相 赟,林 崇,陳 兵

(青島大學自動化學院復雜性科學研究所,山東青島 266071)

1 引言

網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)是通過通信網(wǎng)絡連接傳感設備,控制設備以及執(zhí)行設備而構成.由于網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)具有成本低,靈活性等優(yōu)勢,因此網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應用于無人機系統(tǒng)、智能運輸系統(tǒng)等領域.然而,數(shù)據(jù)包通過網(wǎng)絡傳輸,會出現(xiàn)丟包、時滯等現(xiàn)象,會使系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定.至今有大量文獻對網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)進行了研究[1-4].

近年來,傳統(tǒng)時間觸發(fā)方案不能使網(wǎng)絡資源得到充分的利用[5-7],而事件觸發(fā)方案能夠克服時間觸發(fā)存在的缺點[1,3],通過預先設置一個事件觸發(fā)條件,來決定數(shù)據(jù)包是否需要傳輸?shù)酵ㄐ啪W(wǎng)絡中,從而提高網(wǎng)絡資源利用率.文獻[8]解決了區(qū)間2型模糊系統(tǒng)框架下的網(wǎng)絡化非線性控制系統(tǒng)事件觸發(fā)濾波器設計問題,在參數(shù)不確定,數(shù)據(jù)量化及具有網(wǎng)絡時滯的框架下進行事件觸發(fā)濾波器設計,事件觸發(fā)優(yōu)點是可減少有限網(wǎng)絡資源的使用,并給誤差跟蹤和網(wǎng)絡資源利用率提供權衡;文獻[9]研究了基于事件觸發(fā)方案連續(xù)Takagi-Sugeno(T--S)模糊系統(tǒng)的H2降階濾波器設計問題,降階濾波器旨在將原始模型轉化為線性低階的,提出新的事件觸發(fā)方案來減少網(wǎng)絡通信負載和計算資源.文獻[10]研究了基于事件的故障檢測濾波器在網(wǎng)絡環(huán)境中的問題,通過利用Lyapunov-Krasovskii 泛函(LKF),得到濾波器和觸發(fā)器參數(shù)共同設計的充分條件.文獻[11-14]提出了自適應事件觸發(fā)方案,從而避免系統(tǒng)資源的不必要消耗.如何建立一個更好的自適應事件觸發(fā)方案,不僅可以降低結果的保守性,而且可以節(jié)省系統(tǒng)資源,這是激發(fā)作者研究本文的第一個動力.

實際系統(tǒng)通常具有非線性特性,這使得對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析與設計變得十分困難.1985年,著名的T--S模糊系統(tǒng)提出來,用于復雜非線性系統(tǒng)的建模及控制,其主要特征是通過模糊隸屬函數(shù)將局部線性模型疊加而成全局非線性模型.文獻[15]將帶有間歇時變時滯的非線性系統(tǒng)通過T--S模糊方法進行穩(wěn)定性分析與鎮(zhèn)定性控制,LKF中的所有積分項均使用時滯分解方法,進而得到新的時滯相關的穩(wěn)定性條件.文獻[16]對帶有時變時滯的連續(xù)T--S模糊系統(tǒng)通過建立新的LKF進行了穩(wěn)定性分析,LKF的積分取決于積分變量和時間t,從而減少了線性矩陣不等式的數(shù)量,通過分析隸屬函數(shù)的時間導數(shù)符號對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析.文獻[17]基于T--S模糊模型,通過構造增廣的LKF,研究了一類具有時滯的不確定模糊中立型隨機系統(tǒng)的魯棒H∞濾波器設計問題.文獻[18]提出一種新的時滯劃分方法-變時滯劃分法,以解決連續(xù)時滯T--S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題.文獻[19-20]采用模糊線積分,建立了模糊李雅普諾夫泛函,從而避免了求解隸屬函數(shù)的時間微分,不同于文獻[21]要事先知道隸屬函數(shù)的時間微分.模糊李雅普諾夫泛函比二次李雅普諾夫泛函能更好降低結果的保守性.這激發(fā)了本文利用模糊線積分建立模糊李雅普諾夫泛函來研究模糊濾波設計問題.

在噪聲系統(tǒng)中,狀態(tài)變量不可獲得時,經(jīng)常用濾波估計不可獲得的狀態(tài)或者它們的線性組合.H∞濾波具有不需知道外界擾動信號且能很好的處理系統(tǒng)參數(shù)不確定性的優(yōu)點.文獻[22]考慮一類同時帶有非線性動態(tài)和參數(shù)不確定性的離散時滯系統(tǒng)的魯棒H∞濾波設計問題,給出使誤差系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定且達到指定的干擾抑制水平的濾波器,文獻[23]分別就前提變量已知與未知設計H∞模糊濾波器,Lyapunov函數(shù)中的隸屬函數(shù)的時間導數(shù)通過切換方法進行處理.然后,針對前提變量的不同情況,設計了不同的切換濾波器.文獻[24-25]基于事件觸發(fā)方案對H∞濾波進行設計,文獻[24]考慮到事件觸發(fā)方案和網(wǎng)絡通信時滯的影響,所以是在異步前提和時滯框架下設計的濾波器,通過使用重構異步前提的方法,降低結果的保守性.文獻[25]針對觸發(fā)條件和模糊濾波器,設計了一種新的共同設計方法,以保證相應的濾波誤差系統(tǒng)在規(guī)定的干擾衰減水平下漸近穩(wěn)定.文獻[26]研究了基于事件觸發(fā)的故障檢測濾波的設計,以生成殘留信號并檢測系統(tǒng)故障.這激發(fā)了作者將非線性系統(tǒng)經(jīng)過模糊建模轉換為T--S模糊系統(tǒng),然后設計滿足H∞性能的模糊濾波器.

本文研究基于新的自適應事件觸發(fā)方案設計滿足H∞性能的模糊濾波器問題.首先,非線性系統(tǒng)通過T--S模糊模型建模.為了節(jié)省網(wǎng)絡資源,提出了新的自適應事件觸發(fā)方案,決定采樣測量輸出是否應該釋放到網(wǎng)絡中.在事件觸發(fā)方案的框架下,濾波誤差系統(tǒng)被建立為時滯系統(tǒng),通過建立模糊線積分以及簡單的李雅普諾夫泛函,再利用Wirtinger不等式及倒凸引理結合的技術對負定項進行放縮,從而對系統(tǒng)滿足H∞性能進行分析.在此基礎上,通過解耦技術對此系統(tǒng)設計滿足H∞性能的模糊濾波器.

符號說明:上標?1和T分別代表矩陣的逆和轉置;P >0代表實對稱正定矩陣;“?”代表對稱矩陣中的轉置元素;Rn,Rm,Rp分別代表n維、m維、p維歐氏空間;N代表非負整數(shù)集;‖·‖表示歐氏范數(shù);diag{···}表示分塊對角矩陣;col{·}表示列向量;平方可積函數(shù)集合用L2[0,∞)表示.若w(t)∈L2[0,∞),則

2 問題描述與準備

考慮非線性系統(tǒng):

對式(2)進行模糊融合,可以得到下列全局模糊模型:

為了后續(xù)的進展,本文給出以下假設:

假設1[13]系統(tǒng)測量輸出是通過定長周期h進行采樣.

假設2[13]從采樣器到事件生成器再到濾波器的網(wǎng)絡誘導時滯總記為τtk(tk是基于時間采樣時刻),滿足的最大值.

假設3[28]數(shù)據(jù)包是單個傳輸?shù)?傳輸過程中丟包現(xiàn)象不會發(fā)生在整個控制過程.

假設1說明采樣器保持定常的采樣周期h,零階保持器(zero order holder,ZOH)用于保持采樣的測量輸出信號,直到出現(xiàn)新采樣測量輸出才會使其值改變;假設2所說的總時滯是包括等待時滯、計算時滯、網(wǎng)絡誘導時滯.假設1和假設2經(jīng)常在一些文獻中給出.本文提出新的自適應事件觸發(fā)方案來決定采樣數(shù)據(jù)包是否需要傳輸?shù)骄W(wǎng)絡中,給出假設3為了突出作者所提方法的優(yōu)越性而且降低問題的復雜性.

2.1 自適應事件觸發(fā)方案

假設數(shù)據(jù)包的傳輸取決于預先定義的事件而不是時間.圖1-2針對網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)描繪了所提出的自適應事件觸發(fā)方案過程.其中自適應事件生成器里的邏輯函數(shù)決定采樣數(shù)據(jù)是否應該釋放到模糊濾波器.當采樣數(shù)據(jù)傳輸?shù)酵ㄐ啪W(wǎng)絡時,事件觸發(fā)通信方案的閾值被計算并且保存在緩沖器1中,為計算下一次的輸出相關誤差,同時采樣數(shù)據(jù)也要保存在緩沖器2中.與文獻[29-36]相比,本文設計的事件觸發(fā)方案可以動態(tài)的調(diào)整閾值條件,可以在保證性能的同時節(jié)省更多的通信寬帶.下一次的傳輸時刻定義為

圖1 基于事件觸發(fā)的模糊濾波Fig.1 Fuzzy filtering based on event trigger

圖2 自適應觸發(fā)過程Fig.2 Adaptive triggering process

注1受文獻[13-14]的啟發(fā),本文式(4)左右兩邊的權重矩陣不同,即G12.可以看出當G1=G2時,本文設計的自適應觸發(fā)條件與文獻[14]相同,說明本文設計的比文獻[14]更靈活.

注2式(6)函數(shù)arctan(·)可以產(chǎn)生有界的信號,即arctan(·)∈[?],并且結合參數(shù)α,β和θ自適應調(diào)整式(4)中的ε(tkh).式(6)中,如果‖y(tk+1h)?y(tkh)‖?θ >0,對于給定的α≥0,β≥0,使得0<φ(α,β,θ)<1,則進一步得到ε(tk+1h)<ε(tkh),從而提供一個較快的網(wǎng)絡傳輸率;也可以采用較大的ε(tk+1h)產(chǎn)生較慢的網(wǎng)絡傳輸率,從而節(jié)省通信寬帶.

2.2 網(wǎng)絡化的模糊濾波器

2.3 模糊濾波誤差系統(tǒng)

由式(3)(8)(10)可得濾波誤差系統(tǒng)為

式(11b)中e(t)趨于零說明濾波能夠較好估計系統(tǒng)的輸出.因此,本文目的是共同設計濾波器(8)和自適應事件觸發(fā)方案(4)的參數(shù),使濾波誤差系統(tǒng)(11b)滿足H∞性能.接下來先引入以下定義和引理,為后續(xù)的證明至關重要.

定義1濾波誤差系統(tǒng)(11)稱為滿足H∞性能,如果下列條件成立:

1) 式(11)在w(t)=0是漸近穩(wěn)定的;

2) 給定H∞性能指標γ >0,在零初始條件下,對于任意非零w(t)∈L2[0,∞),濾波誤差e(t)滿足

后續(xù)在推導過程中用到李導數(shù)知識,給出如下定義.

定義2(李導數(shù))[37]對于在Rn →R的光滑函數(shù)H(x),G(x):Rn →Rn在Rn是一個光滑向量場.H(x)相對于G的李導數(shù)是一個標量函數(shù),定義為

本文運用模糊線積分方法構建模糊李雅普諾夫泛函,在不等式放縮過程中利用Wirtinger不等式及倒凸引理結合的技術,對非線性系統(tǒng)(1),提出模糊濾波器(8)和自適應事件觸發(fā)方案(4)共同設計的方法.

3 主要結果

為使矩陣表示簡單化,采用以下符號:

接下來,給出本文的主要結果.

定理1對于給定的性能指標γ >0,0<εm<1和矩陣Afj,Bfj,Cfj和Dfj,濾波誤差系統(tǒng)(11)在自適應事件觸發(fā)方案(4)下是滿足H∞性能,如果存在矩陣

注6與現(xiàn)存的設計方案相比,本文的方法有以下優(yōu)勢:1)文獻[5-7,39]是基于時間觸發(fā)的模糊濾波器設計,與此不同,本文是基于事件觸發(fā)的模糊濾波器設計,通過用事件觸發(fā)方案可以提高網(wǎng)絡資源利用率;2)給出了一種新的自適應事件觸發(fā)方案(4)來決定是否應該釋放采樣輸出y(kh),此方案可以自適應地調(diào)整(6)中的閾值ε(tkh),以節(jié)省更多的網(wǎng)絡通信資源.本文設計的自適應事件觸發(fā)方案比文獻[14]更靈活;3)利用Wirtinger不等式及倒凸引理結合的技術,不需要引入任何額外的松弛矩陣,可以很好地降低結果的保守性;4)本文利用模糊線積分方法,利用非二次項可以有效地降低保守性,而且不同于文獻[21]要事先知道隸屬函數(shù)的時間微分,可以避免求解隸屬函數(shù)的時間微分.

4 數(shù)值例子

在這一節(jié),將給出兩個例子來說明所提方法的有效性.

例1考慮文獻[14,25]的網(wǎng)絡化非線性系統(tǒng)(2),具有以下參數(shù):

本文的目標是對濾波器(8)和事件觸發(fā)方案(4)的參數(shù)共同設計.

假定α12=α11=α13=α21=α23=1,α22=2,采樣周期h=0.02 s,τ1=0.002,τ3=0.2,εm=0.1,利用定理2及MATLAB中LMI工具箱求解可以獲得最小的性能指標為γ=0.5011,相應事件觸發(fā)矩陣G1=8.1640e+08,G2=0.0529,相應的非二次矩陣以及濾波參數(shù)如下:

固定τ1=0.002,τ3=0.2.在表1中,對于不同的事件觸發(fā)閾值εm給出了性能指標γ的最小值.從表1可以看出,本文所運用的模糊線積分方法比文獻[25]用的普通LKF更能降低結果的保守性.從表1還可以看出,在相同的事件觸發(fā)閾值和時滯上下界的條件下,本文所獲得的性能指標γ比文獻[14,25]小,這說明本文的方法可以降低結果的保守性.

表1 對應于不同閾值εm的最小性能指標γTable 1 Minimum performance index γ corresponding to different thresholds εm

為了仿真,假定隸屬函數(shù)為

初始狀態(tài)x0=[0.3?0.2?0.5]T,xf0=[0 0 0]T,外部擾動w(t)=,在條件h=0.02 s,τ1=0.002,τ3=0.2,εm=0.1,γ=0.5011,α=1,β=1,θ=0.6下,圖3描繪了系統(tǒng)狀態(tài)x(t)及其估計值xf(t)的曲線;圖4描繪了濾波誤差e(t)的曲線;圖5 描繪了z(t)及其估計信號zf(t),其中圖5(a)是文獻[14]中濾波信號zf(t)對系統(tǒng)信號z(t)的估計圖像,圖5(b)是本文的濾波信號zf(t)對系統(tǒng)信號z(t)的估計圖像,且在2 s時zf(t)能很好的估計z(t),由圖像比較可以看出本文的方法使zf(t)對z(t)的信號估計效果更好;圖6描繪了事件觸發(fā)釋放時刻所對應的測量輸出y(t)和釋放輸出(t).

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計值Fig.3 System state and its estimated value

圖4 系統(tǒng)誤差Fig.4 System error

圖5 z(t)及其估計值zf(t)Fig.5 z(t)and its estimated value zf(t)

圖6 測量輸出y(t)和釋放輸出y?(t)Fig.6 Measurement output y(t)and release output y?(t)

圖7描繪了隨著事件觸發(fā)釋放時刻,相應的自適應閾值參數(shù)變化的圖像.在仿真時間t=14 s,=700即在700個數(shù)據(jù)包中只傳輸了85次,在自適應事件觸發(fā)方案(4)下,系統(tǒng)數(shù)據(jù)包的傳輸率為12.14%.

圖7 自適應閾值ε(tkh)Fig.7 Adaptive threshold ε(tkh)

在相同仿真時間14 s下,表2給出不同采樣周期h下的數(shù)據(jù)包傳輸率.通過與周期觸發(fā)方案,非自適應觸發(fā)傳輸方案相比,本文的自適應事件觸發(fā)方案能夠動態(tài)調(diào)節(jié)閾值,減少數(shù)據(jù)包的傳輸,從而節(jié)省通信網(wǎng)絡資源.

表2 不同采樣周期h所對應數(shù)據(jù)包的傳輸率Table 2 Transmission rate of data packets corresponding to different sampling periods h

例2文獻[14,25]考慮一個隧道二極管電路如圖8所示,其中隧道二極管通過以下方程表示:假設|x1(t)|<3,以上的非線性動態(tài)系統(tǒng)可以通過以下兩個規(guī)則的T--S模糊系統(tǒng)建模.

圖8 隧道二極管電路Fig.8 Tunnel diode circuit

固定τ1=0.002,τ3=1.2,如表3,通過定理2,對于不同的事件觸發(fā)閾值εm可獲得最小的性能指標γ.從表3發(fā)現(xiàn)本文獲得性能指標γ的值小于文獻[14,25]的值.

固定采樣周期h=0.01 s,τ1=0.002,τ3=1.2,εm=0.1,α=1,β=1,θ=0.3.如表3所示,最小性能指標γ=1.003,相應權重矩陣G1=6.1185e+04,G2=0.0016,相應的非二次矩陣以及濾波參數(shù)給出如下:

表3 對應于不同閾值εm的最小性能指標γTable 3 Minimum performance index γ corresponding to different thresholds εm

本文假定外部擾動w(t)=e?tsint,系統(tǒng)初始狀態(tài)x0=[1?1]T,濾波器初始狀態(tài)xf0=[0 0]T.仿真時間10 s,圖9描繪了系統(tǒng)狀態(tài)x(t)及其估計值xf(t)的曲線,可看出x(t)及xf(t)隨著仿真時間的增大趨于穩(wěn)定.

圖9 系統(tǒng)狀態(tài)及其估計值Fig.9 System state and its estimated value

圖10描繪了濾波誤差e(t)的曲線,可以看出,在自適應事件觸發(fā)方案下設計的模糊濾波器可以鎮(zhèn)定該非線性系統(tǒng);圖11描繪了z(t)及其估計信號zf(t),可見zf(t)可以很好的估計z(t),其中圖11(a)是文獻[14]中濾波信號zf(t)對系統(tǒng)信號z(t)的估計圖像,圖11(b)是本文的濾波信號zf(t)對系統(tǒng)信號z(t)的估計圖像,由圖像比較可以看出本文的方法使zf(t)對z(t)的信號估計效果更好;圖12描繪了事件觸發(fā)釋放時刻所對應的測量輸出y(t)和釋放輸出y?(t);圖13描繪了隨著事件觸發(fā)釋放時刻,相應的自適應閾值參數(shù)ε(tkh)變化的圖像.

圖10 系統(tǒng)誤差Fig.10 System error

圖11 z(t)及其估計值zf(t)Fig.11 z(t)and its estimated value zf(t)

圖12 測量輸出y(t)和釋放輸出y?(t)Fig.12 Measurement output y(t)and release output y?(t)

圖13 自適應閾值ε(tkh)Fig.13 Adaptive threshold ε(tkh)

由圖12-13可看出,本文提出的自適應事件觸發(fā)方案可以減少數(shù)據(jù)包的傳輸.顯然,在此條件下,只有14.90%的數(shù)據(jù)包傳輸?shù)酵ㄐ啪W(wǎng)絡中,說明本文的方法不僅可以實現(xiàn)事件觸發(fā)參數(shù)和濾波參數(shù)共同設計,而且還能動態(tài)調(diào)節(jié)閾值參數(shù)從而節(jié)省網(wǎng)絡資源.

5 結論

本文針對一類非線性系統(tǒng)基于T--S模糊模型,研究自適應事件觸發(fā)參數(shù)與濾波器參數(shù)共同設計問題.通過自適應事件觸發(fā)方案傳輸數(shù)據(jù)包可以提高網(wǎng)絡資源利用率,考慮到數(shù)據(jù)包在傳輸過程中存在時滯,運用模糊線積分方法構建模糊李雅普諾夫泛函,不僅避免求解隸屬函數(shù)的時間微分,而且降低結果的保守性.在不等式放縮過程中通過應用Wirtinger不等式及倒凸引理結合技術,得到滿足H∞性能的時滯相關結果.最后通過兩個例子很好的說明所提方法的有效性和優(yōu)越性.本文在設計滿足H∞性能模糊濾波器時沒有考慮收斂速度的快慢,未來工作可以考慮在有限時間內(nèi),對網(wǎng)絡化非線性控制系統(tǒng)設計基于自適應事件觸發(fā)方案滿足H∞性能的模糊濾波器,并將此想法擴展到網(wǎng)絡化非線性交聯(lián)系統(tǒng)中.