駱開軍 林曦鵬 陳海生,2 梁志松 張少朋

（1.國(guó)家能源大規(guī)模物理儲(chǔ)能技術(shù)（畢節(jié)）研發(fā)中心，畢節(jié) 551700；2.中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所，北京 100190）

主題詞：定子鐵心 固有頻率 有限元法 頻譜分析

1 前言

永磁同步電機(jī)的各階次徑向電磁力與徑向模態(tài)是決定電機(jī)振動(dòng)噪聲的關(guān)鍵因素[1-2]，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)電機(jī)定子鐵心的固有頻率和減小徑向電磁力幅值對(duì)有效抑制電機(jī)的振動(dòng)和噪聲至關(guān)重要[3-4]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)電機(jī)模態(tài)展開了深入研究，S.Noda 等學(xué)者利用解析分析快速得出定子鐵心的固有頻率[5]，王天煜利用有限元分析方法分析了端蓋和底腳對(duì)大型異步電機(jī)固有頻率的影響[6]，于慎波利用有限元與解析法分析電機(jī)定子圓柱殼體長(zhǎng)度、壁厚、平均直徑和徑厚比對(duì)其周向模態(tài)頻率的影響[7]，文獻(xiàn)[8]～文獻(xiàn)[10]采用解析法針對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)、超聲波電機(jī)和小型感應(yīng)電機(jī)的固有頻率進(jìn)行了研究。

上述研究未針對(duì)定子鐵心材料屬性和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)定子鐵心固有頻率的影響進(jìn)行研究。本文對(duì)永磁同步電機(jī)進(jìn)行簡(jiǎn)化建模，采用解析與有限元法計(jì)算電機(jī)定子的固有頻率，并對(duì)電機(jī)開展空載噪聲試驗(yàn)，用噪聲頻譜數(shù)據(jù)間接驗(yàn)證電機(jī)模型的準(zhǔn)確性，并根據(jù)解析法分別計(jì)算不同材料屬性、定子齒寬、軛厚和定子鐵心軸向長(zhǎng)度條件下的固有頻率，研究不同參數(shù)對(duì)固有頻率變化的影響，為抑制電機(jī)共振提供理論依據(jù)。

2 電機(jī)定子固有頻率等效解析模型

模態(tài)分析的關(guān)鍵是確定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的描述參數(shù)。根據(jù)Hamilton 應(yīng)力-應(yīng)變、應(yīng)變-位移的關(guān)系，可得出電機(jī)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程[11-13]：

式中，K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；R為阻尼矩陣；μ、分別為節(jié)點(diǎn)的位移矢量、速度矢量、加速度矢量；F為節(jié)點(diǎn)力矢量。

對(duì)電機(jī)進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，忽略阻尼，同時(shí)令F=[0]，時(shí)間導(dǎo)數(shù)用jω代替，其中ω為角頻率，則式（1）簡(jiǎn)化為：

根據(jù)線性方程組理論，有非零解的充分必要條件為|K-ωr2M|=0，解出滿足以上方程的頻率ωr和對(duì)應(yīng)的非零向量μr，則結(jié)構(gòu)的固有頻率f為：

式中，Ki、Mi分別為鐵心的剛度和質(zhì)量。

電機(jī)定子鐵心上有繞組線圈、定子槽等，不是完整的圓柱體。為了計(jì)算定子鐵心的剛度和質(zhì)量，將定子齒等效成為長(zhǎng)方形，定子軛等效成圓柱，則鐵心剛度和質(zhì)量為：

式中，Ii為截面慣性矩；m為軸向階數(shù)；Li為定子鐵心軸向長(zhǎng)度；Ei為彈性模量；hi為定子軛厚度；Ri為定子鐵心平均半徑；Vi為泊松比；ρi為鐵心密度；Ct為定子齒寬度；Z為槽數(shù)；R1、R2分別為定子鐵心內(nèi)、外半徑；為二階運(yùn)動(dòng)特征方程的根；為無量綱的壁厚因子。

3 電機(jī)定子的模態(tài)分析

3.1 電機(jī)定子結(jié)構(gòu)的有限元模型

本文的研究對(duì)象為某8極36槽永磁同步電機(jī)，其定子鐵心槽為一種梨形半封閉槽，為簡(jiǎn)化分析，在建立電機(jī)定子鐵心有限元模型時(shí)忽略對(duì)結(jié)構(gòu)剛度影響較小的小孔和倒角，并將繞組質(zhì)量等效到定子齒上。電機(jī)定子鐵心參數(shù)如表1所示，定子鐵心有限元模型如圖1所示。

表1 電機(jī)定子鐵心參數(shù)

圖1 定子鐵心的有限元模型

定子鐵心和繞組的材料分別是硅鋼和銅，材料參數(shù)如表2所示。

表2 定子材料特性

3.2 定子鐵心模態(tài)分析

根據(jù)電機(jī)等效解析模型計(jì)算0～5 000 Hz 頻率下電機(jī)定子結(jié)構(gòu)的固有頻率，其2 階～5 階固有頻率分別為568.84 Hz、1 276.56 Hz、2 865.23 Hz、4 386.41 Hz。

有限元模型計(jì)算得到的定子鐵心自由振動(dòng)下固有頻率振型如圖2 所示，根據(jù)圖2 可知，2 階振型為橢圓形，3階振型為三角形，4階振型為四邊形，5階振型為五邊形。

圖2 模態(tài)振型

3.3 定子鐵心諧響應(yīng)分析

根據(jù)定子鐵心模態(tài)分析結(jié)果，采用有限元分析法對(duì)0～5 000 Hz范圍內(nèi)的頻率進(jìn)行諧響應(yīng)分析，得出定子表面位移隨頻率的變化曲線如圖3所示。

圖3 定子表面位移變化

由圖3 可知，定子在固有頻率568.84 Hz 時(shí)的振動(dòng)位移最大，當(dāng)電機(jī)激振力的頻率與568.84 Hz相近時(shí)，電機(jī)產(chǎn)生的共振比其他固有頻率下產(chǎn)生的共振強(qiáng)。

3.4 定子鐵心固有頻率解析計(jì)算

采用等質(zhì)量法將繞組的質(zhì)量按槽滿率等效在定子齒上，將質(zhì)量等效后，其定子齒的密度為：

式中，m1、m2分別為定子齒和繞組的質(zhì)量；V為定子齒體積。

根據(jù)式（3），利用等效后定子齒的密度計(jì)算定子鐵心的固有頻率，并與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，結(jié)果如表3所示。

表3 解析法與有限元法固有頻率計(jì)算誤差對(duì)比

由表3可知，質(zhì)量等效后計(jì)算得到的解析解與采用真實(shí)結(jié)構(gòu)和材料密度計(jì)算的有限元法結(jié)果吻合良好。

4 電機(jī)空載噪聲頻譜分析

作用于電機(jī)定子表面上的徑向電磁力頻率與電機(jī)定子固有頻率相近時(shí)，會(huì)引起電機(jī)共振。本文開展電機(jī)空載噪聲測(cè)試，通過噪聲頻譜圖得出電機(jī)的噪聲頻率，并與電機(jī)定子結(jié)構(gòu)固有頻率相比較，間接驗(yàn)證電機(jī)解析法和有限元法計(jì)算固有頻率的準(zhǔn)確性。

為了確保電機(jī)噪聲值的精確性，在剛性地面鋪設(shè)泡沫墊，將電機(jī)置于泡沫墊上，可有效抑制測(cè)試電機(jī)與剛性地面間的振動(dòng)對(duì)電機(jī)空載噪聲測(cè)試誤差的影響，并將聲級(jí)計(jì)置于距離電機(jī)表面1 m 處進(jìn)行電機(jī)噪聲采樣，如圖4 所示，采用丹麥BK 聲級(jí)計(jì)測(cè)量電機(jī)在0～2 000 r/min 轉(zhuǎn)速下的空載噪聲，結(jié)果如圖5 所示。

圖4 電機(jī)噪聲現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試

圖5 電機(jī)空載下噪聲與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

由圖5可知，隨著電機(jī)轉(zhuǎn)速的提高，噪聲逐漸增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到1 000 r/min 時(shí)，噪聲聲壓級(jí)達(dá)到最大值，測(cè)試過程中出現(xiàn)刺耳的聲音，隨著轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加，噪聲聲壓級(jí)逐漸減小。

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，提取出電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 000 r/min、2 000 r/min時(shí)的空載噪聲頻譜如圖6所示。由圖6可知，2 種轉(zhuǎn)速下分別存在32 Hz、560 Hz、1 168 Hz、4 208 Hz以及1 104 Hz、4 400 Hz 的峰值噪聲頻率。圖6a 中的32 Hz 噪聲頻率由電機(jī)旋轉(zhuǎn)頻率引起，圖6a、圖6b 中其余噪聲頻率可能與電機(jī)定子鐵芯固有頻率相近，由電機(jī)共振引起，表4 所示為噪聲頻率、解析法頻率結(jié)果的對(duì)比。

由表4可知，解析法計(jì)算的固有頻率與空載噪聲頻率比較，誤差很小，表明電機(jī)解析模型具有較高的準(zhǔn)確性。

圖6 不同轉(zhuǎn)速下空載噪聲頻譜

表4 噪聲頻率、解析法頻率比較

5 定子鐵心參數(shù)分析

模態(tài)計(jì)算采用的物理模型參數(shù)見表1 和表2，通過改變定子鐵心的材料屬性參數(shù)、定子齒寬、定子軛厚、定子軸向長(zhǎng)度來分析相應(yīng)參數(shù)對(duì)定子鐵心固有頻率的影響。

5.1 材料屬性對(duì)定子鐵心固有頻率的影響

通過保持定子鐵心的其他參數(shù)不變，單獨(dú)改變定子軛的彈性模量、密度或泊松比研究相應(yīng)參數(shù)對(duì)固有頻率的影響。固有頻率隨定子軛彈性模量、密度的變化趨勢(shì)分別如圖7、圖8所示。

由圖7可知，固有頻率隨著彈性模量的增加呈上升趨勢(shì)。由圖8 可知，隨著定子軛密度的增加，固有頻率呈下降趨勢(shì)，但下降幅度不大。為進(jìn)一步研究密度與固有頻率的關(guān)系，引入同一模態(tài)階次下不同定子軛密度固有頻率的相對(duì)率β，即對(duì)應(yīng)階次固有頻率變化值與其密度變化值的比率：

式中，fi為各階固有頻率；ρi為fi下對(duì)應(yīng)的定子軛密度，其結(jié)果如圖9所示。

圖7 固有頻率隨定子軛彈性模量的變化趨勢(shì)

圖8 固有頻率隨定子軛密度的變化趨勢(shì)

圖9 不同定子軛密度的相對(duì)變化率

從圖9 可以看出，隨著定子軛密度的增加，同一模態(tài)階次下固有頻率相對(duì)率有所下降，定子軛密度對(duì)固有頻率的影響很小。

定子軛泊松比與固有頻率間的關(guān)系如圖10 所示。由圖10 可以看出，固有頻率隨著泊松比的增加基本保持不變，泊松比對(duì)固有頻率的影響幾乎可忽略不計(jì)。

5.2 定子齒寬對(duì)定子鐵心固有頻率的影響

單獨(dú)改變定子齒寬來研究其對(duì)固有頻率的影響，結(jié)果如圖11所示。

由圖11可知，隨著定子齒寬的增加，固有頻率稍有下降，但幅度不大，主要是因?yàn)槎ㄗ予F心質(zhì)量和剛度隨著定子齒寬的增加而增加，兩者對(duì)固有頻率的影響相互抵消，使得定子齒寬對(duì)固有頻率的影響較低。

圖10 固有頻率隨定子軛泊松比的變化趨勢(shì)

圖11 固有頻率隨定子齒寬比的變化趨勢(shì)

5.3 定子軛厚對(duì)定子鐵心固有頻率的影響

單獨(dú)改變定子軛厚研究其與固有頻率的關(guān)系，結(jié)果如圖12所示。

圖12 固有頻率隨定子軛厚的變化趨勢(shì)

為深入研究定子軛厚與固有頻率的關(guān)系，引入比例系數(shù)，即將同一模態(tài)階次不同彈性模量下的固有頻率差值與對(duì)應(yīng)彈性模量差值的比值：

式中，fj為彈性模量Ej下對(duì)應(yīng)的固有頻率。

為了研究方便，取Ej=200 GPa，根據(jù)式（8）得出其結(jié)果如圖13所示。

從圖13中可以看出，隨著定子軛厚的增加，比例系數(shù)呈上升趨勢(shì)，因此定子軛厚越大，固有頻率相對(duì)于初始模型固有頻率的變化越大。

圖13 不同定子軛厚的比例系數(shù)

5.4 定子軸向長(zhǎng)度對(duì)定子鐵心固有頻率的影響

同理，通過單獨(dú)改變定子鐵心軸向長(zhǎng)度研究其與固有頻率的關(guān)系，結(jié)果如圖14所示。由圖14可知，固有頻率不隨定子軸向長(zhǎng)度的變化而變化。

圖14 固有頻率隨定子軸向長(zhǎng)度的變化趨勢(shì)

6 結(jié)束語(yǔ)

本文以8極36槽永磁同步電機(jī)為研究對(duì)象，建立電機(jī)定子鐵心結(jié)構(gòu)的三維有限元模型，經(jīng)過有限元法分析、解析法分析與電機(jī)空載噪聲試驗(yàn)得出以下結(jié)論：

a.有限元法與解析法計(jì)算出的定子鐵心固有頻率結(jié)果基本吻合，電機(jī)空載噪聲試驗(yàn)間接驗(yàn)證了定子質(zhì)量等效法計(jì)算鐵心解析法模型的準(zhǔn)確性。

b.分析定子鐵心材料屬性、定子齒寬、定子軛厚、定子鐵心軸向長(zhǎng)度對(duì)固有頻率的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，彈性模量和定子軛厚對(duì)固有頻率的影響最大，因此，在保證定子性能的基礎(chǔ)上，可以考慮調(diào)整定子軛厚改變固有頻率，抑制電機(jī)共振。