張雪嬌, 劉官?gòu)d

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

繞流運(yùn)動(dòng)廣泛存在于生活中,在水利、建筑和環(huán)境等實(shí)際工程中有很多應(yīng)用,如風(fēng)繞過(guò)飛機(jī)、火車和建筑物,水繞過(guò)船只、潛艇等。當(dāng)流體繞過(guò)物體時(shí),流體會(huì)對(duì)物體產(chǎn)生一定的力的作用,因此研究繞流運(yùn)動(dòng)具有很重要的實(shí)際意義[1-2]。文獻(xiàn) [3]對(duì)高層建筑周圍的空氣繞流運(yùn)動(dòng)做了數(shù)值模擬,文獻(xiàn) [4]分析了帶阻流板海底管道管跨繞流流場(chǎng),文獻(xiàn) [5]對(duì)有限平板繞流做了數(shù)值模擬。在目前繞流問(wèn)題相關(guān)研究中,關(guān)于圓柱繞流的研究較多[6-10],文獻(xiàn) [11]總結(jié)了圓柱繞流的研究進(jìn)展及展望,建議研究海洋工程中樁體、管線、立管的圓柱繞流問(wèn)題。文獻(xiàn) [12]對(duì)圓柱繞流做了離散渦數(shù)值模擬,得到了多個(gè)圓柱不同情境下的流線圖,文獻(xiàn) [13]研究圓柱繞流的大渦模擬。目前圓柱繞流的相關(guān)問(wèn)題也已經(jīng)具有相當(dāng)成熟的結(jié)果,同時(shí)圓柱繞流也對(duì)許多其他繞流問(wèn)題具有一定的指導(dǎo)意義和奠基作用。本文對(duì)橢圓柱繞流問(wèn)題的研究就是以圓柱繞流問(wèn)題為基礎(chǔ)的,橢圓柱由于自身形狀的優(yōu)勢(shì),在對(duì)抗流體作用時(shí)有更大的優(yōu)勢(shì),因此對(duì)橢圓柱繞流的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

無(wú)粘性不可壓縮流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)是流體力學(xué)中的一種理想化模型,它是真實(shí)流體流動(dòng)在一定條件下的簡(jiǎn)化,簡(jiǎn)化后許多問(wèn)題可以得到很好地解決,故對(duì)它的研究意義重大。本文研究無(wú)粘性不可壓縮流體的橢圓柱繞流運(yùn)動(dòng),根據(jù)該流動(dòng)的特點(diǎn),利用復(fù)變方法求得復(fù)勢(shì)函數(shù),并且進(jìn)一步求得勢(shì)函數(shù)和流函數(shù),畫出流線圖和等勢(shì)線圖。經(jīng)過(guò)分析,與實(shí)際流動(dòng)情況吻合較好。

1 問(wèn)題陳述

圖1 物理平面z

設(shè)長(zhǎng)軸為2a,短軸為2b的無(wú)限長(zhǎng)橢圓柱放置在無(wú)粘性不可壓縮流體中,在無(wú)窮遠(yuǎn)處速度為V∞的均勻來(lái)流平行繞過(guò)該橢圓柱,沖角為α,流體做平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。流動(dòng)形式如圖1所示。本文研究橢圓柱附近的流體流動(dòng)情況以及橢圓柱體表面的壓強(qiáng)分布情況。

2 基本方程

2.1 無(wú)粘性不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)

無(wú)粘性不可壓縮流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)是流體力學(xué)中一種理想化的簡(jiǎn)單模型。無(wú)粘性不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足連續(xù)性方程

divv=0

(1)

和運(yùn)動(dòng)方程[14]

(2)

其中v是流體速度,Fb是質(zhì)量力,ρ是流體密度,p是流體壓強(qiáng)。此外,對(duì)于不同的邊界還應(yīng)滿足不同的邊界條件。這組方程是非線性的而且速度和壓強(qiáng)耦合在一起,求解比較困難。

如果在所討論的流場(chǎng)區(qū)域中,流體運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的,即rotv=0,則一定存在一個(gè)勢(shì)函數(shù)φ(x,y,z;t)使得v=φ。函數(shù)φ(x,y,z;t)稱為速度勢(shì)函數(shù),將v=φ代入(1)式,則連續(xù)性方程變?yōu)?/p>

(3)

這是一個(gè)拉普拉斯方程,在給定的邊界條件下可以求出它的解。對(duì)于正壓流體和體力有勢(shì)的情況,當(dāng)流動(dòng)無(wú)旋時(shí),有拉格朗日積分

(4)

這樣,無(wú)粘性不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的基本方程組變?yōu)?/p>

(5)

(6)

邊界條件視具體邊界而定。方程(5)是拉普拉斯方程,在數(shù)學(xué)上已有許多方法可求其通解。所以只需要求得φ,問(wèn)題便迎刃而解。然而在邊界比較復(fù)雜時(shí),上述問(wèn)題的求解仍有一定難度。

2.2 不可壓縮流體平面運(yùn)動(dòng)的流函數(shù)

如果流體做平面運(yùn)動(dòng),取此平面為x-y平面,則連續(xù)性方程[14]寫為

(7)

這里vx,vy分別為流體速度v在x方向和y方向上的分量。引入一個(gè)新的標(biāo)量函數(shù)ψ,使得

此時(shí)方程(7)自動(dòng)滿足。通常將標(biāo)量函數(shù)ψ稱為流函數(shù)。對(duì)于平面流動(dòng),流體渦量ω只有z軸方向上的分量,記為ω=ωk。從而有ω=-2ψk,又可以寫為

ω=-2ψ,

(8)

在無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的情況下,方程(8)化為

(9)

于是,對(duì)于本文所討論的無(wú)粘性不可壓縮流體的平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),流函數(shù)ψ也滿足拉普拉斯方程。只要找到流函數(shù)ψ,問(wèn)題也可以得到解決。

2.3 平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的復(fù)勢(shì)

無(wú)粘性不可壓縮流體的平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)可以引進(jìn)速度勢(shì)φ或流函數(shù)ψ來(lái)解決,它們都滿足拉普拉斯方程。根據(jù)定義,在直角坐標(biāo)系中[14]有

(10)

這說(shuō)明這兩個(gè)調(diào)和函數(shù)滿足柯西-黎曼條件,因此它們可以組成一個(gè)解析函數(shù)

W(z)=φ(x,y)+iψ(x,y),

(11)

2.4 流場(chǎng)中的速度及壓強(qiáng)分布

流場(chǎng)中的任意一點(diǎn)處的流體速度

(12)

對(duì)于流場(chǎng)中的任意一點(diǎn)處的壓強(qiáng)p可以由伯努利方程求出

(13)

其中V∞、p∞和ρ∞分別為無(wú)窮遠(yuǎn)來(lái)流的速度、壓強(qiáng)和密度。定義壓強(qiáng)系數(shù)[14]

(14)

以描述流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布。

3 橢圓柱繞流問(wèn)題的解析解

3.1 基本思想

若C*為半徑為R的圓周,則在平面ζ上復(fù)勢(shì)函數(shù)為[14]

(15)

W*(ζ)=W*(F-1(z))=W(z)。

(16)

圖2 數(shù)學(xué)平面ζ

3.2 保角變換

對(duì)于圖1所示的問(wèn)題,利用儒可夫斯基變換

(17)

其逆變換為

(18)

它將z平面上長(zhǎng)軸為2a,短軸為2b的橢圓變換為ζ平面上半徑為c的圓周(c=a+b),將橢圓外部區(qū)域變換為圓周外部區(qū)域,如圖2所示。

3.3 勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的計(jì)算

(19)

這與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果一致。

分離W(z)的實(shí)部和虛部得

(20)

其中

其中θ是x2-y2-a2+b2+i 2xy?X+iY的輻角且k=0或1。

于是由(20)式可得

(21)

(22)

且當(dāng)θ和k取不同值時(shí),φ(x,y)和ψ(x,y)也不盡相同。對(duì)于勢(shì)函數(shù)和流函數(shù),由φ(x,y)=const可以畫出等勢(shì)線圖。同理,令ψ(x,y)=const可以畫出流線圖,從而可以分析流體的流動(dòng)規(guī)律。

3.4 壓強(qiáng)系數(shù)

求得勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)后,由(10)式、(12)式、(13)式和(14)式可以得到壓強(qiáng)系數(shù)cp(將在隨后數(shù)值實(shí)例中討論),進(jìn)而可以畫出壓強(qiáng)系數(shù)圖,以此來(lái)分析流場(chǎng)的壓強(qiáng)分布。

4 數(shù)值算例

4.1 勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)

(23)

(24)

其中θ是x2-y2-3+i 2xy?X+iY的輻角,且k=0,1。根據(jù)θ的不同取值可以將z平面(除去橢圓內(nèi)部)劃分為如圖3所示區(qū)域。為了保證兩個(gè)平面的繞流一一對(duì)應(yīng),需要對(duì)k的取值進(jìn)行討論,在區(qū)域1、區(qū)域2和區(qū)域6處取k=0,在區(qū)域3、區(qū)域4和區(qū)域5處取k=1。

(25)

(26)

同理,可以得到其他幾個(gè)區(qū)域的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)。

4.2 流線圖

根據(jù)(25)式,令ψ(x,y)=const,并使const取適當(dāng)?shù)闹?可以畫出橢圓柱附件的流線圖,如圖4所示。

圖3 六個(gè)不同區(qū)域 圖4 區(qū)域1的流線圖

4.3 壓強(qiáng)系數(shù)

根據(jù)在區(qū)域5和區(qū)域6的勢(shì)函數(shù),再利用(12)式、(13)式和(14)式可得區(qū)域5和區(qū)域6中橢圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)為

(27)

圖5 區(qū)域5-6的壓強(qiáng)系數(shù)圖

壓強(qiáng)系數(shù)圖如圖5所示。由圖5可知,在x=-1.5處,壓強(qiáng)系數(shù)達(dá)到最大值1,表明此處壓強(qiáng)也達(dá)到最大值2 000+p∞,且流體速度v=0 m/s。在約x=-0.12處,壓強(qiáng)系數(shù)cp=0,故此處壓強(qiáng)p=p∞,速度v=V∞=2 m/s。

類似地,可以得到其他區(qū)域的橢圓柱表面的壓強(qiáng)系數(shù)圖,進(jìn)而可以分析壓強(qiáng)分布情況,此處不再贅述。

5 幾種重要且特殊的情形

5.1 流動(dòng)沖角為0的情形

當(dāng)α=0時(shí),流動(dòng)復(fù)勢(shì)函數(shù)(20)式變?yōu)?/p>

(28)

其中X1和Y1如上所述。仍采用實(shí)例5中的數(shù)值,于是當(dāng)α=0時(shí)區(qū)域1的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為

(29)

(30)

同理,可以得到其他幾個(gè)區(qū)域的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)。

利用相同的方法,可以得到α=0時(shí)的流線圖和等勢(shì)線圖,如圖6和圖7所示。

圖6 α=0時(shí)的流線圖 圖7 α=0時(shí)的等勢(shì)線圖

圖6中在(-2,0)和(2,0)處流線垂直于橢圓柱面,所以此處流體速度為0 m/s,這兩點(diǎn)是駐點(diǎn)。在(0,-1)和(0,1)處流線最密集,故此處流體速度最快。從圖7可以看出橢圓柱體表面的等勢(shì)線垂直于柱體表面,遠(yuǎn)離橢圓柱表面的等勢(shì)線逐漸變豎直,等勢(shì)線與流線互相垂直,這與文獻(xiàn) [16]的結(jié)論一致。

類似地,可以畫出區(qū)域5和區(qū)域6中橢圓柱面的壓強(qiáng)系數(shù)圖和區(qū)域1下半橢圓面的壓強(qiáng)系數(shù)圖,如圖8和圖9所示。

由圖8可知,在x=0處,壓強(qiáng)系數(shù)達(dá)到最小值,故此處壓強(qiáng)最小,流速最快,符合流動(dòng)情況。由圖9可知,在x=2處,壓強(qiáng)系數(shù)達(dá)到最大值1,故此處壓強(qiáng)達(dá)到最大值2 000+p∞,且流體速度最小為v=0 m/s,這均與流線圖所反映的情況一致。

5.2 退化為平板繞流情形

當(dāng)橢圓柱短軸長(zhǎng)退化為0時(shí),該橢圓柱退化成長(zhǎng)為2a的平板。此時(shí)問(wèn)題變成平板繞流,保角變換[14](17)式退化為

(31)

其逆變換

(32)

將長(zhǎng)為2a的平板變換為半徑為a的圓周。復(fù)勢(shì)函數(shù)化為

(33)

這與文獻(xiàn) [14]中的結(jié)果一致。

圖8 區(qū)域5-6橢圓面的壓強(qiáng)系數(shù)圖 圖9 區(qū)域1下半橢圓面的壓強(qiáng)系數(shù)圖 Fig.8 Pressure coefficient diagram for lower half ellipse in area 1 Fig.9 Pressure coefficient diagram for the the ellipse in area 5-6

分離W(z)的實(shí)部和虛部得到平板繞流的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為

(34)

(35)

其中,β是x2-y2-a2+i 2xy的輻角,k=0,1。

圖10 六個(gè)不同區(qū)域

(36)

(37)

類似地,可以得到平板下平面的壓強(qiáng)系數(shù)圖(圖13)。

圖11 平板繞流流線圖 圖12 平板繞流等勢(shì)線圖

圖13 平板下平面的壓強(qiáng)系數(shù)圖

6 結(jié)論

本文利用儒可夫斯基變換研究了無(wú)粘性不可壓縮流體的橢圓柱繞流問(wèn)題。結(jié)果表明,流體在流場(chǎng)駐點(diǎn)處的速度為0 m/s,壓強(qiáng)在此處達(dá)到最大。壓強(qiáng)系數(shù)用于描述壓強(qiáng)分布時(shí)比較方便,且壓強(qiáng)系數(shù)圖所得結(jié)果可以很好地與流線圖反映的結(jié)果呼應(yīng)。從流線圖、等勢(shì)線圖和壓強(qiáng)系數(shù)圖可以看出,橢圓柱繞流情況與實(shí)際流動(dòng)情況吻合較好。當(dāng)橢圓柱的尺度參數(shù)取特殊值時(shí)退化為經(jīng)典的平板繞流情形。