彌 琦 徐章韜

(華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 430079)

在數(shù)學中，數(shù)學公理、定理、原理常常因為一字之差容易被混淆，而實質(zhì)上它們各不相同，各有側(cè)重點.數(shù)學公理是作為推理前提不需要加以證明的命題，是給定的；數(shù)學定理是建立在公理和假設的前提下經(jīng)過嚴格證明得到的命題，是推導而來的；數(shù)學原理是具有普遍意義的基本規(guī)律或基本方法，是基于大量事實抽象概括出來的正確的數(shù)學命題[1].原理和定理的地位是相對的，如，在立體幾何的框架內(nèi)，祖暅原理是通過經(jīng)驗觀察、思辨得到的不需證明的基礎性命題，其地位類同于公理，但在微積分的框架內(nèi)，其降格成了一個定理.

在中學數(shù)學中，數(shù)學原理并不多見，僅涉及計數(shù)原理、祖暅原理、排序原理、抽屜原理等.但其重要性并沒有因此而有所削弱，數(shù)學原理是中學數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的核心[2]，一方面數(shù)學原理是數(shù)學概念及其關系認識的深化，另一方面它是聯(lián)系概念和問題解決的橋梁[3].但是在實際教學中，原理的教學并沒有受到教師的重視，教師時常在進行數(shù)學原理教學時對原理相關概念、原理歸納過程略微帶過而不作重點展示和介紹，反而將側(cè)重點放在原理的應用上，在學生還沒有真正理解原理的時候就讓學生去應用原理解決問題，導致學生只是一味模仿給出的原理，并沒有理解原理的含義，不利于學生對原理的掌握或者說學生可能從未掌握原理的內(nèi)涵.這些教學中對于原理自身的忽略，一方面是因為有些教師自己并沒有意識到原理的獨特性，將原理完全當成一個公式進行教學，因此不會去強調(diào)原理的生成過程，只重視原理在做題中的套用；另一方面是因為有些教師不知道該怎樣去展示、用多少內(nèi)容展示數(shù)學原理的生成過程，擔心在有限的課堂時間里厚此薄彼，將過多時間放在原理生成過程而導致應用的不足，所以權衡之下將重點向應用傾斜.

所以如何進行數(shù)學原理的教學一直是探討研究的重點之一.下面從對數(shù)學原理的認識和原理課的教學設計兩方面對數(shù)學原理的教學進行探討.

1 對數(shù)學原理的認識

從知識論、教學研究(教學特征與原則)、教育心理學等不同的角度分析認識數(shù)學原理課，有利于更好地進行教學設計.

從知識論的角度看，知識有形式、內(nèi)容和旨趣三個維度[4].原理課，作為課型的一種，顧名思義是在概念相關知識理解的基礎上，以數(shù)學原理學習和運用方法訓練為主的一種課型.從形式上看，數(shù)學原理表現(xiàn)形式包括文字語言、符號語言和圖形語言等，例如排序原理，用文字語言表述就是反序和≤亂序和≤順序和，符號語言則是a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn(其中,a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn，c1,c2,…，cn是b1,b2,…，bn的自由排列).雖然兩者的表達形式不一樣，但表達的是同一個意思，不同的形式只是為了在不同情況下的理解和記憶，實質(zhì)并沒有任何不同.從內(nèi)容上看，數(shù)學原理所包含的內(nèi)容一定是正確的數(shù)學命題，雖然沒有經(jīng)過嚴格的邏輯證明，但也確實是基于大量事實抽象概括出來的，具有科學性.旨趣可理解為價值所在，數(shù)學原理的旨趣在于其所蘊含的數(shù)學思想方法，這些思想方法的理解和滲透不僅使數(shù)學原理的價值得到升華，更是在日常應用中起著莫大的作用.比如加法原理背后所蘊含的“分類”思想，就是將一件任務分成幾類，逐步分析每一類以避免重復和遺漏，這在日常生活中是很常見的.數(shù)學原理的內(nèi)容決定數(shù)學原理的形式，并借助于一定的形式得以表現(xiàn)，數(shù)學原理的形式又對數(shù)學原理的內(nèi)容的產(chǎn)生、檢驗和表達具有重要影響，同時數(shù)學原理的旨趣蘊藏于數(shù)學原理的內(nèi)容與形式之中，推動內(nèi)容的豐富與形式的完善[4].

由于數(shù)學原理是正確的數(shù)學命題，而數(shù)學定理亦是經(jīng)過嚴格證明得到的命題，所以在某些方面，原理課具有與定理課相同的教學特征.在引入時要具有生動性，也就是說數(shù)學原理和數(shù)學定理因其抽象和嚴謹，在引入時須得教師將呆板的知識生動化，創(chuàng)設形象的情境，幫助學生更好地豐富感性認識；在論證的過程中具有嚴謹性，學生通過自己總結(jié)得出后，教師在此基礎上修改、補充、歸納形成最終的表述，不可含糊其辭；在鞏固過程中具有層次性，任何數(shù)學原理和數(shù)學定理一定是在學生既有的知識結(jié)構(gòu)上形成的，所以教師在對數(shù)學原理和數(shù)學定理進行鞏固的同時可推出層次性題組幫助學生同化或順應知識[5].

在教學的基本原則[6]上，數(shù)學原理課與數(shù)學定理課也有異曲同工之妙.(1)科學性原則，數(shù)學原理通常用文字、符號、圖形等多種語言表示，從多個角度描述同一個原理內(nèi)涵，而不論是用何種形式都必須是清楚的、確定的，不能有歧義，這是最基本的原則.(2)具體到抽象的過程性原則，學生對數(shù)學原理的感知到應用是一個從具體到抽象、從感性認識到理性認識的過程.(3)循序漸進原則，由于學生對于數(shù)學原理的學習一定是建立在已有的知識結(jié)構(gòu)之上，所以教師不僅要考慮學科發(fā)展的規(guī)律，也要考慮學生的認知發(fā)展，以循序漸進的順序進行教學.(4)理解與鞏固相結(jié)合的原則，任何一個數(shù)學原理都不是靠死記硬背來掌握的，而是在理解的基礎上通過應用進行鞏固，理解是基礎，鞏固是必然.

即使原理課與定理課有如此多的相似之處，但是兩者亦具有本質(zhì)的區(qū)別.(1)數(shù)學原理和數(shù)學定理的概念本質(zhì)不同，數(shù)學定理一定是在公理和假設的前提下經(jīng)過嚴格證明得到的真命題，而數(shù)學原理在命題體系中與公理的距離更接近，強調(diào)的是歸納、概括，不一定是嚴格的邏輯證明.(2)教學環(huán)節(jié)不同.定理課的教學必不可缺的一步就是定理的證明，只有嚴格的邏輯證明后才能運用，而原理課這一環(huán)節(jié)則不是必須的，原理更多的是通過大量舉例來抽象概括得出，只需要接受實踐的檢驗即可，不一定要經(jīng)過邏輯的證明[7].所以二者并不能直接歸類于一種類型.

從教育心理學的角度出發(fā)，根據(jù)奧蘇泊爾對于數(shù)學知識與學生原有認知結(jié)構(gòu)之間的關系，數(shù)學知識的學習可分為下位學習、并列學習、上位學習.下位學習是指新的學習內(nèi)容被融入學生已有的認知結(jié)構(gòu)當中去的過程，即原有知識系統(tǒng)高于新知識.并列學習是指新知識與學生的原有認知結(jié)構(gòu)處于并列關系，即新知識與原有知識系統(tǒng)處于同一水平.上位學習也叫總括學習，是指學生原有的認知結(jié)構(gòu)無法容納新的知識，需要通過新的方式將新知識融入原有知識系統(tǒng)當中去，即原有知識系統(tǒng)低于新知識[8].而數(shù)學原理的學習屬于上位學習，也就是在學生的原有知識系統(tǒng)中，原有知識系統(tǒng)僅僅只提供了相關的部分概念，無法與所學原理直接產(chǎn)生聯(lián)系，需要對原有知識系統(tǒng)進行重新認識，需要在不斷的運用中進行加深和理解以便掌握.如，加法原理、乘法原理需要對分解與合成，以小見大重新認識，要在一個單元，通過對“做一件事”不斷進行細化、具體化，才能逐漸把握原理的一般性.

總而言之，原理課在所有課型中具有其獨特性，它不僅是對于數(shù)學具體知識的傳授和學習，更多是對于數(shù)學抽象、概括思想方法的滲透和領悟，這也是為什么原理課常常達不到其教學目的的原因.因此要在此基礎上注重數(shù)學原理課的教學設計.

2 原理課的教學設計

原理課的教學方式一般有兩種：由例子到原理和由原理到例子[9].由于在中學數(shù)學教材中牽涉到的數(shù)學原理的教材安排方式大都是由例子到原理，所以本文以由例子到原理，用例規(guī)法分析其教學設計.

原理課的教學設計可以分為以下四個階段：問題引入、討論歸納、原理呈現(xiàn)、鞏固應用.

問題引入階段.給出學生一些例子以提出問題，這些例子一定要保證能夠清楚地表達出原理的特點，以方便后續(xù)的歸納、概括，要具有代表性且讓學生容易明白.這樣利用例子來提出問題進行引入，一方面可以激發(fā)學生學習的興趣，激起學生解疑的好奇心；另一方面這樣的方式是在潛移默化地將所要學習的原理進行應用，與后面的應用是一個前后相呼應的關系，可以幫助學生更好地理解.例如，對于分類加法計數(shù)原理的問題引入，教材中直接以一個用阿拉伯數(shù)字和大寫字母給座位編號的問題切入，簡潔明了，與分類加法計數(shù)原理十分切合，但是不夠生活化，在課堂伊始就直接給出稍顯突兀.所以，很多教學案例[10]選擇了更加生活化的問題——路線選擇問題(從甲地到乙地可以有幾種方式)，這類問題確實很貼切生活，但是信息量過于繁雜，會干擾到學生對于分類加法計數(shù)原理本質(zhì)的理解，更適合放在課后的作業(yè)中去練習.因此，鑒于以上不足，在選擇問題引入時，我們在教材的原有編號問題前加入了一個更加簡潔且生活化的例子(學校高三理科班有467名學生，文科班有234名學生，在文科班或理科班選一名學生代表學生參加比賽，共有多少種選法？).這樣的兩個問題循序漸進，讓學生更容易理解，也利于后續(xù)學生對兩者共同點的歸納.

討論歸納階段.是以學生為主體完成的，也就是學生在原有的知識結(jié)構(gòu)的基礎上根據(jù)教師給出的問題對原理進行歸納提煉.學生先是利用已有的知識對問題進行解決，然后對問題的解決過程進行分析歸納，得到對原理的初步猜想和總結(jié)，這是一個知識遷移的過程，學生將所學過的知識點進行相互聯(lián)系，相互類比，把舊知識加以歸納、總結(jié)遷移成新的知識點[11]，學生可以親身體驗和感受原理的歸納思路，這更有利于對原理的理解和掌握.對于分類加法計數(shù)原理的討論歸納，教材中是讓學生探究引入問題的特征，然后給出特征的描述——“或”字的重要性，誠然，這個描述直接觸及到了分類加法計數(shù)原理的本質(zhì)，但是這并不是唯一的歸納結(jié)論，在學生對于兩個問題的特征歸納以及問題解決的過程中，是沒有標答的，教師只需要盡可能地收集學生自己的歸納，并讓學生之間相互補充改進，給出他們自己的答案即可.有的教學案例中，會設計讓教師進行引導出現(xiàn)“完成一件事”“方案”等原理中的字眼[12]，在我們看來，這個沒有必要，因為這樣的直接提示會限制學生的思維，相當于強行將學生往原理本身上靠，學生并沒有思考的余地.因此，只需要給足學生自由討論的時間即可，討論總結(jié)的過程便是對分類加法計數(shù)原理的探索過程，即使最終學生的總結(jié)存在不完善、有歧義、不明確等缺點，但對學生來說也是突破性的一步.在學生總結(jié)得到規(guī)律后，試著讓學生根據(jù)自己的理解進行舉例，學生自己舉例的過程也是對原理的理解過程.

原理呈現(xiàn)階段.是教師直接給出關于原理的精確表述，由于學生對于原理的歸納可能是帶有瑕疵的，在某些方面也可能是沒有考慮周到的，這時候需要教師直接呈現(xiàn)出原理準確的表述，幫助學生更進一步地認識和掌握原理.這一步關乎學生的認識層次的進一步明確，不可或缺.對于分類加法計數(shù)原理的呈現(xiàn)，教材中直接給出兩類不同方案時的原理(完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法)，我們認為這是合理的，因為在之前的問題引入中，都是只有兩類不同方案時的情況.但是有些教學視頻在此處將引入問題進行拓展，比如對于編號問題拓展成三類(用一個大寫的英文字母、一個小寫字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼)，進而引入到n類不同方案時的情況，接著呈現(xiàn)n類不同方案時的分類加法計數(shù)原理(如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法)，這樣的處理我們認為操之過急，直接將兩類方案的原理呈現(xiàn)略過，沒有給學生一個由淺入深、逐步理解的過程，不利于學生的掌握.因此，我們更傾向于教材中的處理，即以兩類不同方案的情況給出分類加法計數(shù)原理，對于擴展到n類，在鞏固應用階段引出即可.

鞏固應用階段.即在教師呈現(xiàn)出原理之后，需要對原理進行鞏固以確保學生對原理的深刻理解，而鞏固的主要方式就是應用.教師可以給出一些題組讓學生利用原理進行解答，幫助學生鞏固.因為每一個原理的學習最終都是要走向應用的，這不僅是原理的學習目的，也是數(shù)學與生活聯(lián)系的體現(xiàn)，所以應用不應只局限于一些習題的解答，還可以涉及實際生活的廣泛應用，以使學生能夠靈活掌握應用原理.對于分類加法計數(shù)原理的鞏固應用，題型很多，可以是路線問題、選派學校代表問題、選課問題等，這些問題大同小異，都與生活息息相關且本質(zhì)上是一樣的，所以選哪種都一樣，教材中是用高中畢業(yè)生填志愿的例題(在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A、B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A大學：生物學、化學、醫(yī)學、物理學、工程學；B大學：數(shù)學、會計學、信息技術學、法學.如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇)進行鞏固的，十分貼合學生的實際，無不妥之處.但是，在例題練習之后，教材中直接提出思考：如果完成一件事有三類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法，這種直接提問稍顯生硬，比較好的方式是通過實際問題提出這樣的問題，讓學生一邊解決實際問題一邊思考分類加法計數(shù)原理不止適用于兩類不同方案時的情況，比如在書上的例題的基礎上進行改編——如果還有C大學可供這名高中畢業(yè)生選擇，且C大學他感興趣的強項專業(yè)為：地質(zhì)學、金融學，那么這名高中畢業(yè)生共有多少種選擇？這種變式的承接比較自然，能讓學生順其自然地在解決實際問題的過程中了解到三類不同方案時也是適用分類加法計數(shù)原理的，進而拓展到n類.將拓展到n類的情況在鞏固應用階段揭示，是因為分類加法計數(shù)原理不論是在兩類不同方案還是n類不同方案，其實是沒有區(qū)別的，只要掌握了兩類時的情況，那么n類的引出就不需要太費時間，順其自然給出即可，在學生應用時引出是比較好的選擇.

數(shù)學原理的教學涉及的四個基本環(huán)節(jié)是環(huán)環(huán)相扣的，每一步都不可或缺，都有其特定的目的.同時貫穿四個環(huán)節(jié)的是數(shù)學原理背后所隱含的數(shù)學思想，這也是數(shù)學原理學習的終極目標，只有在學習過程中掌握了其所隱含的數(shù)學思想，才能準確地將其應用，才能說是掌握了相應的原理.

對于原理的教學因為是需要學生自己去歸納概括，以學生的探究為主，因此教師可以采用討論法進行教學.討論法強調(diào)學生的探究發(fā)現(xiàn)能力、思維發(fā)展能力以及獨立思考能力.采用討論法來進行原理的教學，一方面可以讓學生在自己總結(jié)概括的過程中親身體驗原理的內(nèi)涵，有助于學生更好地理解原理的內(nèi)容，從而更加輕松自如地運用；另一方面，學生是自己進行歸納概括的，所以有助于強化學生對于原理內(nèi)容的記憶.在學生討論的過程中，教師也不是完全置身于事外的，教師應該掌握討論的節(jié)奏，準確把握學生討論的方向，在學生出現(xiàn)問題時要及時給予學生提示，幫助學生成功概括出原理內(nèi)容.

原理的教學對于新課標一直強調(diào)的“課堂以學生為主體，教師的教學是服務于學生的學習的”是很好的體現(xiàn)，在整個過程中尤其要強調(diào)學生的主動參與，強調(diào)學生的獨立思考.

3 小結(jié)

雖然原理課比起其他課型占的比例并不算多，但是這并不能說明原理課是不重要的，原理課不但可以提升學生的思維能力，還是一種滲透數(shù)學思想方法的重要方式.所以教師在進行教學設計時要注意以學生為主體，精心設計，讓學生更好地理解和掌握原理.