韓 楓，謝基榕

（中國(guó)船舶科學(xué)研究中心深?？臻g站研究設(shè)計(jì)部，江蘇無(wú)錫214082）

0 引 言

在ROV 的運(yùn)動(dòng)建模過(guò)程中，存在較強(qiáng)的非線性特性，且不同自由度間的耦合作用十分明顯，尤其是水動(dòng)力學(xué)部分。傳統(tǒng)Simulink 建模方式本質(zhì)上仍是確立系統(tǒng)的輸入輸出量后，將系統(tǒng)的微分代數(shù)方程推導(dǎo)為狀態(tài)空間表達(dá)式，以確定的因果運(yùn)算機(jī)制建立并求解仿真模型。當(dāng)涉及此類(lèi)多變量、非線性與多耦合的復(fù)雜系統(tǒng)建模時(shí)，采用此方式需花費(fèi)大量時(shí)間進(jìn)行因果賦值運(yùn)算。與之相比，Modelica語(yǔ)言具有非因果建模特性，即聲明方程時(shí)不限定方程求解方向，可極大簡(jiǎn)化建模工作量。

本文依據(jù)Fossen提出的針對(duì)一般水下航行器的運(yùn)動(dòng)建模理論[1]并應(yīng)用Modelica建模語(yǔ)言，以ROV力學(xué)系統(tǒng)為例，提出一種通用的、面向?qū)ο蟮乃潞叫衅鬟\(yùn)動(dòng)建模方法；對(duì)ROV 進(jìn)行動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，對(duì)于流體動(dòng)力部分針對(duì)其運(yùn)動(dòng)特性單獨(dú)闡述、簡(jiǎn)化；應(yīng)用Modelica 語(yǔ)言面向?qū)ο筇匦?，劃分系統(tǒng)仿真框架如圖1所示，在基于該語(yǔ)言的MWorks平臺(tái)內(nèi)，形成ROV動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)下各模塊由受力模型到仿真模型轉(zhuǎn)化，通過(guò)組件實(shí)例化與基類(lèi)繼承的方式實(shí)現(xiàn)模型重用，創(chuàng)建ROV 力學(xué)系統(tǒng)。最后，將推進(jìn)器動(dòng)態(tài)性能仿真應(yīng)用至ROV 斜航與下潛仿真工況中，對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析，以展示建模方法的合理性、快捷性。

圖1 仿真框架與系統(tǒng)層級(jí)劃分Fig.1 Simulation framework and system hierarchy division

1 Modelica語(yǔ)言特性

Modelica 是一種面向?qū)ο?、采用非因果建模與陳述式建模的多領(lǐng)域物理系統(tǒng)建模語(yǔ)言，可應(yīng)用于幾乎所有工程領(lǐng)域[2]。該語(yǔ)言采用基于方程的方法描述真實(shí)物理系統(tǒng)，其內(nèi)置的Modelica標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)包含了機(jī)、電、液、熱、控等多領(lǐng)域的基礎(chǔ)組件模型，可實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)代復(fù)雜工程系統(tǒng)進(jìn)行整體性能分析與評(píng)估的任務(wù)。

Modelica 語(yǔ)言應(yīng)用面向?qū)ο蟮乃枷隱3]，支持采用分層機(jī)制、組件連接機(jī)制和繼承機(jī)制構(gòu)建模型[4]，可簡(jiǎn)化模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度。不同于Simulink 建模需要將數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)為因果關(guān)系明確、數(shù)據(jù)流向恒定的狀態(tài)方程，該語(yǔ)言采用方程定義變量的行為，無(wú)需人為劃分方程求解方向，求解器根據(jù)給定條件自行求解未知量。該語(yǔ)言可根據(jù)系統(tǒng)的真實(shí)物理拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，其組件視圖具有與真實(shí)系統(tǒng)相似的結(jié)構(gòu)層次與布局。

2 水下航行器運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

采用ITTC 推薦坐標(biāo)體系描述水下航行器六自由度運(yùn)動(dòng)，如圖2 所示。使用歐拉角法描述航行器姿態(tài)角[5]，航行器位置和姿態(tài)矢量表述為

航行器速度與角速度矢量在動(dòng)系中投影為

利用剛體有限轉(zhuǎn)動(dòng)理論和歐拉旋轉(zhuǎn)定理[5]，可推導(dǎo)速度、角速度從其在動(dòng)系中投影v到其在定系中投影η˙的轉(zhuǎn)換矩陣J1(η2)、J2(η2)，兩者共同構(gòu)成水下航行器運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換矩陣J(η2)：

圖2 水下航行器定系與動(dòng)系定義Fig.2 Definition of fixed and moving coordinate system of underwater vehicle

3 水下航行器動(dòng)力學(xué)建模

將航行器所受外力（矩）劃分為慣性力-τ、流體動(dòng)力τH、靜力τR、推力τP、外界干擾f 等部分，建立動(dòng)系內(nèi)動(dòng)力學(xué)平衡方程：

式中各項(xiàng)皆為六行列矢量，列矢量的前三行、后三行元素分別表示該力、該力矩在動(dòng)系中的投影。

3.1 剛體動(dòng)力學(xué)建模

將航行器視為剛體，對(duì)動(dòng)系原點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理，可得到剛體動(dòng)力τ矢量形式：

式中，MRB是航行器對(duì)動(dòng)系原點(diǎn)的剛體質(zhì)量與慣性張量矩陣；CRB是由航行器繞動(dòng)系旋轉(zhuǎn)引起的科里奧利力與向心力矩陣。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，動(dòng)系作為非慣性系，在其中進(jìn)行受力分析時(shí)，需將剛體動(dòng)力取負(fù)值-τ，作為慣性力參與到平衡方程的求解中。

3.2 流體動(dòng)力學(xué)建模

將航行器所受流體動(dòng)力τH劃分為與加速度v˙相關(guān)的慣性力τA和與速度v相關(guān)的粘性力τD。將慣性類(lèi)流體力τA按附加慣量矩陣MA和由MA引起的科氏力和向心力矩陣CA的形式分離為

由ROV的對(duì)稱(chēng)性假設(shè)，可將其附加慣量矩陣MA中非對(duì)角線元素消去，矩陣CA亦受到簡(jiǎn)化。

將航行器所受粘性類(lèi)流體力τD分離為

式中，D為水動(dòng)力阻尼矩陣，可將其分解為線性、非線性水動(dòng)力阻尼矩陣DL、DNL兩項(xiàng)：

由ROV 對(duì)稱(chēng)性假設(shè)，且其大部分運(yùn)動(dòng)皆在水平面與垂直面內(nèi)進(jìn)行，運(yùn)動(dòng)速度一般為低速，可忽略其水動(dòng)力阻尼的耦合效應(yīng)，視粘性水動(dòng)力系數(shù)為相互獨(dú)立，并忽略二階以上水動(dòng)力系數(shù)的影響。

航行器受洋流U 作用時(shí)，先于定系中描述洋流速度與角速度投影vU，再于動(dòng)系中利用轉(zhuǎn)換矩陣J(η2)-1求其投影vtransU并計(jì)算航行器相對(duì)洋流的速度與角速度投影vr，其結(jié)果用于計(jì)算流體動(dòng)力τH。

3.3 靜力學(xué)建模

航行器受靜力τR作用，包括重力G、浮力B 和浮心位置rB的影響，需先計(jì)算靜力于定系中垂向投影，再利用速度投影轉(zhuǎn)換矩陣的逆陣J1(η2)-1求取其于動(dòng)系中投影，由浮心位置rB計(jì)算恢復(fù)力矩。

3.4 推進(jìn)系統(tǒng)建模

推進(jìn)系統(tǒng)模型可劃分為電樞模型與推力模型，前者用于計(jì)算外部電壓作用下電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速，經(jīng)推力系數(shù)、轉(zhuǎn)矩系數(shù)擬合后，可求得標(biāo)量形式表述的螺旋槳軸向推力與軸向轉(zhuǎn)矩；后者則定義螺旋槳位置和角度，從而獲知軸向推力及轉(zhuǎn)矩、推力在質(zhì)心處轉(zhuǎn)矩的矢量形式，并求其在動(dòng)系內(nèi)投影。

對(duì)推進(jìn)系統(tǒng)中直流電機(jī)的電樞部分進(jìn)行建模，其簡(jiǎn)化模型組件視圖如圖3所示。列寫(xiě)其回路電壓平衡方程與轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)矩平衡方程：

圖3 電樞模塊組件視圖Fig.3 Components of armature module

式中，R、L、i 分別是電樞電路中電阻、電感與電流，Vs為輸入電壓，E 為反電動(dòng)勢(shì)E = Ceω，Ce為反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)，ω 為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；fm為電機(jī)轉(zhuǎn)軸粘性摩擦系數(shù)，Mm為電磁轉(zhuǎn)矩，Mm= Cmi，Cm為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，Q為螺旋槳切割水流引起負(fù)載轉(zhuǎn)矩，Jm為電機(jī)與負(fù)載折合至轉(zhuǎn)軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。工程應(yīng)用中因摩擦系數(shù)fm較小可將其忽略，消去中間變量i、E、Mm后，得到以角速度ω 為輸出，以電壓Vs和負(fù)載轉(zhuǎn)矩Q 為輸入的直流電機(jī)微分方程；在零初始條件下對(duì)其進(jìn)行拉氏變換，根據(jù)線性疊加原理，可分別求得Vs與Q到ω的傳遞函數(shù)：

式中，Ki（i=1,2）為增益常數(shù)，Ti（i=1,2,3）為時(shí)間常數(shù)，均為電機(jī)固有參數(shù)?？陕?lián)立以推力系數(shù)KT、轉(zhuǎn)矩系數(shù)KQ表述的推力T 及負(fù)載轉(zhuǎn)矩Q方程：

式中，n、D分別為螺旋槳轉(zhuǎn)速、直徑。

已知第i 個(gè)推進(jìn)器相對(duì)動(dòng)系的位置矢量riP與角度θi和Ψi，如圖4 所示。獲知其軸向推力標(biāo)量Pi、扭矩標(biāo)量Qi后，可求取該推進(jìn)器推力、扭矩、推力矩矢量在動(dòng)系內(nèi)投影，對(duì)各推進(jìn)器上述矢量投影求和即得總推力（矩）矢量τP。

圖4 單個(gè)推進(jìn)器安裝位置與角度Fig.4 Installation position and angle of a single propeller

4 水下航行器通用仿真模型建立

根據(jù)已分析的水下航行器運(yùn)動(dòng)模型與Modelica 語(yǔ)言面向?qū)ο蟮奶卣?，提出一種通用的水下航行器運(yùn)動(dòng)建模方法，以ROV 力學(xué)系統(tǒng)為例，將其劃分為動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)兩個(gè)子系統(tǒng)，共下設(shè)五個(gè)模塊：慣性力模塊、流體動(dòng)力模塊、靜力模塊、推進(jìn)模塊（可進(jìn)一步劃分為電樞模塊與推力模塊）和運(yùn)動(dòng)學(xué)模塊，各模塊關(guān)系與功能如圖5所示。

應(yīng)用基于組件的建模方法，定義可重用、包含不同變量類(lèi)型的多個(gè)連接器類(lèi)，在本文中應(yīng)用如表1所示。模塊內(nèi)通過(guò)連接器實(shí)例化方式獲取所需變量，模塊間則通過(guò)連接器互聯(lián)完成信息傳輸。

欲創(chuàng)建各力學(xué)模塊，除定義和獲取所需變量外，還需在參數(shù)區(qū)定義相關(guān)的模型參數(shù)。由于同一參數(shù)可能在不同模塊內(nèi)多次出現(xiàn)，為避免冗余，本文將ROV 物理參數(shù)與水動(dòng)力系數(shù)集成后單獨(dú)創(chuàng)建模塊，并通過(guò)繼承方式將參數(shù)傳遞至各力學(xué)模塊。

圖5 ROV力學(xué)系統(tǒng)各模塊功能Fig.5 Function of each module of ROV mechanical system

表1 連接器內(nèi)定義變量類(lèi)型Tab.1 Variable types defined within the connector

以創(chuàng)建流體動(dòng)力模塊為例，首先在MWorks 平臺(tái)內(nèi)定義運(yùn)動(dòng)學(xué)連接器ROV_ve?locity，其中聲明速度變量u、v、w 與角速度變量p、q、r，如圖6（a）所示；隨后建立流體動(dòng)力模塊并繼承物理參數(shù)模塊ROV6dof_parame?ters以獲取水動(dòng)力系數(shù)，將連接器ROV_veloc?ity 實(shí)例化為對(duì)象p，并創(chuàng)建式（8）中非線性水動(dòng)力阻尼矩陣DNL，如圖6（b）所示。

運(yùn)用類(lèi)似方式定義力與力矩連接器實(shí)例p1、附加質(zhì)量矩陣MA、科氏力與向心力矩陣CA、線性水動(dòng)力阻尼矩陣DL。如圖6（c）所示，在equation 塊內(nèi)建立守恒方程，為避免繁瑣，用多維數(shù)組V 指代速度與角速度變量，利用微分算子der()對(duì)時(shí)間求導(dǎo)功能計(jì)算（角）加速度，由流體動(dòng)力式（6）～（8）所示，等式左側(cè)取各矩陣變量與（加）速度、角（加）速度變量進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，等式右側(cè)連接器實(shí)例p1內(nèi)嵌套的力與力矩變量F即為流體動(dòng)力tau_H。在此模塊的圖標(biāo)視圖內(nèi)繪制圖像，則流體動(dòng)力模塊封裝完畢，可通過(guò)內(nèi)置的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)連接器進(jìn)行模塊間信息交互。

運(yùn)用上述建模方法建立并封裝各力學(xué)模塊，在頂層模型中完成模塊實(shí)例化，其圖標(biāo)視圖如圖7所示。對(duì)各模塊實(shí)例的連接器進(jìn)行匹配，連接器內(nèi)勢(shì)變量生成等值的運(yùn)動(dòng)學(xué)兼容方程，保證了各模塊中速度、角速度、姿態(tài)角的一致性；連接器內(nèi)流變量則統(tǒng)一各動(dòng)力學(xué)模塊，自動(dòng)生成如式（4）所示的各受力項(xiàng)之和為零的動(dòng)力學(xué)平衡方程，從而建立起完備的ROV 運(yùn)動(dòng)微分方程組。至此完整的ROV 力學(xué)系統(tǒng)建立完畢，設(shè)定作業(yè)工況即可進(jìn)行仿真。

圖6 流體動(dòng)力模塊建立過(guò)程Fig.6 Establishment process of hydrodynamic module

圖7 MWorks中ROV力學(xué)系統(tǒng)頂層模型視圖Fig.7 Top-level model view of ROV mechanical system in Mworks

5 仿真實(shí)例

選取文獻(xiàn)[6]中ROV 為本文仿真對(duì)象，其主體及水動(dòng)力系數(shù)如表2～3 所示，其推進(jìn)器鏡像布置情況如圖8 和圖9 所示。水平推力T1～T4、垂向推力T9由1002 型推進(jìn)器產(chǎn)生，垂向推力T5～T8則由1004型推進(jìn)器產(chǎn)生，前者推力約為后者四倍。

表2 ROV主體物理參數(shù)Tab.2 ROV main physical parameters

表3 ROV水動(dòng)力系數(shù)(有量綱)Tab.3 ROV hydrodynamic coefficients(with dimension)

圖8 水平方向推進(jìn)器布置Fig.8 Horizontal thrusters configuration

圖9 垂向推進(jìn)器布置Fig.9 Vertical thruster configuration

將推進(jìn)器輸入電壓與輸出推力進(jìn)行歸一化處理，略去轉(zhuǎn)速生成過(guò)程并整合軸向負(fù)載轉(zhuǎn)矩影響，使用一階傳遞函數(shù)擬合推進(jìn)器正轉(zhuǎn)與反轉(zhuǎn)過(guò)程中推力零初始條件下的動(dòng)態(tài)性能，以采用的1002 型推進(jìn)器[6]動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真曲線為例，如圖10 所示。

設(shè)置仿真工況為ROV 在垂直面內(nèi)做斜航下潛運(yùn)動(dòng)，仿真持續(xù)時(shí)間20 s，應(yīng)用推進(jìn)器動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真結(jié)果。垂推始終產(chǎn)生沿垂軸正向的較小合推力，前10 s 內(nèi)水平推進(jìn)器滿載工作，合推力沿縱軸正向，10 s 后水平推進(jìn)器斷電。ROV 初始速度、姿態(tài)角與各推進(jìn)器推力均為零，全程采用默認(rèn)Dassl 求解器運(yùn)算，解出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11 所示，其速度、姿態(tài)角及所受流體阻力變化過(guò)程如圖12所示。

由圖12（a）可知，仿真前10 s 內(nèi)ROV 由靜止開(kāi)始逐漸加速，直至推力τP、靜力τR與流體動(dòng)力τH相平衡時(shí)保持勻速斜航；圖12（b）顯示，此過(guò)程中縱傾角θ 亦稍增長(zhǎng)后保持穩(wěn)定，這是小攻角來(lái)流條件引起的孟克力矩[7]M =( )Xu˙- Zw˙uw 所造成的，體現(xiàn)出ROV 航行過(guò)程中縱向速度u 和垂向速度w 的耦合由于流體粘性力τD的大小與速度及速度二次項(xiàng)均相關(guān)，ROV加速過(guò)程中初始流體阻力τH遠(yuǎn)低于推力τP，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間加速后，流體阻力τH快速增長(zhǎng)，ROV 接近受力平衡狀態(tài)，速度u及縱傾角θ的變化速率趨緩，其非線性運(yùn)動(dòng)特性得以展現(xiàn)。

圖10 推進(jìn)器正、反轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)性能Fig.10 Dynamic performance of thruster in forward and reverse directions

圖11 ROV運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.11 ROV trajectory

圖12 ROV運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果Fig.12 ROV motion simulation results

仿真10 s后縱向推力τP逐漸歸零，在剛體慣性與流體粘性力τD的作用下，ROV 縱向速度u不斷減小至零，由于恢復(fù)力矩作用，縱傾角θ歸零，ROV回歸正浮、勻速下潛狀態(tài)。

由圖12（c）可知，流體慣性力τA對(duì)姿態(tài)角的影響更為顯著，這是由于其科氏力矩陣CA中包含了不同自由度間慣性水動(dòng)力系數(shù)與速度的耦合項(xiàng)；由圖12（d）可知，粘性力τD縱向分量的數(shù)值較大，為影響ROV速度的主要因素，慣性力τA縱向分量?jī)H在加速、減速初期產(chǎn)生較明顯的非線性變化效應(yīng)。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文將Modelica語(yǔ)言應(yīng)用到ROV力學(xué)系統(tǒng)的建模過(guò)程中，提出了一種通用的、面向?qū)ο蟮乃潞叫衅鹘７椒?，該語(yǔ)言如下特性與優(yōu)勢(shì)得以展現(xiàn)：

（1）陳述式特性更大限度地保留了力學(xué)系統(tǒng)理論拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，便于實(shí)現(xiàn)受力分析到仿真模型轉(zhuǎn)化；

（2）層級(jí)劃分機(jī)制使得圖標(biāo)視圖與組件視圖中的各級(jí)組件更為清晰，有利于模型的修改與測(cè)試；

（3）非因果特性在進(jìn)行此類(lèi)非線性、多耦合的復(fù)雜系統(tǒng)建模時(shí)優(yōu)勢(shì)明顯，無(wú)需人工劃分方程組數(shù)據(jù)流向，大大減少了建模工作量；

（4）繼承與組件實(shí)例化機(jī)制提升模型重用性，通過(guò)定義可重用的動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)連接器并應(yīng)用組件連接機(jī)制，模塊間的互聯(lián)得到保證。

將推進(jìn)器動(dòng)態(tài)性能仿真應(yīng)用至ROV斜航下潛仿真工況內(nèi)，仿真結(jié)果體現(xiàn)出ROV在實(shí)航過(guò)程中非線性及不同自由度間運(yùn)動(dòng)耦合的力學(xué)特性，該建模方法的合理性、便捷性得以展示。同時(shí)，該語(yǔ)言多領(lǐng)域建模特性保留了對(duì)ROV 真實(shí)物理系統(tǒng)實(shí)施進(jìn)一步探究的可行性，為后續(xù)機(jī)、電、液、熱、流等不同學(xué)科領(lǐng)域子系統(tǒng)接入提供了可能。