張更，李軍，2，柳貢慧，3，楊宏偉，王江帥，安錦濤

（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249；2.中國(guó)石油大學(xué)（北京）克拉瑪依校區(qū)，新疆 克拉瑪依 834000；3.北京工業(yè)大學(xué)，北京 100124）

0 引言

隨著全球的油氣勘探開發(fā)逐漸向深水、深層轉(zhuǎn)移，建井深度逐步加大，隨之而來(lái)的是，井下情況更加復(fù)雜，這給井筒溫度剖面的計(jì)算提出了巨大挑戰(zhàn)。井筒溫度變化對(duì)井下壓力控制、鉆井液性能、井壁穩(wěn)定、井下工具等具有非常顯著的影響，井筒溫度剖面的計(jì)算對(duì)安全高效的鉆進(jìn)具有十分重要的意義[1-6]。目前計(jì)算井筒溫度的模型主要分為解析模型和數(shù)值模型。Holmes等[7]最早對(duì)井筒溫度解析模型進(jìn)行了研究，后來(lái)的研究[8-11]多依據(jù)他們建立的經(jīng)典模型，利用解析方法研究在循環(huán)鉆進(jìn)、固井、油氣生產(chǎn)等過(guò)程中的傳熱行為。然而，這些解析模型多為穩(wěn)態(tài)模型，不能用于計(jì)算復(fù)雜系統(tǒng)的傳熱過(guò)程，特別是深水和深層鉆井。Raymond等[12-13]進(jìn)行了開創(chuàng)性的研究，建立了傳熱數(shù)值模型并計(jì)算了對(duì)流換熱系數(shù)。之后的一些井筒溫度數(shù)值模型都以他們的研究為基礎(chǔ)，只是考慮了深水、停止循環(huán)、漏失、氣侵等不同工況環(huán)境。井筒溫度受多種因素的影響，現(xiàn)有研究主要集中在鉆井液物性參數(shù)、循環(huán)時(shí)間、鉆井液排量等主觀因素的影響，對(duì)鉆井液流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)等客觀因素影響的研究還不夠深入?，F(xiàn)有模型沒(méi)有同時(shí)考慮這2個(gè)客觀因素的影響，導(dǎo)致井底溫度計(jì)算值偏低，與井底實(shí)際溫度偏差較大。所以，建立考慮鉆井液流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)的井筒瞬態(tài)傳熱新模型，對(duì)比分析流動(dòng)阻力產(chǎn)生的摩擦熱能與鉆柱旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能，對(duì)研究井筒溫度的影響非常有必要。

1 井筒瞬態(tài)傳熱模型

1.1 物理模型

在鉆井過(guò)程中，鉆井液以溫度Tin進(jìn)入鉆柱內(nèi)，沿著鉆柱向下流動(dòng)，后通過(guò)鉆頭噴嘴進(jìn)入環(huán)空。進(jìn)入環(huán)空后，鉆井液被底部地層加熱，在上返過(guò)程中加熱上部地層，最后鉆井液以溫度To從環(huán)空井口返出。

在整個(gè)過(guò)程中，鉆柱內(nèi)鉆井液、鉆柱壁、環(huán)空內(nèi)鉆井液、井壁（套管或裸眼地層）、地層等控制單元之間，通過(guò)熱傳導(dǎo)或熱對(duì)流產(chǎn)生能量的傳遞和交換，井筒流動(dòng)及傳熱物理模型見圖1。在建立考慮流動(dòng)阻力和鉆柱旋轉(zhuǎn)的井筒瞬態(tài)傳熱新模型時(shí)，為了合理簡(jiǎn)化計(jì)算，依據(jù)傳熱特性與流動(dòng)規(guī)律，提出以下假設(shè)：1）鉆井液在井筒中的流動(dòng)為一維單相流動(dòng)，不考慮其內(nèi)部物理參數(shù)（密度、壓力、速度等）的徑向變化；2）鉆柱壁、套管、水泥環(huán)、地層巖石的熱物性參數(shù)（導(dǎo)熱系數(shù)、密度、比熱容等）保持不變；3）不考慮鉆井液通過(guò)鉆頭水眼產(chǎn)生的溫度變化。

圖1 井筒流動(dòng)及傳熱物理模型

1.2 數(shù)學(xué)模型

鉆井液在循環(huán)過(guò)程中，井筒-地層傳熱系統(tǒng)可以視為具有一定邊界條件的熱交換器。依據(jù)熱力學(xué)第一定律，分別對(duì)劃分的5個(gè)區(qū)域建立控制微分方程。

1.2.1 鉆柱內(nèi)鉆井液

鉆井液在鉆柱內(nèi)向下流動(dòng)過(guò)程中，鉆柱內(nèi)鉆井液控制單元的能量變化由流動(dòng)阻力產(chǎn)生的摩擦熱能、鉆柱旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能、軸向上的凈熱量、徑向上與鉆柱內(nèi)壁的對(duì)流換熱量組成。

式中：Qfe為單位長(zhǎng)度的摩擦熱能，W/m；Qre為單位長(zhǎng)度的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能，W/m；ρm為鉆井液密度，kg/m3；q 為排量，m3/s；Cm為鉆井液比熱容，J/（kg·℃）；Tp為鉆柱內(nèi)鉆井液溫度，℃；z為軸向位移，m；rpi為鉆柱內(nèi)半徑，m；hpi為鉆柱內(nèi)壁對(duì)流換熱系數(shù)，W/（m2·℃）；Tw為鉆柱壁溫度，℃；t為時(shí)間，s。

1.2.2 鉆柱壁

鉆柱壁連接鉆柱內(nèi)與環(huán)空內(nèi)的鉆井液控制單元，鉆柱壁控制單元的能量變化由鉆柱壁軸向上的導(dǎo)熱量、鉆柱內(nèi)壁與鉆柱內(nèi)鉆井液的對(duì)流換熱量、鉆柱外壁與環(huán)空內(nèi)鉆井液的對(duì)流換熱量組成。

式中：kw為鉆柱壁導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；rpo為鉆柱外半徑，m；hpo為鉆柱外壁對(duì)流換熱系數(shù)，W/（m2·℃）；Ta為環(huán)空鉆井液溫度，℃；ρw為鉆柱壁密度，kg/m3；Cw為鉆柱壁比熱容，J/（kg·℃）。

1.2.3 環(huán)空內(nèi)鉆井液

鉆井液在環(huán)空內(nèi)向上流動(dòng)過(guò)程中，環(huán)空內(nèi)鉆井液控制單元的能量變化由流動(dòng)阻力產(chǎn)生的摩擦熱能、鉆柱旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能、軸向上的凈熱量、徑向上與鉆柱外壁和井壁的對(duì)流換熱量組成。

式中：rci為套管內(nèi)半徑，m；hci為井壁對(duì)流換熱系數(shù)，W/（m2·℃）；Tc為套管溫度，℃。

1.2.4 井壁

在實(shí)鉆過(guò)程中，井壁可分為上段套管井壁和下段裸眼井壁。井壁控制單元的能量變化由軸向上的導(dǎo)熱量、井壁與環(huán)空內(nèi)鉆井液的對(duì)流換熱量、徑向上與地層或水泥環(huán)的導(dǎo)熱量組成。

式中：kc為套管導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；rco為套管外半徑，m；kf為地層導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；Tf為地層溫度，℃；ρc為套管密度，kg/m3；Cc為套管比熱容，J/（kg·℃）。

1.2.5 近井壁區(qū)域

近井壁區(qū)域主要由水泥環(huán)、套管、地層組成，其能量變化主要考慮軸向和徑向上的導(dǎo)熱量。

式中：T為介質(zhì)的溫度，℃；r為徑向節(jié)點(diǎn)距離中心軸的距離，m；ρ為介質(zhì)的密度，kg/m3；C 為介質(zhì)的比熱容，J/（kg·℃）；k為介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；下標(biāo) j代表徑向節(jié)點(diǎn)序號(hào)，徑向上共劃分13個(gè)節(jié)點(diǎn)。

根據(jù)Holmes的觀點(diǎn)，地層對(duì)井筒溫度的影響半徑為3 m左右。由此，在劃分徑向網(wǎng)格時(shí)，設(shè)定5≤j≤13。其中，5≤j≤7為套管和水泥環(huán)的組合體，7＜j≤13為地層。

對(duì)流換熱系數(shù)h的計(jì)算公式為

式中：km為鉆井液導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；d 為水力當(dāng)量直徑，m；Re為雷諾數(shù)；Pr為普朗特?cái)?shù)。

流動(dòng)阻力產(chǎn)生的摩擦熱能與鉆柱旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能的計(jì)算公式為

式中：pf為鉆井液的流動(dòng)阻力，Pa；f為摩擦因數(shù)，與管壁粗糙度、雷諾數(shù)、流性指數(shù)有關(guān)；vm為鉆井液流速，m/s；Ek為旋轉(zhuǎn)動(dòng)能，J；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，s；Δz為軸向位移步長(zhǎng)，m；I為鉆柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；ω 為鉆柱轉(zhuǎn)速，r/min；mp為鉆柱質(zhì)量，kg。

1.3 模型初始及邊界條件

1.3.1 初始條件

1）整個(gè)系統(tǒng)初始時(shí)刻的溫度為地層溫度。

式中：Ti（z，0）為初始時(shí)刻i區(qū)域在軸向位移z處的溫度，℃；Ts為地表溫度，℃；G 為地溫梯度，℃/m；下標(biāo)i代表劃分的5個(gè)區(qū)域。

2）鉆柱井口溫度 Tp（0，t）為注入溫度Tin。

1.3.2 邊界條件

1）在井底時(shí)，鉆柱內(nèi)鉆井液、鉆柱壁、環(huán)空內(nèi)鉆井液的溫度相等。

式中：L為井底深度，m。

2）地表邊界為絕熱邊界；離井筒以外一定距離的地層不受干擾，為原始地溫；在井壁處，傳入環(huán)空的熱量與流出地層的熱量相等。

2 模型求解與對(duì)比

為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，在徑向上采用結(jié)構(gòu)化非均分網(wǎng)格對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散。為了提高計(jì)算的穩(wěn)定性，采用有限差分法的全隱式格式對(duì)控制微分方程進(jìn)行離散。空間上，依據(jù)從左到右、從上到下的順序；時(shí)間上，依據(jù)從小到大的順序，依次進(jìn)行離散，構(gòu)成線性方程組[14-17]。方程組利用高斯-賽爾德迭代法進(jìn)行求解。

各控制單元的微分方程離散后，都可以寫成如下形式：

式中：αij，βij，γij，δij，ξij分別為常系數(shù)項(xiàng)；Cij為方程常數(shù)項(xiàng)；T的上標(biāo)代表時(shí)刻，下標(biāo)代表節(jié)點(diǎn)位置。

各節(jié)點(diǎn)的離散方程組成的線性方程組可以由矩陣表示：

式中：A 為系數(shù)矩陣；Tn，Tn+1為所有 n，n+1時(shí)刻節(jié)點(diǎn)溫度組成的向量。

利用文獻(xiàn)[18]中的數(shù)據(jù)（見表1），將本文模型的計(jì)算值分別與 Yang[18]數(shù)值模型和 Al-Saedi[19]解析模型的計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖2所示。

表1 模擬井基本參數(shù)

圖2 模型對(duì)比示意

從圖2可以看出，本文模型的計(jì)算值分別比Yang數(shù)值模型與Al-Saedi解析模型的計(jì)算值高出約5℃和3℃，更接近井底實(shí)際溫度。這主要是由于Yang數(shù)值模型沒(méi)有考慮鉆柱旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能、Al-Saedi解析模型沒(méi)有考慮鉆井液流動(dòng)阻力產(chǎn)生的摩擦熱能的影響導(dǎo)致的。

3 實(shí)例分析

某井為一口直井，三開鉆頭直徑215.9 mm，井深4 600 m，鉆柱轉(zhuǎn)速120 r/min，鉆柱井口注入溫度25℃，地表溫度16℃，地溫梯度0.023℃/m。鉆井液的流變參數(shù)、井身結(jié)構(gòu)及鉆具組合參數(shù)、各介質(zhì)的熱物性參數(shù)如表2—4所示。

表2 鉆井液流變參數(shù)

表3 井身結(jié)構(gòu)及鉆具組合參數(shù)

表4 各介質(zhì)熱物性參數(shù)

3.1 流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)對(duì)環(huán)空溫度的影響

為了分析流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)對(duì)井筒溫度分布的影響，分別計(jì)算了考慮流動(dòng)阻力或鉆柱旋轉(zhuǎn)時(shí)，循環(huán)8 h后的井筒環(huán)空溫度剖面（見圖3）。

圖3 不同熱源情況下的環(huán)空溫度剖面

從圖3可以看出，隨著井深的增加，環(huán)空溫度呈現(xiàn)先增加后降低的趨勢(shì)。這是由于，底部地層的熱量不斷被鉆井液帶出加熱上部地層，隨著考慮的熱源情況增多，環(huán)空溫度也不斷地增加。其中，考慮鉆柱旋轉(zhuǎn)的環(huán)空溫度比考慮流動(dòng)阻力時(shí)要大。

隨著井深的增加，不同熱源情況下的環(huán)空溫度差（與不考慮流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)的環(huán)空溫度相比）越來(lái)越大，特別是井深超過(guò)3 000 m后，環(huán)空溫度差增加的幅度急劇增大（見圖4）。這主要是因?yàn)樵摼坠芟律顬? 000 m，套管的導(dǎo)熱系數(shù)比地層的導(dǎo)熱系數(shù)要大得多，導(dǎo)致鉆井液在上返過(guò)程中與周圍地層進(jìn)行大量的熱交換，井筒內(nèi)的溫度快速下降，致使上部井段溫度差異不大?？紤]鉆柱旋轉(zhuǎn)時(shí)，在4 000 m以下環(huán)空溫度差增加的幅度較小，這是由于4 000 m以下為鉆鋌段，鉆鋌的內(nèi)徑比鉆桿小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比鉆桿低，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)動(dòng)能降低，環(huán)空溫度差增加的幅度變小。

圖4 環(huán)空溫度差隨井深的變化

3.2 流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)對(duì)井底、井口溫度的影響

通過(guò)研究流動(dòng)阻力或鉆柱旋轉(zhuǎn)對(duì)井底溫度的影響，發(fā)現(xiàn)隨著循環(huán)時(shí)間的增加，井底熱量不斷被鉆井液循環(huán)帶出，井底溫度逐漸降低（見圖5）?？紤]流動(dòng)阻力或鉆柱旋轉(zhuǎn)的井底溫度，始終比不考慮流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)的井底溫度要高?？紤]流動(dòng)阻力的井底溫度差約為3℃，考慮鉆柱旋轉(zhuǎn)的井底溫度差約為6℃，同時(shí)考慮流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)的井底溫度差約為10℃。這說(shuō)明鉆柱旋轉(zhuǎn)對(duì)井底溫度的影響比流動(dòng)阻力要大。

圖5 井底溫度隨循環(huán)時(shí)間的變化

圖6為不同熱源情況下井口溫度隨循環(huán)時(shí)間變化的關(guān)系曲線。從圖6可以看出，隨著循環(huán)時(shí)間的增加，井口溫度不斷增加?？紤]流動(dòng)阻力時(shí)，井口溫度能達(dá)到29.5℃左右；考慮鉆柱旋轉(zhuǎn)時(shí)，井口溫度可達(dá)30.0℃左右；同時(shí)考慮流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)，井口溫度增加2℃左右。這說(shuō)明鉆柱旋轉(zhuǎn)對(duì)井口溫度的影響比流動(dòng)阻力要大。

圖6 井口溫度隨循環(huán)時(shí)間的變化

3.3 鉆柱轉(zhuǎn)速與鉆井液排量對(duì)環(huán)空溫度的影響

隨著鉆柱轉(zhuǎn)速的增加，鉆柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量逐漸增加，繼而產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能不斷增大，導(dǎo)致環(huán)空溫度增加（見圖 7）。

圖7 不同轉(zhuǎn)速的環(huán)空溫度剖面

鉆井液排量同時(shí)影響鉆井液流動(dòng)阻力及對(duì)流換熱系數(shù)。排量較小時(shí)，主要影響對(duì)流換熱系數(shù)，隨著排量的增加，對(duì)流換熱加快，下部地層溫度降低，上部地層溫度上升；排量較大時(shí)，主要影響鉆井液流動(dòng)阻力，隨著排量的增加，流動(dòng)阻力產(chǎn)生的摩擦熱能增加，環(huán)空溫度增大。如圖8所示，隨著排量的增加，環(huán)空溫度不斷增加，且增加的幅度不斷增大。

圖8 不同排量的環(huán)空溫度剖面

4 結(jié)論

1）相比不考慮流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)的影響，鉆井液流動(dòng)阻力和鉆柱旋轉(zhuǎn)對(duì)井筒溫度剖面的影響較大，且隨著井深增加，這種影響逐漸加劇，特別是在裸眼段。

2）相比流動(dòng)阻力，鉆柱旋轉(zhuǎn)對(duì)井口溫度和井底溫度的影響更為明顯。但是，流動(dòng)阻力與鉆柱旋轉(zhuǎn)對(duì)上部井段溫度的影響幅度并不大。

3）隨著鉆柱轉(zhuǎn)速的增加，鉆柱旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能增大，環(huán)空溫度不斷增加；隨著鉆井液排量的增加，流動(dòng)阻力產(chǎn)生的摩擦熱能增加，環(huán)空溫度逐漸增加，且增加的幅度逐漸增大。