王 璐,肖 敏,周 帥,張躍中

(南京郵電大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇南京 210023)

1 引言

計(jì)算機(jī)技術(shù)、通信技術(shù)和嵌入式技術(shù)的發(fā)展,極大豐富和便利了人類的生活.由于低功耗、高容量、小尺寸計(jì)算設(shè)備的出現(xiàn),無線通信技術(shù)的不斷革命,豐富的互聯(lián)網(wǎng)帶寬資源持續(xù)涌現(xiàn),以及低成本、高性能的硬件產(chǎn)品不斷優(yōu)化等大環(huán)境的影響,人們對計(jì)算資源和物理資源的需求已由擴(kuò)充系統(tǒng)功能轉(zhuǎn)化為資源的合理整合利用與調(diào)度優(yōu)化,并且希望所提供的網(wǎng)絡(luò)信息服務(wù)更安全、靈活和智能.在此類需求的刺激下,促進(jìn)了信息物理融合系統(tǒng)(cyber-physical systems,CPS)的產(chǎn)生.類似互聯(lián)網(wǎng)改變了人與人之間的交互方式一樣,CPS的出現(xiàn)將會改變?nèi)祟惻c周圍物理世界之間的交互和控制方式[1].CPS是一種綜合計(jì)算,通信和物理環(huán)境的新型智能系統(tǒng)[2],通過嵌入計(jì)算、通信和控制技術(shù)到物理環(huán)境所有類型的物體結(jié)構(gòu)中,將計(jì)算資源和物理資源進(jìn)行有機(jī)融合與深度協(xié)作,實(shí)現(xiàn)大規(guī)模物理系統(tǒng)的實(shí)時(shí)感知、信息服務(wù)和動態(tài)控制,從而產(chǎn)生巨大的社會影響和經(jīng)濟(jì)效益.2006年美國國家自然基金委員會首次提出CPS的概念.2007 年,CPS居美國信息技術(shù)領(lǐng)域八大重要信息技術(shù)研發(fā)之首.由于信息技術(shù)的高速發(fā)展,CPS在醫(yī)療設(shè)備、航空航天系統(tǒng)、交通運(yùn)輸、智能電網(wǎng)、國防系統(tǒng)、機(jī)器人系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、建筑和環(huán)境控制以及智能空間等眾多領(lǐng)域應(yīng)用越來越廣泛[3-6],成為建設(shè)人類未來智慧城市的基礎(chǔ),引起了世界各國、學(xué)術(shù)領(lǐng)域和商業(yè)界的關(guān)注和重視[7-9].

國家電網(wǎng)、核電站、鐵路、空中交通管制、水/污水基礎(chǔ)設(shè)施、銀行系統(tǒng)等關(guān)鍵的基礎(chǔ)設(shè)施均屬于CPS,因此確保其安全性和可信性是推動CPS進(jìn)一步發(fā)展的首要問題.但CPS的生存環(huán)境十分復(fù)雜,并且容易受到很多因素的干擾、侵襲或者遭受惡意病毒的攻擊[10-11],以至于時(shí)常會產(chǎn)生無法滿足人們預(yù)期要求的情形,從而引發(fā)系統(tǒng)故障或造成系統(tǒng)失調(diào),最終導(dǎo)致眾多CPS應(yīng)用領(lǐng)域遭受嚴(yán)重?fù)p失[12-14],給國家基礎(chǔ)設(shè)施和人民群眾的生命財(cái)產(chǎn)安全帶來巨大的威脅.例如,2010年6月首次檢測出來的“震網(wǎng)”病毒[15],是首個(gè)專門定向攻擊物理世界中基礎(chǔ)能源設(shè)施的惡意病毒.當(dāng)時(shí)伊朗境內(nèi)的核工廠與諸多工業(yè)企業(yè)昂貴的控制系統(tǒng)出現(xiàn)意外,都是因?yàn)槭堋罢鹁W(wǎng)”的攻擊所致.隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,越來越多的人開始研究病毒技術(shù),病毒的數(shù)量、被攻擊的平臺數(shù)以及病毒的復(fù)雜性和多樣性都開始顯著提高.現(xiàn)代病毒不僅更為智能,且其攻擊機(jī)制也更為復(fù)雜,這預(yù)示著惡意病毒使用的技術(shù)將開啟一個(gè)新的時(shí)代,CPS面臨著嚴(yán)峻的危機(jī)與挑戰(zhàn)[16-17].因此,為提高CPS的安全性和可靠性,必須首先明確惡意病毒在CPS中的傳播機(jī)理和動力學(xué)行為.

由于系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)之間病毒信號的傳輸需要一定的時(shí)間,一切感染攻擊系統(tǒng)的行為都是隨著時(shí)間的變化而發(fā)生演化,因此惡意病毒的傳播是一個(gè)逐步實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)進(jìn)行破壞的動態(tài)過程[18].在這個(gè)動態(tài)過程中,由于人為因素對系統(tǒng)的防御保護(hù),以及系統(tǒng)物理組件的電容,有限的阻抗等客觀因素的存在,會讓病毒信號的傳輸產(chǎn)生延遲,因此惡意病毒在CPS的傳播過程中出現(xiàn)時(shí)滯的現(xiàn)象是不可避免的[19-22].一般情況下,時(shí)滯對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有干擾和破壞作用[23-25],會導(dǎo)致系統(tǒng)平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定,產(chǎn)生非常復(fù)雜的分岔、混沌等動力學(xué)行為[26-28],這對于CPS的可信性[29]會產(chǎn)生非常惡劣的影響.

CPS與人類的生活和社會的發(fā)展密切相連,在國防系統(tǒng)、國家電網(wǎng)、航天系統(tǒng)等關(guān)鍵CPS中,分岔、混沌等不利的動力學(xué)行為會引發(fā)電壓震蕩、信息擁塞等故障,這會嚴(yán)重影響CPS的可信性,所以研究帶有時(shí)滯的惡意病毒在CPS中的傳播機(jī)理是十分必要且重要的.但在傳統(tǒng)CPS惡意病毒傳播模型的研究中,并沒有考慮到時(shí)滯對系統(tǒng)的影響[30],因此傳統(tǒng)模型不能準(zhǔn)確刻畫出惡意病毒在CPS中真實(shí)的傳播過程.為提高系統(tǒng)的正確性和可靠性,對CPS中帶有時(shí)滯的惡意病毒傳播模型進(jìn)行描述、分析和驗(yàn)證,從而有效提高系統(tǒng)的正確性、安全性、可用性和可靠性等可信屬性,這對于建設(shè)和發(fā)展高可信的CPS具有重要意義.

CPS將離散而強(qiáng)大的計(jì)算邏輯與物理和工程系統(tǒng)結(jié)合在一起,以監(jiān)視和控制物理和工程系統(tǒng)的連續(xù)動態(tài).而惡意病毒的傳播會致使CPS出現(xiàn)叉型、鞍結(jié)點(diǎn)、Neimark-Sacker、Hopf等多種分岔現(xiàn)象.通過非線性動力學(xué)理論研究惡意病毒在CPS傳播過程中的動力學(xué)行為,對于掌握惡意病毒的內(nèi)在特性具有重要意義.其中,Hopf分岔是一種常見的動態(tài)分岔現(xiàn)象[31-34].目前,在Hopf 分岔研究方面,已獲得了許多重要成果[35-39].對Hopf分岔的研究不僅有助于理解惡意病毒在CPS傳播過程中的數(shù)學(xué)理論依據(jù)和背景,而且為預(yù)防惡意病毒在CPS中的傳播可以提供可能的途徑.因此研究帶有時(shí)滯的惡意病毒在CPS中的傳播機(jī)理和分岔現(xiàn)象具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值.

綜上所述,在傳輸時(shí)延環(huán)境下,針對信息物理融合系統(tǒng)提出了一類具有時(shí)滯的惡意病毒傳播模型,并研究了該類系統(tǒng)的動力學(xué)特性.本文的主要貢獻(xiàn)如下:

1) 考慮到時(shí)滯不可被忽略的現(xiàn)實(shí)客觀因素,并結(jié)合惡意病毒在信息物理融合系統(tǒng)中的傳播特點(diǎn),本文提出一類更具一般性的時(shí)滯惡意病毒傳播模型.

2) 選取時(shí)滯作為分岔參數(shù),研究了時(shí)滯對系統(tǒng)局部穩(wěn)定性和Hopf分岔的影響.

3) 討論了模型參數(shù)對惡意病毒傳播過程的影響,發(fā)現(xiàn)分岔點(diǎn)τ0與感染率a成反比,與預(yù)防效果系數(shù)p成正比.

2 模型描述

當(dāng)CPS被某一類惡意病毒攻擊時(shí),CPS并不會立刻淪陷,惡意病毒在CPS中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)傳播時(shí)均需要一定的時(shí)間.設(shè)初始時(shí)刻CPS中含有可以被惡意病毒操縱的漏洞節(jié)點(diǎn),可稱該漏洞節(jié)點(diǎn)為易感染節(jié)點(diǎn)(susceptible node);經(jīng)過一定時(shí)間后,惡意病毒被激活后開始進(jìn)行猛烈地主動攻擊,易感染節(jié)點(diǎn)被吞噬轉(zhuǎn)化為感染節(jié)點(diǎn)(infectious node);當(dāng)惡意病毒的破壞作用被用戶察覺后,用戶將進(jìn)行殺毒治愈措施修復(fù)系統(tǒng),感染惡意病毒較輕的節(jié)點(diǎn)直接被治愈,轉(zhuǎn)化為恢復(fù)節(jié)點(diǎn)(recovered node);惡意病毒吞噬嚴(yán)重的節(jié)點(diǎn)被隔離,轉(zhuǎn)化為隔離節(jié)點(diǎn)(quarantine node),該節(jié)點(diǎn)經(jīng)過修復(fù)治愈后轉(zhuǎn)化為恢復(fù)節(jié)點(diǎn);恢復(fù)節(jié)點(diǎn)經(jīng)過一段時(shí)間后喪失免疫功能又重新轉(zhuǎn)化為新的易感節(jié)點(diǎn).上述4種節(jié)點(diǎn)分別簡稱為S態(tài)節(jié)點(diǎn)、I態(tài)節(jié)點(diǎn)、R態(tài)節(jié)點(diǎn)以及Q態(tài)節(jié)點(diǎn).各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化流程如圖1所示,其中:

1) 所有新接入的節(jié)點(diǎn)均視為S態(tài)節(jié)點(diǎn).

2) 為防御惡意病毒的攻擊,用戶會對S態(tài)節(jié)點(diǎn)采用一定的防御行為,所以S態(tài)節(jié)點(diǎn)會經(jīng)過一定的潛伏期τ1后才會轉(zhuǎn)化為I態(tài)節(jié)點(diǎn).此類防御行為的成效與被感染率成反比,因此設(shè)被感染率為,其中a是感染率,p是預(yù)防效果系數(shù).

3) 感染較輕的I態(tài)節(jié)點(diǎn)以治愈率b經(jīng)過一定的治愈期τ2被修復(fù)為R態(tài)節(jié)點(diǎn),感染嚴(yán)重的I態(tài)節(jié)點(diǎn)會以隔離率c經(jīng)過一定的隔離期τ4轉(zhuǎn)換為Q態(tài)節(jié)點(diǎn),再以治愈率d經(jīng)過一定的治愈期τ5被修復(fù)為R態(tài)節(jié)點(diǎn).

4)R態(tài)節(jié)點(diǎn)經(jīng)過一定的免疫期τ3后失去免疫能力轉(zhuǎn)化為S態(tài)節(jié)點(diǎn),其轉(zhuǎn)化率為q.

5) 當(dāng)CPS穩(wěn)定運(yùn)行時(shí),系統(tǒng)中的各節(jié)點(diǎn)處于動態(tài)平衡狀態(tài),即新接入系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目與退出系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目基本一致,接入率v與退出率u相等.

6) 接入率v、退出率u、預(yù)防效果系數(shù)p、感染率a、隔離率c、治愈率b與d、轉(zhuǎn)化率q均為非負(fù)數(shù).

圖1 SIQR模型節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化示意圖Fig.1 Node transformation in SIQR

由于CPS是一個(gè)具有動態(tài)性、自適應(yīng)性等特性的分布式復(fù)雜系統(tǒng),其系統(tǒng)行為很難預(yù)測.并且以往惡意病毒的傳播模型不能準(zhǔn)確刻畫惡意病毒在CPS中的實(shí)際傳播過程,因此許多研究者考慮到CPS的動態(tài)性和自適應(yīng)性等特點(diǎn),結(jié)合節(jié)點(diǎn)隔離機(jī)制與鏈路重連機(jī)制逐步建立了很多惡意病毒在CPS中的傳播動力學(xué)模型[30,40].在文獻(xiàn)[30]中,作者考慮到CPS 節(jié)點(diǎn)動態(tài)接入和退出等特征,進(jìn)一步發(fā)展完善了CPS 中惡意病毒的傳播模型,即易感-感染-隔離-治愈(susceptibleinfected-quarantined-recovered,SIQR)模 型.眾 所 周知,時(shí)滯是不可避免的,然而文獻(xiàn)[30]忽略了惡意病毒在傳播過程中的時(shí)滯因素.如文獻(xiàn)[24-27]所述,有必要將時(shí)滯納入動力系統(tǒng),以便依據(jù)時(shí)滯反映系統(tǒng)的動力學(xué)行為.因此,基于文獻(xiàn)[30]中的SIQR模型,本文考慮具有時(shí)滯的系統(tǒng)

注1在以往CPS惡意病毒傳播模型的研究中[30],并沒有考慮到時(shí)滯對系統(tǒng)的影響.但惡意病毒在CPS的傳播過程中出現(xiàn)時(shí)滯的現(xiàn)象是不可避免的,因此傳統(tǒng)模型[30]并不能準(zhǔn)確刻畫出惡意病毒在CPS中真實(shí)的傳播過程.本文為提高系統(tǒng)的正確性和可靠性,在文獻(xiàn)[30]的基礎(chǔ)上將時(shí)滯因素納入動力系統(tǒng),以便依據(jù)時(shí)滯反映系統(tǒng)的動力學(xué)行為.

注2值得注意的是,S態(tài)節(jié)點(diǎn)會經(jīng)過潛伏期τ1后才會轉(zhuǎn)化為I態(tài)節(jié)點(diǎn),I態(tài)節(jié)點(diǎn)要經(jīng)過隔離期τ4后才會轉(zhuǎn)換為Q態(tài)節(jié)點(diǎn),I態(tài)節(jié)點(diǎn)和Q態(tài)節(jié)點(diǎn)均分別需要經(jīng)過相應(yīng)的治愈期τ2和τ5后才會被修復(fù)為R態(tài)節(jié)點(diǎn),同樣R態(tài)節(jié)點(diǎn)在經(jīng)過一定的免疫期τ3后失去免疫能力轉(zhuǎn)化為S態(tài)節(jié)點(diǎn).顯然,時(shí)滯對各態(tài)節(jié)點(diǎn)均有滯后影響.但傳統(tǒng)CPS惡意病毒傳播模型研究[30,40]忽略了各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)變必然存在的時(shí)間延遲.如文獻(xiàn)[41-42]所述,有必要將時(shí)滯納入動力系統(tǒng),以便根據(jù)系統(tǒng)的真實(shí)過程來反映系統(tǒng)的動力學(xué)行為.因此本文提出了一類帶有時(shí)滯的惡意病毒傳播模型,更具有一般性.

3 局部穩(wěn)定性和Hopf分岔分析

為了研究帶有時(shí)滯的惡意病毒在CPS中的傳播機(jī)理,需要對所建動力學(xué)模型進(jìn)行穩(wěn)定性和Hopf分岔分析,從而為消除或延遲惡意病毒傳播過程中引發(fā)的不利分岔行為提供理論依據(jù).

令系統(tǒng)(1)中的方程右端等于0,可知系統(tǒng)(1)恒有平衡點(diǎn)O?=(S?,I?,Q?,R?).將系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O?=(S?,I?,Q?,R?)處線性化,得

考慮到CPS的工程意義,惡意病毒在CPS中的傳播行為,可以看做是一個(gè)攻擊與防守治愈的對抗過程.攻擊階段為S態(tài)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成I態(tài)節(jié)點(diǎn)的過程,防守治愈階段為I態(tài)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成S態(tài)節(jié)點(diǎn)的過程.這兩個(gè)過程在當(dāng)今時(shí)代同等技術(shù)手段下花費(fèi)的時(shí)間相近.由圖1可知,防守治愈階段有兩條路徑,每條路徑上耗費(fèi)的時(shí)間基本相似.因此,假設(shè)τ1=τ2+τ3=τ3+τ4+τ5=τ.特征方程(3)化為

注3多時(shí)滯的出現(xiàn)增加了特征方程中超越項(xiàng)的復(fù)雜性,使動力學(xué)分析復(fù)雜化.因此,目前大多數(shù)的文獻(xiàn)[43-45]都對時(shí)滯作了相應(yīng)的假設(shè),以簡化動力學(xué)的理論分析.例如,文獻(xiàn)[43]中假設(shè)傳輸時(shí)滯和反饋時(shí)滯的總和是一個(gè)組合參數(shù).在文獻(xiàn)[44]中,假定不同層中同一位置神經(jīng)元的時(shí)滯之和相等.文獻(xiàn)[45]采用了這樣的假設(shè),即獵物的反饋時(shí)滯與成熟捕食者懷孕所產(chǎn)生的時(shí)滯相等.因此,在本文中假設(shè)攻擊與防守治愈花費(fèi)的時(shí)間相等來簡化特征方程.

3.1 無時(shí)滯的情形τ=0

當(dāng)τ=0時(shí),式(5)轉(zhuǎn)化為

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù),可得到以下引理.

引理1當(dāng)τ=0時(shí),如果Hi >0(i=1,2,3,4),則系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O?=(S?,I?,Q?,R?)附近是局部漸近穩(wěn)定的.

3.2 含有時(shí)滯的情形τ0

3.3 驗(yàn)證穿越條件

從而可以得到如下引理:

引理3如果M1M3+M2M4>0,則>0.

根據(jù)上述引理1?3,可得到下列定理:

定理1i) 當(dāng)τ=0時(shí),如果Hi>0(i=1,2,3,4),則系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O?=(S?,I?,Q?,R?)附近是漸近穩(wěn)定的;

ii) 如果Dσ >0(σ=1,2,···,7)且D8<0,那么當(dāng)τ ∈[0,τ0)時(shí),系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O?=(S?,I?,Q?,R?)附近是漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ >τ0時(shí),系統(tǒng)(1)處于不穩(wěn)定狀態(tài);

iii) 如果ii)中所述的條件成立,則當(dāng)τ穿過τ0時(shí),系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O?=(S?,I?,Q?,R?)處產(chǎn)生Hopf分岔,其中τ0是最小的臨界點(diǎn).

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證上述理論分析的正確性,采用一個(gè)具體的數(shù)值仿真示例來研究帶有時(shí)滯的惡意病毒在CPS中的穩(wěn)定性和分岔動力學(xué).選取文獻(xiàn)[30]中相同的一組參數(shù)值,即a=0.35,b=0.08,c=0.1,d=0.1,u=0.05,v=0.05,p=0.1,q=0.15,選擇時(shí)滯τ作為分岔參數(shù),可得到系統(tǒng)(1)的如下示例:

通過計(jì)算,系統(tǒng)(14)的唯一平衡點(diǎn)為O?=(0.703,0.124,0.082,0.091),并得到ω0=0.08,τ0=14.08.

圖2(a)表明,當(dāng)τ=13.5<τ0時(shí),各態(tài)節(jié)點(diǎn)曲線最終均收斂成一條直線,表明系統(tǒng)(14)在平衡點(diǎn)O?附近是漸近穩(wěn)定的.相反,圖3(a)表明,當(dāng)τ=14.11>τ0時(shí),各態(tài)節(jié)點(diǎn)曲線發(fā)生震蕩,表明系統(tǒng)(14)變得不穩(wěn)定,在平衡點(diǎn)O?附近產(chǎn)生Hopf分岔.

從相圖來看,圖2和圖3中的(b)(c)(d)為S(t),I(t),Q(t),R(t)之間的相位關(guān)系圖.相位圖也清晰地表明當(dāng)τ=13.5<τ0時(shí),曲線收斂到一個(gè)極限點(diǎn),即平衡點(diǎn)O?,如圖2(b)(c)(d)所示.相反,當(dāng)τ=14.11>τ0時(shí),曲線產(chǎn)生一個(gè)極限環(huán),這意味著Hopf分岔的發(fā)生,如圖3(b)(c)(d)所示.

圖2 當(dāng)τ=13.5<τ0=14.08時(shí),系統(tǒng)(14)的波形圖與相位圖Fig.2 Waveform and phase diagram of system(14)when τ=13.5<τ0=14.08

圖3 當(dāng)τ=14.11>τ0=14.08時(shí),系統(tǒng)(14)的波形圖與相位圖Fig.3 Waveform and phase diagram of system(14)when τ=14.11>τ0=14.08

本文進(jìn)一步研究了模型參數(shù)對惡意病毒傳播過程的影響,圖4表明,分岔點(diǎn)τ0與感染率a成反比,與預(yù)防效果系數(shù)p成正比.

顯而易見,當(dāng)感染率a增大時(shí),分岔點(diǎn)τ0減小,即穩(wěn)定閾值變小,系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差.反之,當(dāng)預(yù)防效果系數(shù)p增大時(shí),分岔點(diǎn)τ0也增大,即穩(wěn)定閾值擴(kuò)大,穩(wěn)定性增強(qiáng),此時(shí)系統(tǒng)不易被病毒入侵.

圖4 系統(tǒng)參數(shù)a=ak,p=pk(k=1,2,···,6)時(shí),感染率a和預(yù)防效果系數(shù)p對系統(tǒng)(14)分岔點(diǎn)τ0的影響Fig.4 The influences of parameters a=ak,p=pk(k=1,2,···,6)on the bifurcation point τ0 for system(14)

注4本文數(shù)值仿真選取文獻(xiàn)[30]中相同的系統(tǒng)參數(shù).當(dāng)τ=0時(shí),系統(tǒng)(14)退化為文獻(xiàn)[30]中的無時(shí)滯系統(tǒng),此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的.當(dāng)τ=8.1時(shí),由圖5(a)可知系統(tǒng)(14)仍處于穩(wěn)定狀態(tài).但當(dāng)τ=18.36時(shí),由圖5(b)可知系統(tǒng)(14)發(fā)生Hopf分岔,失去穩(wěn)定性.由此可知,當(dāng)τ取值較小時(shí),系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定,但當(dāng)τ值增大并超過閾值τ0時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)定性遭到破壞.因此研究信息物理融合系統(tǒng)中的病毒傳播動力學(xué),充分考慮時(shí)滯因素是十分必要的.

圖5 當(dāng)τ為不同的數(shù)值時(shí),系統(tǒng)(14)的波形圖Fig.5 The waveform of system(14)when τ is equal to different values

5 結(jié)論

時(shí)滯作為一種可變因素,非常容易影響CPS的穩(wěn)定性.因此,本文結(jié)合惡意病毒在CPS中的傳播特點(diǎn),在SIQR模型[30]的基礎(chǔ)上,引入了時(shí)滯因素,研究了帶有時(shí)滯的SIQR模型的傳播動力學(xué).選取時(shí)滯作為分岔參數(shù),利用特征方程導(dǎo)出了系統(tǒng)局部穩(wěn)定性和發(fā)生Hopf分岔的充分條件.研究發(fā)現(xiàn),時(shí)滯對CPS的穩(wěn)定性具有重要的影響作用.當(dāng)時(shí)滯的取值適當(dāng)小時(shí),CPS則處于漸近穩(wěn)定狀態(tài).若時(shí)滯的取值超過了臨界點(diǎn),CPS會發(fā)生Hopf分岔,系統(tǒng)失去穩(wěn)定性,此種情況不利于對惡意病毒的傳播進(jìn)行控制.最后通過一組仿真實(shí)例驗(yàn)證了理論的有效性和可行性.