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        用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式

        2021-01-21 05:44:38韓衛(wèi)華
        初中生世界·九年級(jí) 2021年12期
        關(guān)鍵詞:對(duì)稱軸表達(dá)式交點(diǎn)

        韓衛(wèi)華

        我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要不斷小結(jié),在小結(jié)中繼續(xù)前行。學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)后,我們不妨停下來(lái)回頭看看,是如何確定二次函數(shù)的表達(dá)式的,或者說(shuō)是如何根據(jù)題目的條件特征,更方便地確定二次函數(shù)表達(dá)式的。我們先看下面這個(gè)對(duì)比表,再通過(guò)例題解讀。

        例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,5),B(-1,9),C(0,8)。求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式、開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

        【解析】設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c,

        根據(jù)題意,得[a+b+c=5,a-b+c=9,c=8,]

        解得[a=-1,b=-2,c=8。]

        所以二次函數(shù)表達(dá)式為y=-x2-2x+8,

        因?yàn)閥=-x2-2x+8=-(x+1)2+9,

        所以拋物線開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,9)。

        【點(diǎn)評(píng)】題目給出的點(diǎn)不是頂點(diǎn),也不是與x軸的交點(diǎn),而是任意三點(diǎn)的坐標(biāo),因此,我們?cè)O(shè)一般式,將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入,解這個(gè)三元一次方程組得出結(jié)果。待定系數(shù)法是求二次函數(shù)表達(dá)式最基本的方法,需熟練掌握。

        例2 已知拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1,函數(shù)的最小值是-1,且圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1),求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

        【解析】根據(jù)題意知函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),所以設(shè)此函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-1)2-1。

        又因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1),

        所以1=a(3-1)2-1,解得a=[12],

        所以此函數(shù)表達(dá)式為y=[12](x-1)2-1。

        【點(diǎn)評(píng)】在已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸、最值) 和另一條件的情況下,通常選擇設(shè)頂點(diǎn)式,再借助另一條件得到關(guān)于a的一元一次方程。

        例3 已知一個(gè)二次函數(shù)圖像上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表所示:

        [x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 -3 -4 -3 0 … ]

        求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。

        【解析】觀察表格中的數(shù)據(jù),知道二次函數(shù)的圖像與x軸交于(-3,0)、(1,0)兩點(diǎn),所以設(shè) y=a(x+3)(x-1),將(0,-3)代入,得-3=a×3×(-1),解得a=1,所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=(x+3)(x-1),即y=x2+2x-3。

        【點(diǎn)評(píng)】在已知二次函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和另一條件時(shí),通常選擇設(shè)交點(diǎn)式,再借助另一條件得到關(guān)于a的一元一次方程。

        例4 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)、B(0,3)、C(2,3)。求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。

        【解析】觀察給出的三點(diǎn),發(fā)現(xiàn)B(0,3)、C(2,3)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,它們關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以設(shè) y=ax(x-2)+3,將(-1,0)代入,得0=a×(-1)×(-3)+3,解得a=-1,所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x(x-2)+3,即y=

        -x2+2x+3。

        【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)已知二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,為m時(shí),通常選擇設(shè)對(duì)稱式,再借助另一條件得到關(guān)于a的一元一次方程。

        【總評(píng)】二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容,壓軸題中常常有它的身影,求二次函數(shù)表達(dá)式通常是壓軸題的解題起點(diǎn),直接影響后續(xù)的解題,因此,掌握求二次函數(shù)的表達(dá)式的方法有著非常重要的意義。教材5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式,是通過(guò)確定二次函數(shù)中待定系數(shù)的值,進(jìn)而確定二次函數(shù)表達(dá)式的一種方法。對(duì)此我們要善于根據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式,其選擇原則是:盡可能使表達(dá)式中待定系數(shù)的個(gè)數(shù)最少,方便易求。

        (作者單位:江蘇省江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué))

        小試牛刀

        有一條拋物線,三名學(xué)生分別說(shuō)出了它的一些性質(zhì)。甲說(shuō):對(duì)稱軸是直線x=2;乙說(shuō):與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)距離為6;丙說(shuō):頂點(diǎn)與x軸的交點(diǎn)圍成的三角形面積等于9。請(qǐng)你寫(xiě)出滿足上述全部條件的一條拋物線的表達(dá)式__________。

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