胡慧瑛，陳林聰,2

(1.華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 廈門 361021；2.福建省智慧基礎(chǔ)設(shè)施與監(jiān)測重點實驗室，福建 廈門 361021)

地震對人類社會的危害不言而喻。傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)雖然能有效保障人員的生命財產(chǎn)安全，但震后往往存在結(jié)構(gòu)倒塌、殘余變形過大等問題，使得結(jié)構(gòu)震后修復(fù)成本過高。近來，為了減少結(jié)構(gòu)震后修復(fù)產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)損失，工程界致力于研究可恢復(fù)功能結(jié)構(gòu)[1-5]。可恢復(fù)功能結(jié)構(gòu)是指在震中不發(fā)生破壞或是僅發(fā)生可以迅速修復(fù)破壞的結(jié)構(gòu)，因此能顯著減小震后修復(fù)所需的時間成本和經(jīng)濟(jì)成本。自復(fù)位結(jié)構(gòu)作為可恢復(fù)功能結(jié)構(gòu)中的一種，逐漸成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點。已有研究表明，自復(fù)位結(jié)構(gòu)不僅具有與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)大致相當(dāng)?shù)暮哪苣芰?，還能有效消除結(jié)構(gòu)的殘余變形，大大減小了結(jié)構(gòu)震后修復(fù)負(fù)擔(dān)。

目前有關(guān)自復(fù)位結(jié)構(gòu)的研究成果豐碩。在響應(yīng)預(yù)測方面，常用方法有時程分析法[6-7]以及平均法[8-9]，但這些研究多是在確定性激勵下進(jìn)行，鮮有涉及隨機(jī)激勵環(huán)境。眾所周知，地震地面運動具有明顯的隨機(jī)性。在隨機(jī)地震動作用下自復(fù)位系統(tǒng)的響應(yīng)也是一個隨機(jī)過程。最近，胡曉斌等[10]利用等效線性化法建立了單自由度自復(fù)位系統(tǒng)隨機(jī)地震響應(yīng)的求解流程。然而，等效線性化僅能獲得系統(tǒng)的高斯響應(yīng)，低估了響應(yīng)位移與速度的均方值，以致結(jié)果偏于不安全。另外，上述研究中采用了高斯白噪聲激勵模型，該激勵能量在頻域內(nèi)是均勻分布的，有悖于實際情況[11]。因此，非常有必要發(fā)展一種更有效的方法來確定自復(fù)位系統(tǒng)的隨機(jī)地震響應(yīng)，同時亦需引入一種能更好模擬地震作用的數(shù)學(xué)模型。

隨機(jī)平均法是將隨機(jī)平均原理與FPK方程法相結(jié)合的一類方法。該法是分析非線性隨機(jī)系統(tǒng)最有效的方法之一。近年來，隨機(jī)平均法被廣泛的運用于非線性系統(tǒng)與隨機(jī)參激系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)預(yù)測、可靠性估計及隨機(jī)穩(wěn)定性判別。Roberts和Spanos[12]以及朱位秋[13]等均對隨機(jī)平均法的應(yīng)用發(fā)展做出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木C述。隨機(jī)平均法最突出的優(yōu)點是可以降維，從而降低求解FPK方程的難度，特別是對于擬不可積哈密頓系統(tǒng)[14]，平均后的系統(tǒng)是一維的。與等效線性化方法相比，隨機(jī)平均方法還具有克服概率密度不準(zhǔn)確、保持原系統(tǒng)主要非線性特征等顯著優(yōu)點。

國內(nèi)外學(xué)者相繼提出多種過濾白噪聲模型來模擬地震作用，目前常用分析譜模型有杜修力譜[15]、歐進(jìn)萍譜[16]、金井清譜[17]等。金井清過濾白噪聲模型是在白噪聲模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮地表土層特性對地震動頻譜特征的影響，物理意義明確且能較好地模擬地震地面運動特性，在實際中得到廣泛應(yīng)用。本文考慮到地震動的隨機(jī)性，應(yīng)用隨機(jī)平均法研究了金井清過濾白噪聲激勵下單自由度自復(fù)位系統(tǒng)的平穩(wěn)響應(yīng)。首先利用廣義諧波平衡技術(shù)，將旗幟形的恢復(fù)力解耦為幅值依賴的等效擬線性彈性力和擬線性阻尼力，得到原系統(tǒng)的等效非線性系統(tǒng)；然后，應(yīng)用基于廣義諧和函數(shù)的隨機(jī)平均法將等效非線性系統(tǒng)簡化為關(guān)于系統(tǒng)幅值的平均伊藤方程，建立并求解與之相應(yīng)FPK方程得到系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)；研究系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，并通過蒙特卡羅模擬對理論解析結(jié)果進(jìn)行驗證。

1 隨機(jī)地震荷載作用下單自由度自復(fù)位系統(tǒng)

隨機(jī)地震荷載作用下單自由度自復(fù)位系統(tǒng)的運動微分方程可以表示為，

(1)

(2)

式中:ωg、ξg分別為地震波傳播過程中所經(jīng)歷土層的特征頻率和阻尼比；S0為位于震源處的基巖傳給上層的白噪聲功率譜密度；該模型的自復(fù)位體系的恢復(fù)力常用FS(Flag-shaped)模型描述，如圖1(a)所示，由圖1可得，自復(fù)位體系恢復(fù)力可以分解為彈性力(圖1(b))和滯變力(圖1(c)),即

(a)旗幟形恢復(fù)力模型

(3)

式中：Z是滯變位移，α為能量耗散系數(shù)。

如圖2所示，滯變位移Z可以分段表示為，

圖2 自復(fù)位體系滯變位移

(4)

(5)

式中：β、Xy、A分別表示能量耗散系數(shù)、屈服位移和系統(tǒng)位移幅值。

將式(4)、(5)代入式(3)中，恢復(fù)力的表達(dá)式可整理為，

(6)

(7)

2 等效非線性系統(tǒng)

由圖1可知，式(6)與(7)中表示的恢復(fù)力同時影響系統(tǒng)的阻尼和剛度。根據(jù)廣義諧波平衡技術(shù)，恢復(fù)力可解耦為幅值依賴的等效擬線性彈性力和擬線性阻尼力，

(8)

式中：

(9)

(10)

將式(8)代入式(1)，可得系統(tǒng)(1)的等效非線性系統(tǒng)，

(11)

系統(tǒng)(11)的總能量為，

(12)

式中：

(13)

3 隨機(jī)平均

假設(shè)系統(tǒng)(11)解的形式為，

Y(t)=A(t)cosΘ(t)

(14)

式中：

Θ(t)=Φ(t)+Γ(t)

(15)

變量A(t)、Θ(t)與Г(t)均為隨機(jī)過程。

(16)

(17)

式中：

(18)

當(dāng)阻尼和激勵較弱的時候，根據(jù)Stratonovich-Khasminskii極限定理[17],A,Г弱收斂于二維擴(kuò)散Markov過程。需指出的是，關(guān)于A(t)的平均伊藤隨機(jī)微分方程中不含Г(t)。關(guān)于A(t)的平均伊藤隨機(jī)微分方程為，

(19)

式中：B(t)為單位維納過程；平均漂移和擴(kuò)散系數(shù)分別為，

(20)

式中R(τ)表示系統(tǒng)激勵的自相關(guān)函數(shù)；〈·〉Θ表示對Θ作平均，即

(21)

為了進(jìn)一步獲得漂移與擴(kuò)散系數(shù)的表達(dá)式，現(xiàn)將Gik展開為Fourier級數(shù)

Gik=Gik0(A)+

(22)

將式(22)代入式(20)，完成對τ的積分和對Θ的平均后，得

(23)

支配轉(zhuǎn)移概率密度p(a|a0;t)滿足的FPK方程為，

(24)

初始條件為，

p=δ(a-a0)

(25)

式中:a為系統(tǒng)幅值，a0為系統(tǒng)初始幅值。

當(dāng)?p/?t=0時，方程(22)有如下的平穩(wěn)精確解，

(26)

式中,C0為歸一化常數(shù)。

4 參數(shù)分析

本節(jié)考察能量耗散系數(shù)β、屈服位移Xy和激勵強(qiáng)度D1取值的變化對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的影響。選取系統(tǒng)參數(shù)為：c=0.05、α=0.2、ωg=10、ξg=0.9、D1=0.01。其中實線表示由方程式(26)得到的數(shù)值解結(jié)果，符號(△,□,◇)表示對原方程(1)直接進(jìn)行蒙特卡羅的結(jié)果。觀察每幅圖像都可以看出理論解和蒙特卡羅解在誤差允許范圍內(nèi)吻合，表明文中提出的求解方法有效。

圖3～5給出了當(dāng)能量耗散系數(shù)β=0.5，β=1.0與β=2.0時，屈服位移Xy取值的變化對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。從這三個圖中均可看出，當(dāng)Xy<1.0時，p(a)隨著Xy的減小向左偏移并在較小a處達(dá)到峰值。這說明屈服位移的降低可有效減小系統(tǒng)響應(yīng)。該現(xiàn)象可用圖8來解釋，當(dāng)能量耗散系數(shù)一定時，隨著Xy的減小，滯回曲線的面積增大，即系統(tǒng)的耗能性能提高。而當(dāng)Xy>1.0時，Xy的減小并不能有效的減小系統(tǒng)響應(yīng)。此外，由于旗幟形恢復(fù)力是分段函數(shù)，當(dāng)Xy=1.0時，p(a)在分段點a=Xy處存在不光滑現(xiàn)象，該現(xiàn)象β=2.0時最為明顯,見圖5。

圖3 β=0.5時系統(tǒng)關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)

圖4 β=1.0時系統(tǒng)關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)

圖5 β=2.0時系統(tǒng)關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)

圖6中，研究了屈服位移Xy=0.5時，能量耗散系數(shù)β對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。由圖6可看出，β的變化對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的大小影響不大，但隨著β的增加，p(a)逐漸接近于正態(tài)分布，與此同時，p(a)在分段點處不光滑現(xiàn)象越來越明顯。

圖6 Xy=0.5時系統(tǒng)關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)

圖7中，研究了屈服位移Xy=1.0且能量耗散系數(shù)β=1.0時，激勵強(qiáng)度D1對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。從圖7可看出，理論解和蒙特卡羅解吻合的非常好。

圖7 Xy=1.0,β=1.0時系統(tǒng)關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)

圖8 β=0.5時旗幟形滯回曲線所圍面積

5 結(jié) 論

本文研究了基于金井清譜隨機(jī)地震激勵下單自由度自復(fù)位體系的平穩(wěn)響應(yīng)。運用廣義諧波平衡技術(shù)，得到原系統(tǒng)的等效非線性方程。通過van der Pol變換和隨機(jī)平均法，得到關(guān)于系統(tǒng)幅值的平均伊藤方程。建立并求解相應(yīng)的FPK方程，獲得關(guān)于幅值的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，研究了能量耗散系數(shù)和屈服位移對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。研究結(jié)論如下：

(1)當(dāng)屈服位移小于1.0時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨著屈服位移的減小而降低；

(2)由于系統(tǒng)恢復(fù)力是分段函數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在分段點處存在不光滑現(xiàn)象，該現(xiàn)象在屈服位移為1.0且能量耗散系數(shù)為2.0時尤為明顯；

(3)通過與蒙特卡羅模擬結(jié)果的對比發(fā)現(xiàn)理論解析解具有很好的精度。

附錄A

系統(tǒng)(1)解的形式可以假設(shè)為以下廣義諧波方程

X(t)=A(t)cosΘ′(t)

(A1)

對于A≤Xy,

(A2)

(A3)

對于A>Xy,

(A4)

(A5)

其中