史英沙，黎 勝,2

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 船舶工程學(xué)院，大連 116024；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

反共振是指系統(tǒng)的某個(gè)自由度在特定的頻率激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅值為零[1]。在結(jié)構(gòu)振動(dòng)的頻域響應(yīng)譜中，峰值為結(jié)構(gòu)的共振頻率，而最小值為零時(shí)，在頻域響應(yīng)譜中表現(xiàn)為谷值，此時(shí)的頻率即為反共振頻率[2]。結(jié)構(gòu)共振是系統(tǒng)的總體現(xiàn)象，反共振為系統(tǒng)的局部現(xiàn)象，反共振頻率不僅取決于系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣，還取決于激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)的位置。在工程應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)處于反共振頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)某些部位振動(dòng)消失，因而對反共振頻率的研究有著重要的應(yīng)用價(jià)值[3]，但因?yàn)楣舱耦l率和模態(tài)振型本質(zhì)上決定了線性無阻尼系統(tǒng)的基本動(dòng)態(tài)響應(yīng)特征。因而，目前對結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的相關(guān)研究多集中于對共振頻率計(jì)算和控制，而對結(jié)構(gòu)反共振頻率的關(guān)注相對較少，并且目前反共振概念多應(yīng)用于對系統(tǒng)的隔振控制設(shè)計(jì)[4-9]。近年來，對船體總振動(dòng)的研究較少，馬廣宗等[10]對一萬五千噸干貨船設(shè)計(jì)階段所進(jìn)行的減振設(shè)計(jì)工作進(jìn)行了詳細(xì)介紹，李維嘉等[11]從隔振，動(dòng)力吸振，阻尼減振等被動(dòng)控制和主動(dòng)控制方面，闡述了船舶振動(dòng)控制技術(shù)的發(fā)展。此外部分學(xué)者還考慮了不同方法對船體振動(dòng)的預(yù)測分析[12-17]。

本文針對船體梁模型，提出了一種基于反共振頻率配置的船體振動(dòng)設(shè)計(jì)方法，該方法基于船舶主機(jī)等主要激振力，計(jì)算得到了船體振動(dòng)的反共振頻率，并將激勵(lì)頻率設(shè)置為反共振頻率，使得船體梁的上層建筑或桅桿等重要部位的響應(yīng)為零，并且在配置的反共振頻率下，船體垂向振動(dòng)響應(yīng)明顯減小。本文以一維薄壁混合開閉口船體梁為例，計(jì)算了在主機(jī)外力矩作用下，上層建筑振動(dòng)響應(yīng)為零時(shí)的反共振頻率，并通過結(jié)構(gòu)修改將主機(jī)一階激勵(lì)頻率配置為反共振頻率，并分析了上層建筑的振動(dòng)響應(yīng)變化情況，以及在配置的反共振頻率下，船體梁的響應(yīng)變化情況。

1 基本原理

對于無阻尼多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程如下：

(1)

式中：M,K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣，x為位移向量，f為外激振力向量，且x=Xeiωt，f=Feiωt，所以運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(K-ω2M)X=F

(2)

系統(tǒng)導(dǎo)納H可表示為：

H=(K-ω2M)-1

(3)

所以系統(tǒng)頻率響應(yīng)公式可表達(dá)為：

HF=X

(4)

1.1 反共振頻率的求解計(jì)算

He等[18]用導(dǎo)納方法求解結(jié)構(gòu)反共振頻率的表達(dá)式如下：

(5)

式中：Hpq，Kpq，Mpq分別為導(dǎo)納陣H，剛度陣K和質(zhì)量陣M中劃去第p行和第q列所得到的的導(dǎo)納子矩陣，剛度子矩陣和質(zhì)量子矩陣，det為矩陣行列式運(yùn)算。

由式(5)可知，若要求解系統(tǒng)響應(yīng)為零時(shí)的反共振頻率，只需求解：

det(Kpq-ω2Mpq)=0

(6)

同時(shí)，使得下式成立的頻率為系統(tǒng)固有頻率。

det(K-ω2M)=0

(7)

王波平等[2]基于矩陣方法也求得了結(jié)構(gòu)的反共振頻率。通常結(jié)構(gòu)響應(yīng)可表示為物理坐標(biāo)的線性組合，即響應(yīng)為Resp=CX，且X=Gq，G為轉(zhuǎn)換矩陣，q為系統(tǒng)的模態(tài)坐標(biāo)，所以當(dāng)響應(yīng)為零，即Resp=CGq=0時(shí)，可得到G=null(C)。此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：(K-ω2M)Gq=F，轉(zhuǎn)換矩陣T=null(FT)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程左乘TT可得：

TT(K-ω2M)Gq=TTF=(FTT)T=0

(8)

(9)

1.2 質(zhì)量或剛度修改的反共振頻率配置

當(dāng)系統(tǒng)t處的修改量為bt時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示[3]：

(10)

(11)

式(11)中第t列為

(12)

(13)

(14)

僅修改質(zhì)量陣時(shí)：

(15)

由以上推導(dǎo)可知質(zhì)量修改量和剛度修改的關(guān)系為：

(16)

1.3 質(zhì)量和剛度同時(shí)修改的反共振頻率配置

(17)

其中

(18)

當(dāng)僅改變剛度時(shí)：

(19)

ct1At1+ct2At2+…+cttAtt+…ctnAtn=Δkt(N-M)

(20)

當(dāng)對t位置剛度修改Δkt后，此時(shí)修改表達(dá)式為：

(21)

式(21)可表達(dá)為：

ct1At1+ct2At2+…+(ctt+Δkt)Att+…ctnAtn=0

(22)

由式(16)可知，質(zhì)量修改與剛度修改相關(guān)。假設(shè)在配置反共振頻率ωr時(shí)，單獨(dú)修改剛度時(shí)修改量為Δkt。若先對剛度K中t位置的修改量為aΔkt，0

(23)

式(23)可表達(dá)為：

ct1At1+ct2At2+…+

(24)

aΔkt+(1-a)Δmt， 0

(25)

因此在同一位置t處同時(shí)進(jìn)行剛度和質(zhì)量修改時(shí)，剛度修改和質(zhì)量修改占僅改變質(zhì)量和剛度的比例之和為1。

2 數(shù)值算例

2.1 船體梁模型

本文建立了薄壁變截面混合開閉口一維船體梁模型，如圖1所示。在該模型中，原點(diǎn)位于船艉，X軸指向船艏，Y軸指向左舷，Z軸垂直向上。該船模共19個(gè)單元，20個(gè)節(jié)點(diǎn)，圖(a)為一維船體梁模型，上方標(biāo)注為梁單元位置，下方標(biāo)注為節(jié)點(diǎn)位置。其中，1節(jié)點(diǎn)位于船艉，20節(jié)點(diǎn)位于船艏。各梁單元的長度見表1，各梁單元的形狀見圖(b)和圖(c)。其中E=2.01×1011N/m2，ν=0.3，ρ=7.8×103kg/m3，板厚t=0.002 m，船寬b=0.65 m，艏艉船寬bd=0.25 m，型深h=0.32 m。該船模的前兩階垂向振動(dòng)固有頻率(單位：Hz)為77.087，200.770，與文獻(xiàn)[19]77.737和207.638相對誤差分別為0.84%，3.09%。

(a)一維船體梁模型

在船舶各類總振動(dòng)中，垂向彎曲振動(dòng)最易激起，也最為重要，因此在本文中僅考慮船體梁的垂向彎曲振動(dòng)。該模型共20個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)自由度，X，Z，繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)ROTY，M,K均為60×60的對稱正定矩陣。假設(shè)主機(jī)位于船體梁模型的節(jié)點(diǎn)2處，上層建筑位于梁單元(5)，兩端分別為節(jié)點(diǎn)5和節(jié)點(diǎn)6。

通常船用多缸柴油機(jī)各缸產(chǎn)生的慣性力的合力為零，即柴油機(jī)的不平衡力為零，但由于各缸中慣性力作用在曲軸柄位置不同，因而產(chǎn)生的外力矩不一定為零[20]。在本算例中假設(shè)主機(jī)的外力矩作用于船體2節(jié)點(diǎn)(第6自由度)，上層建筑6節(jié)點(diǎn)處垂向響應(yīng)最小(第17自由度)。系統(tǒng)的固有頻率及在該激勵(lì)位置和響應(yīng)位置時(shí)，使用導(dǎo)納H17,6和矩陣方法分別求解得到的反共振頻率如表2所示，并可知導(dǎo)納方法和矩陣方法具有相同精度。

表2 船體梁固有頻率及反共振頻率

假設(shè)該船模主機(jī)基頻和螺旋槳軸頻均為80 Hz，主機(jī)的二階激勵(lì)頻率為160 Hz，四階激勵(lì)頻率為320 Hz。螺旋槳為3葉，葉頻為240 Hz，倍葉頻為480 Hz。根據(jù)激勵(lì)頻率和頻率儲(chǔ)備可計(jì)算得到船體梁垂向振動(dòng)的前三階頻率范圍，見表3。其中頻率儲(chǔ)備公式如下：

表3 船體梁固有頻率范圍

(26)

式中：fe為激勵(lì)頻率，fi為船體總振動(dòng)固有頻率，η為頻率儲(chǔ)備。按規(guī)范[21]，其前三階的固有頻率一般應(yīng)與激勵(lì)頻率分別錯(cuò)開10%～15%，15%～20%，20%～30%。在本文中分別選取為10%，15%，20%。

2.2 質(zhì)量修改

在選用該主機(jī)和螺旋槳的情況下，由表3可知，此時(shí)船體一階垂向固有頻率不滿足頻率儲(chǔ)備，需要對船體梁進(jìn)行修改。把主機(jī)一階激勵(lì)頻率80 Hz配置為船體梁反共振頻率，主機(jī)外力矩作用于船體梁2節(jié)點(diǎn)處，上層建筑6節(jié)點(diǎn)的垂向響應(yīng)為零，通過對船體梁中單元(10)和(11)的Z方向的質(zhì)量進(jìn)行調(diào)整，使得質(zhì)量陣中M(32,32)的改變量為Δm32,32=55.576 kg?？蓪Υw貨艙進(jìn)行調(diào)整，將此處設(shè)置為貨艙或壓載艙。

圖2為在第32自由度處結(jié)構(gòu)修改后，系統(tǒng)導(dǎo)納H17,6的響應(yīng)曲線，前三階反共振頻率分別為80.00 Hz，313.56 Hz，497.19 Hz，并且船體梁在80 Hz垂向振動(dòng)響應(yīng)如圖3，由圖可知在6節(jié)點(diǎn)處垂向振動(dòng)響應(yīng)為零，并且船體梁在80 Hz時(shí)的垂向振動(dòng)響應(yīng)與修改前相比明顯減小，并均接近于零。因此由圖2,3可知，質(zhì)量修改后成功配置出80 Hz的反共振頻率。在對船體梁(10)和(11)垂向質(zhì)量調(diào)整使得M(32,32)修改后，其前三階固有頻率分別為64.67 Hz，185.27 Hz，319.94 Hz，由表3可知均滿足頻率儲(chǔ)備，符合設(shè)計(jì)要求。此外，結(jié)構(gòu)修改后將船體梁的前三階振型歸一化處理，如圖4所示。在單元(10)和(11)增加垂向質(zhì)量的修改后，船體梁的振型變化較為平緩。

圖2 第32自由度處結(jié)構(gòu)修改后導(dǎo)納H17,6響應(yīng)曲線

圖3 80 Hz時(shí)船體垂向振動(dòng)響應(yīng)

圖4 船體梁振型 修改前—— M(32,32)修改后----

2.3 剛度修改

在船體梁(1)和(2)單元中Z方向剛度進(jìn)行調(diào)整使得K(2,2)修改后，反共振頻率分別為23.96 Hz，80.00 Hz，126.24 Hz。在80 Hz時(shí)，主機(jī)外力矩作用于2節(jié)點(diǎn)時(shí)，船體梁的垂向振動(dòng)響應(yīng)如圖6所示，在節(jié)點(diǎn)6處響應(yīng)為零，因此由圖5和圖6可知，在剛度修改后成功配置出80 Hz反共振頻率，并且在配置的反共振頻率下船體梁的垂向振動(dòng)明顯減小，并接近于零。

圖5 第2自由度結(jié)構(gòu)修改導(dǎo)納H17,6響應(yīng)曲線

圖6 80 Hz時(shí)船體垂向振動(dòng)響應(yīng)

在船體梁剛度K(2,2)修改后，將船體梁的前三階振型歸一化處理后如圖7所示，根據(jù)振型可知，在配置的反共振頻率80 Hz兩側(cè)存在兩個(gè)一階振型，分別為43.19 Hz和102.74 Hz，因而船體梁前三階固有頻率分別為43.19 Hz，102.74 Hz，211.52 Hz，361.22 Hz，由表3可知滿足頻率儲(chǔ)備，因而符合設(shè)計(jì)要求。結(jié)構(gòu)修改后歸一化的船體梁振型,圖7所示。

圖7 船體梁振型 修改前—— K(2,2)修改后----

2.4 剛度與質(zhì)量同時(shí)修改

(a)結(jié)構(gòu)修改后導(dǎo)納H17,6響應(yīng)曲線

3 結(jié) 論

本文針對船體梁的主要激勵(lì)，求解得到了船體梁的反共振頻率，并提出了一種基于船體反共振頻率配置的船體振動(dòng)設(shè)計(jì)方法。該方法將主機(jī)某階激勵(lì)頻率設(shè)置為反共振頻率，對船體結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛度，質(zhì)量修改，可使得船體的上層建筑或桅桿等重要部位在該反共振頻率下振動(dòng)響應(yīng)為零，并可明顯減小該頻率下船體振動(dòng)響應(yīng)。通過修改位置的調(diào)整，可以改變船體的固有頻率，使其滿足設(shè)計(jì)要求，因而該方法對船體總振動(dòng)設(shè)計(jì)有一定的參考意義。

此外本文基于船體垂向振動(dòng)的研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在對結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改時(shí)，單獨(dú)修改剛度，質(zhì)量，以及同時(shí)對質(zhì)量和剛度進(jìn)行修改都可實(shí)現(xiàn)預(yù)期反共振配置的效果，同時(shí)對質(zhì)量和剛度進(jìn)行修改時(shí)，在配置的反共振頻率下，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)與單獨(dú)修改質(zhì)量或剛度的效果相同，且在實(shí)際工程中剛度和質(zhì)量修改量與原有僅修改剛度和質(zhì)量的修改量的比例之和為1。