再努爾·木塔力甫，吳黎軍

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊830046)

0 引言

信度理論是非壽險(xiǎn)精算學(xué)的核心內(nèi)容之一, 是非壽險(xiǎn)中的一組經(jīng)驗(yàn)評(píng)估技術(shù). 信度模型包括古典信度模型和最精確信度模型. 在古典信度模型中, 需要確定當(dāng)歷史索賠數(shù)據(jù)達(dá)到多大規(guī)模時(shí), 才能夠賦予完全的可信度,而這個(gè)數(shù)據(jù)規(guī)模被稱(chēng)作為完全可信度標(biāo)準(zhǔn)，如果經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)達(dá)不到完全可信度標(biāo)準(zhǔn)就賦予部分可信度. 在實(shí)際操作中我們得到的索賠數(shù)據(jù)規(guī)模往往達(dá)不到完全可信度標(biāo)準(zhǔn),因此研究部分可信度的計(jì)算方法具有重要的實(shí)際意義.自從信度理論提出以后,許多學(xué)者對(duì)信度理論進(jìn)行了研究. B¨uhlmann[1]建立了無(wú)分布信度模型,得到了信度保費(fèi)公式. B¨uhlmann 和Straub在無(wú)分布信度模型的基礎(chǔ)上, 將其推廣至自然權(quán)重的情形.Hachemeister[2]在利用B¨ulmann-Straub 信度模型對(duì)美國(guó)各州的汽車(chē)第三者責(zé)任險(xiǎn)進(jìn)行定價(jià)時(shí), 注意到索賠數(shù)據(jù)在時(shí)間分量上由于通貨膨脹的影響具有時(shí)間趨勢(shì)效應(yīng), 因而提出用回歸模型來(lái)刻畫(huà)該時(shí)間效應(yīng), 并且建立了回歸信度模型. 回歸信度模型的刻畫(huà)如下, 假設(shè)某一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)合同對(duì)索賠X有下面的模型成立:

這里j=1,2···,t,X=(X1,···,Xt)′為索賠樣本,Yj為已知的設(shè)計(jì)向量,而β(Θ)為未知不可觀測(cè)的隨機(jī)系數(shù)向量,εi(i=1,2,···,t) 為隨機(jī)誤差項(xiàng),也是不可觀測(cè)的,且滿足E(εj|Θ)=0,則風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ 給定時(shí)有E(Xj|Θ)=Yjβ(Θ).

經(jīng)典信度理論中, 用平方損失函數(shù)來(lái)刻畫(huà)保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)的擬合程度. 然而, 在20 世紀(jì)70 年代前后, 學(xué)者們注意到正誤差與負(fù)誤差引起的損失并不相同,他們認(rèn)為某些情況對(duì)對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)下所得出的估計(jì)會(huì)出現(xiàn)較高誤差,于是非對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)逐步得到重視. Zellner[3]提出了一種新的衡量參數(shù)估計(jì)優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn), 從模型擬合度和估計(jì)的精度兩個(gè)方面來(lái)綜合衡量估計(jì)的好壞, 所考慮的損失函數(shù)為

作為Zellner 平衡損失函數(shù)的推廣, 如下形式的平衡損失函數(shù)Lρ,ω,δ0(θ,δ)=ωρ(δ0,δ)+(1?ω)ρ(θ,δ)受到了很多關(guān)注,這里δ0是θ的預(yù)想目標(biāo)估計(jì),它可以是θ的極大似然估計(jì)或者最小二乘估計(jì)或者無(wú)偏估計(jì)等. 在精算學(xué)的領(lǐng)域,G′omez-D′eniz[4]則討論了經(jīng)典的B¨uhlmann 信度模型在平衡損失函數(shù)下信度保費(fèi)及其性質(zhì). 國(guó)內(nèi)學(xué)者[5?10]用平衡損失函數(shù)研究了信度估計(jì)模型. 本文將用平衡損失函數(shù)得出單份保單凈保費(fèi)的信度回歸估計(jì)表達(dá)式.

1 預(yù)備知識(shí)及假設(shè)

設(shè)Θ 為未知的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù),X′=(X1,X2,···,Xt)為某保單在t年的觀測(cè)數(shù)據(jù). 本文估計(jì)的是, 當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)Θ 給定時(shí),Xj的條件期望為μj(Θ), 這里μj(Θ)=E(Xj|Θ)是風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ 下保單在第j年的凈保費(fèi),j=1,2,···,t. 考慮到通貨膨脹, 回歸假設(shè)中凈保費(fèi)μj(Θ)隨時(shí)間發(fā)生變化, 且

Yj為(q×1)設(shè)計(jì)矩陣,β(Θ)為未知(q×1) 隨機(jī)向量. 通過(guò)選擇合適的設(shè)計(jì)矩陣Yj,可以刻畫(huà)時(shí)間對(duì)凈保費(fèi)的影響.比如,若Yj是(2×1)矩陣且則μj(Θ)=β1(Θ)+jβ2(Θ)(j=1,2,···,t), β(Θ)=(β1(Θ),β2(Θ))′.若Yj=則μj(Θ)=β1(Θ)+jβ2(Θ)+j2β3(Θ)(j=1,2,···,t),β(Θ)=(β1(Θ),β2(Θ),β3(Θ))′. 下面介紹本文假設(shè).

假設(shè)1設(shè)

假設(shè)2設(shè)矩陣Λ=Λ(q,q)=Cov[β(Θ)],Φ=Φ(t,t)=E[Cov(X|Θ)] 是正定矩陣(Λ 是回歸系數(shù)向量β(Θ)的協(xié)方差, Φ 是Θ 給定時(shí)觀測(cè)數(shù)據(jù)X的條件協(xié)方差的期望).

本文根據(jù)已知觀測(cè)X′=(X1,X2,···,Xt)得出凈保費(fèi)μj(Θ)在平衡損失函數(shù)下的估計(jì)的表達(dá)式.

2 平衡損失函數(shù)下的凈保費(fèi)回歸信度估計(jì)

首先給出線性代數(shù)中滿足特殊條件的矩陣的求逆公式.

引理1設(shè)矩陣A 是(r×s)矩陣, B 是(s×r)矩陣且(I+AB)?1存在, 那么有如下求逆公式：

其中:I表示(r×r)單位矩陣.

證明 線性代數(shù)中的求逆公式(A+BCD)?1=A?1?A?1B(C?1+DA?1B)?1DA?1,取A=D=I,B=A,C=B就可得出以上公式.

信度保費(fèi)用樣本的線性函數(shù)預(yù)測(cè)未來(lái)保費(fèi), 使得期望平方損失函數(shù)達(dá)到最小, 求解下面的最優(yōu)化問(wèn)題:

下面的引理可以更方便地求信度估計(jì), 其證明可參考文獻(xiàn)[11].

引理2設(shè)隨機(jī)向量的期望與協(xié)方差矩陣分別為

在矩陣的非負(fù)定意義下達(dá)到最小.

根據(jù)引理, 基于隨機(jī)向量X的非齊次函數(shù)類(lèi)的隨機(jī)向量Y的最優(yōu)預(yù)測(cè)為

其中:proj(Y|L(X,1))表示Y在X的線性函數(shù)空間的正交投影.取損失函數(shù)為平衡損失函數(shù):

其中:δ(μj(Θ))是μj(Θ) 的已知目標(biāo)估計(jì). 平衡損失函數(shù)下估計(jì)凈保費(fèi)等價(jià)于求解下面的最優(yōu)化問(wèn)題：

關(guān)于平衡損失函數(shù)下的信度理論有下面的引理3.

引理3在平衡損失函數(shù)

下,μj(Θ)的非齊次信度估計(jì)為

其證明可參考文獻(xiàn)[6].

下面給出μj(Θ)在平衡損失函數(shù)下的回歸信度估計(jì). 令其中δ(β(Θ))是β(Θ)的已知目標(biāo)估計(jì), 設(shè)E[δ(β(Θ))]=μδ,Cov[δ(β(Θ),β(Θ)]=?, 則

定理1基于以上假設(shè)及引理, 在平衡損失函數(shù)下凈保費(fèi)μj(Θ)的估計(jì)如下:

其中

證明由假設(shè)1, 假設(shè)2可得由引理3 可得

而根據(jù)引理1 和引理2 有

而

因此

定理得證.

3 結(jié)論

本文用投影公式和矩陣?yán)碚撚懻摿嘶貧w信度模型, 推出平衡損失函數(shù)下的凈保費(fèi)回歸信度表達(dá)式, 推廣了平方損失函數(shù)下的凈保費(fèi)回歸信度模型. 本文中刻畫(huà)了時(shí)間對(duì)凈保費(fèi)的影響, 用觀測(cè)數(shù)據(jù)的線性函數(shù)估計(jì)了凈保費(fèi), 推導(dǎo)過(guò)程中用到了求逆公式的特殊形式, 使得模型的推導(dǎo)更加簡(jiǎn)潔.