陳伏彬，唐賓芳，蔡虬瑞,2，李秋勝

(1.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410114; 2.中國能源建設(shè)集團(tuán)湖南省電力設(shè)計(jì)院有限公司,長沙 410007；3.香港城市大學(xué) 建筑與土木工程系，香港 999077)

大跨屋蓋結(jié)構(gòu)能夠提供更大的無柱空間，已廣泛應(yīng)用于體育場館、機(jī)場航站樓、展覽中心等，同時由于其具有跨度大、質(zhì)量輕、阻尼小等特點(diǎn)，風(fēng)荷載已成為此類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主控荷載之一[1]。由于結(jié)構(gòu)的特殊性，現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范未能給出準(zhǔn)確的風(fēng)荷載數(shù)值，往往通過剛性模型測壓試驗(yàn)獲得其設(shè)計(jì)風(fēng)荷載。雖然同步多點(diǎn)壓力掃描系統(tǒng)(Synchronous Multi-Pressure Scanning System，SM-PSS)的應(yīng)用大大增加了同步采集的數(shù)據(jù)容量，大跨屋蓋結(jié)構(gòu)面積一般都很大，往往在100 m2的面積上僅布置1個風(fēng)壓測點(diǎn)，風(fēng)壓測點(diǎn)遠(yuǎn)少于大跨屋蓋結(jié)構(gòu)的有限元節(jié)點(diǎn)數(shù)，給精細(xì)化的大跨結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計(jì)帶來諸多不便。如何將有限測點(diǎn)上的風(fēng)壓數(shù)據(jù)擴(kuò)展到能夠滿足結(jié)構(gòu)有限元分析的更多節(jié)點(diǎn)上是目前亟待解決的問題。因此，基于已有的風(fēng)壓數(shù)據(jù)對未知測點(diǎn)風(fēng)壓預(yù)測很有尤顯重要。

本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)技術(shù)作為一種數(shù)據(jù)壓縮和特征值萃取工具，首先被Armitt引入到風(fēng)工程領(lǐng)域[2]，該方法是一種應(yīng)用廣泛的數(shù)據(jù)降維方法，可以將脈動風(fēng)壓場分解為僅依賴時間的主坐標(biāo)與僅依賴空間的本征模態(tài)的線性組合，是分析隨機(jī)風(fēng)壓場的有效工具。通過對未知測點(diǎn)本征模態(tài)的預(yù)測，并將預(yù)測的模態(tài)與主坐標(biāo)相乘累加，就能得到未知測點(diǎn)的風(fēng)壓時程[3]，廣泛應(yīng)用于低矮建筑[4-5]、大跨結(jié)構(gòu)[6]、高層建筑[7]與橋梁結(jié)構(gòu)[8]的脈動風(fēng)荷載及風(fēng)致響應(yīng)的重構(gòu)研究中，并根據(jù)已知測點(diǎn)的特征向量利用插值法獲得未知位置的特征向量來預(yù)測風(fēng)壓序列[9-10]。

空間數(shù)據(jù)插值，就是通過一組已知的離散數(shù)據(jù)或分區(qū)數(shù)據(jù)，根據(jù)某種數(shù)學(xué)關(guān)系推求出其它未知點(diǎn)或者未知區(qū)域的數(shù)學(xué)過程?？臻g內(nèi)插法分類的方法較多，如可依據(jù)確定或隨機(jī)劃分、全部或局部劃分、點(diǎn)與面劃分等標(biāo)準(zhǔn)分類。根據(jù)其數(shù)學(xué)本質(zhì)與基本假設(shè)的不同，又可分為隨機(jī)模擬法、統(tǒng)計(jì)插值法、空間統(tǒng)計(jì)插值法、幾何插值法以、函數(shù)插值法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)法等。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network，ANN)因其具有良好的非線性映射能力，被廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域的插值問題。在結(jié)構(gòu)風(fēng)工程領(lǐng)域，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法已成功預(yù)測了大跨屋蓋結(jié)構(gòu)[11]、低矮雙坡屋面[12-13]、折疊網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)[14]等結(jié)構(gòu)的風(fēng)壓分布特性，并取得了較好的預(yù)測精度。

本文結(jié)合本征模態(tài)分解法(Proper Orthogonal Decomposition,POD)的降維技術(shù)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的學(xué)習(xí)功能，提出一種適用于大跨屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)壓重構(gòu)與預(yù)測的技術(shù)方法，并采用某一大跨平屋蓋剛性模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證其有效性。

1 基本理論

1.1 POD法

POD提供了對于復(fù)雜的隨機(jī)過程只用少量的前幾階本征模態(tài)提取本質(zhì)特征的有效途徑。其主要目的是獲得本征函數(shù)φn(x,y)，它和隨機(jī)脈動風(fēng)場的全體元素有很好的相互關(guān)系。本征正交分解原理的推導(dǎo)有多種途徑，如：投影極值原理、瑞利商方法(Rayleigh Quotient)、Karhunen-Loeve分解定理，均推導(dǎo)出同樣的結(jié)果。

假設(shè)由風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)獲得的建筑物表面各測點(diǎn)零均值脈動風(fēng)壓時程為各態(tài)遍歷一個隨機(jī)過程，表示為：

p(t)={p1(t),p2(t),…,pN(t)}T

(1)

本征正交分解的目標(biāo)是最大化投影方差，即尋找一組向量空間，使脈動風(fēng)壓向量在這組向量空間上的投影最大化。那么對于風(fēng)壓場來說，存在如下本征值問題：

CΦ=ΛΦ

(2)

式中：C=E(p(t)p(t)T)為脈動風(fēng)壓的零時滯協(xié)方差矩陣，本征值對角矩陣Λ=diag(λ1,λ2,…,λN)，本征模態(tài)矩陣Ψ=[φ1,φ2,…,φΝ],二者按降序排列。

通過本征正交分解后空間(x,y)位置測點(diǎn)的風(fēng)壓時程可由模態(tài)擴(kuò)展表示為:

(3)

式中:M為擴(kuò)展的本征模態(tài)數(shù)，φn(x,y)為歸一化且相互正交的本征模態(tài)，an(t)為時間主坐標(biāo)，由下式確定：

(4)

易證明重構(gòu)后的脈動風(fēng)壓均方差值為：

(5)

由此可知，本征值λn能夠反映第n階本征模態(tài)對脈動風(fēng)壓均方差的能量貢獻(xiàn)量，并可根據(jù)前m階模態(tài)所占累計(jì)能量比EM來確定擴(kuò)展模態(tài)數(shù)M，其值為：

(6)

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15]是一種以誤差反向傳播為基礎(chǔ)的多層前饋網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由三部分組成：輸入層、隱含層和輸出層，其中隱藏層可以是多層的。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法由輸入信號的向前傳播與誤差信號的反向傳播兩個過程構(gòu)成，正向傳播時，數(shù)據(jù)從輸入層經(jīng)隱含層逐層向后傳播，若輸出層得不到期望的輸出，則轉(zhuǎn)至誤差信號的反向傳播，再由誤差根據(jù)梯度下降法向后傳播逐層修改權(quán)值與閾值，使誤差減小，反復(fù)進(jìn)行，直到誤差不再下降，停止訓(xùn)練。

在信號的向前傳播階段，隱藏層中第i個神經(jīng)元的輸入等于輸入信號的加權(quán)和，并通過非線性函數(shù)傳遞，則第i個神經(jīng)元的輸出為：

(7)

Δω=學(xué)習(xí)率η·局部梯度δ·上一層輸出信號v

(8)

2 風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)簡介

風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ筒捎糜袡C(jī)玻璃制成，縮尺比為1∶150，模型幾何尺寸為40 cm×40 cm×20 cm，滿足阻塞率小于5%的要求。風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵妶D1。

在模型上表面布置了測點(diǎn)256個，內(nèi)表面布置測點(diǎn)180個，并在模型屋蓋右下角區(qū)域進(jìn)行了測點(diǎn)加密布置。測點(diǎn)布置及風(fēng)向角定義見圖2。在邊界層風(fēng)洞中精確模擬了B類地貌風(fēng)場條件，風(fēng)場參數(shù)，如圖3所示。

圖2 測點(diǎn)布置及風(fēng)向角示意圖

圖3 風(fēng)洞試驗(yàn)風(fēng)速和湍流度剖面

本文選取屋蓋表面A區(qū)測點(diǎn)為研究對象，并假設(shè)空心測點(diǎn)○為信息缺失的點(diǎn)，運(yùn)用POD-BPNN方法預(yù)測其風(fēng)壓時程，并通過與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比驗(yàn)證此方法的有效性。

3 風(fēng)荷載特性分析

3.1 數(shù)據(jù)分析

在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中測得建筑物表面上測點(diǎn)的凈風(fēng)壓力pi(t)，再將此壓力pi(t)除以建筑物遠(yuǎn)前方上游來流風(fēng)的平均動壓，得到一個量綱為一的系數(shù)cpi(t)，稱為此測點(diǎn)的風(fēng)壓系數(shù)，如公式(9)所示。模型試驗(yàn)中符號約定以壓力向內(nèi)(壓)為正，向外(吸)為負(fù)。屋蓋表面各點(diǎn)的風(fēng)壓系數(shù)由下列公式給出：

(9)

式中:cpi(t)是試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜕系趇個測壓孔所在位置的風(fēng)壓系數(shù)，pi(t)是該位置上測得的表面風(fēng)壓值，p0和p分別為參考點(diǎn)處測得的平均總壓和平均靜壓。對于懸挑的位置(上下對應(yīng)布置兩個測壓孔)，由上下表面對應(yīng)的測壓點(diǎn)測出的壓力相減得到：

(10)

采用相關(guān)系數(shù)R來評價(jià)本文方法的預(yù)測結(jié)果，其表達(dá)式為：

(11)

3.2 風(fēng)壓特性分析

圖4、5分別給出了0°與45°風(fēng)向角下屋蓋上表面的平均風(fēng)壓系數(shù)和脈動風(fēng)壓系數(shù)分布。從圖4可以看出，當(dāng)氣流垂直于屋蓋邊緣時，在邊緣發(fā)生明顯的分流并產(chǎn)生柱狀渦，在邊緣區(qū)風(fēng)壓系數(shù)達(dá)到-1.05；在斜風(fēng)45°來流工況下，氣流在角部發(fā)生分離，形成錐形渦，并在這種特征湍流作用下產(chǎn)生明顯的高負(fù)壓，負(fù)風(fēng)壓系數(shù)達(dá)到-1.84。從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，脈動風(fēng)壓分布與平均風(fēng)壓分布具有相類似的趨勢。

(a)0°

(a)0°

4 風(fēng)壓預(yù)測

4.1 表面風(fēng)壓Pod特性分析

表1列出了2個風(fēng)向角下屋蓋A區(qū)各階模態(tài)對脈動風(fēng)壓的貢獻(xiàn)情況，可以看出，前10 階模態(tài)對脈動風(fēng)壓的累計(jì)貢獻(xiàn)達(dá)到了80%，而前20階模態(tài)包含了90%以上的能量，且45°風(fēng)向角比其他風(fēng)向角能量累計(jì)更快，這可能與A區(qū)測點(diǎn)處于45°風(fēng)向角下迎風(fēng)前緣有關(guān)。

表1 特征值累積貢獻(xiàn)比例

4.2 脈動風(fēng)壓時程的預(yù)測

為驗(yàn)證POD-BPNN方法預(yù)測脈動風(fēng)壓時程的有效性，對0°與45°風(fēng)向角下空心測點(diǎn)°進(jìn)行了脈動風(fēng)壓的預(yù)測，選取A區(qū)實(shí)心測點(diǎn)?為已知測點(diǎn)并通過POD法計(jì)算本征向量與主坐標(biāo)，根據(jù)測點(diǎn)的空間坐標(biāo)關(guān)系對未知測點(diǎn)本征模態(tài)進(jìn)行插值，再利用式(3)來計(jì)算未知測點(diǎn)的脈動風(fēng)壓時程。利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測未知測點(diǎn)的本征模態(tài)時，以測點(diǎn)坐標(biāo)向量(x,y)為輸入?yún)?shù)，未知測點(diǎn)的本征模態(tài)作為輸出結(jié)果，實(shí)心測點(diǎn)?的本征真模態(tài)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)。根據(jù)已有文獻(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)模擬經(jīng)驗(yàn)[9]，選擇具有兩個隱含層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，兩個隱含層層數(shù)分別為15和10，因此網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為2-15-10-1，各參數(shù)具體取值如表2所示。預(yù)測的具體步驟,見圖2。

表2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)

表3給出了0°與45°風(fēng)向角下基于POD的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對脈動風(fēng)壓的預(yù)測結(jié)果，限于篇幅，這里只給出了部分測點(diǎn)的預(yù)測結(jié)果。從表3中可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法預(yù)測的均方根誤差較小，證明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法是一種可靠的插值方法。從整體而言，平均風(fēng)壓預(yù)測在風(fēng)壓值大小和相關(guān)性都能達(dá)到很好的效果；而對于脈動風(fēng)壓而言，位于氣流分離區(qū)的測點(diǎn)預(yù)測結(jié)果相對較好、相關(guān)性強(qiáng)，位于尾流區(qū)部分其相關(guān)性則相對較弱(如測點(diǎn)56、76、96)。

表3 預(yù)測結(jié)果對比

圖6、圖7分別給出了0°和45°風(fēng)向角下POD-BPNN方法預(yù)測的風(fēng)壓時程與實(shí)驗(yàn)風(fēng)壓時程對比。從圖6、圖7可以看出，除45°風(fēng)向角下56號測點(diǎn)時程值曲線與實(shí)驗(yàn)值吻合度較差，筆者認(rèn)為主要原因是測點(diǎn)位于氣流尾流區(qū)；其它測點(diǎn)所預(yù)測的脈動風(fēng)壓時程曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為一致，瞬時峰值點(diǎn)風(fēng)壓也能較好的符合實(shí)驗(yàn)值。

(a)測點(diǎn)16

(a)測點(diǎn)16

圖8、圖9分別給出了2個典型測點(diǎn)在0°與45°風(fēng)向角下預(yù)測的脈動風(fēng)壓歸譜一化功率曲線。從圖8、圖9可以發(fā)現(xiàn)POD-BPNN方法所預(yù)測的脈動風(fēng)壓功率譜曲線與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果較為吻合，其峰值誤差最大為9.8%。

(a)0°

(a)0°

5 結(jié) 論

本文研究了大跨平屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)壓特性，并結(jié)合本征正交分解法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法預(yù)測出了大跨度開合屋蓋測點(diǎn)的脈動風(fēng)壓時程，并與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了有效對比，得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)大跨平屋蓋結(jié)構(gòu)在迎風(fēng)前沿產(chǎn)生負(fù)風(fēng)壓，特別是下斜風(fēng)作用下，受到特征湍流的作用，在邊緣及邊角區(qū)域產(chǎn)生高負(fù)壓。

(2)POD是一種有效的降維方法，通過POD分解，對與空間有關(guān)的本征模態(tài)進(jìn)行預(yù)測，并與時間主坐標(biāo)相乘累加即可獲得較高精度的預(yù)測結(jié)果。

(3)通過訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來擬合POD本征模態(tài)的非線性關(guān)系，將預(yù)測的本征模態(tài)與時間主坐標(biāo)相乘累加得到風(fēng)致時間序列，得到了可靠的預(yù)測結(jié)果；不論是來流垂直于迎風(fēng)邊緣，還是45°斜風(fēng)作用下，其平均風(fēng)壓預(yù)測誤差小于5%，脈動風(fēng)壓誤差小于7%，表明該P(yáng)OD-BPNN法可以有效用于大跨結(jié)構(gòu)表面風(fēng)壓的預(yù)測。

(4)對于迎風(fēng)的邊角區(qū)域，其風(fēng)壓復(fù)雜，需要增加測點(diǎn)的數(shù)量以獲得更高的預(yù)測精度。