

人教版教材六年級下冊“圓柱”單元例1（P18）中說：“圓柱是由3個面圍成的。圓柱的上、下兩個面叫作底面，圓柱周圍的面（上、下底面除外）叫作側(cè)面。”而教材第30頁上的習(xí)題15是這樣的（如圖3）。

也許是受教材的影響，有教師在“圓柱的側(cè)面積”的教學(xué)中，考慮到動手性和可視性，設(shè)計了小實驗：把一張長方形的紙橫著或豎著卷起來，可以卷成什么形狀？之后又將此小實驗改為：把一張長方形的紙橫著或豎著卷起來，分別卷成最大的圓柱，觀察圓柱和長方形的關(guān)系。該教師以期讓學(xué)生通過動手操作，感受圖形在二維、三維空間的變化，了解長方形和圓柱的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

編撰一個數(shù)學(xué)習(xí)題（問題），要求之一是“習(xí)題的陳述要準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、無歧義”。把一張長方形的紙橫著或豎著卷起來，可以卷成什么形狀？怎么卷呢？可卷的形狀太多了，因此只能“想當(dāng)然”地卷。

改過后的小實驗，同樣存在問題，一張長方形的紙，能卷成圓柱嗎？顯然卷成的不是圓柱。該習(xí)題違反了習(xí)題編撰的另一要求：“習(xí)題中出現(xiàn)的概念、術(shù)語，必須是定義的。”這種卷成的“圓柱”沒有被定義。這樣就使教學(xué)走入了怪圈，一方面教師要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，另一方面學(xué)生的空間想象力遭到了扭曲。

洞悉教材習(xí)題的問題后，教師可將小實驗改為：把一張長方形的紙橫著或豎著卷起來，使之成為一個圓柱的側(cè)面，觀察圓柱和長方形的關(guān)系。

（杭州師范大學(xué)教育學(xué)院 ? 310000）