王遠(yuǎn)慶

（長安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710016）

0 引言

強(qiáng)力刮齒技術(shù)從提出開始，便廣泛吸引了齒輪加工行業(yè)的重視， 國內(nèi)外學(xué)者也為強(qiáng)力刮齒技術(shù)的突破進(jìn)行著不斷地努力， 西安交通大學(xué)金精等從事車齒法的研究工作，分述了車齒的工作原理是基于螺旋齒輪嚙合原理，著有車齒法一書[1-2]；毛世民認(rèn)為車齒齒輪齒面是車齒刀刀刃曲線雙自由度包絡(luò)形成的[3]；陳新春、李佳等從齒面形成出發(fā)，研究剮齒過程，切削刃上各點(diǎn)處切削速度的變化情況，從而明確切屑的形成過程[4-6]；Guo 等對車齒加工方法進(jìn)行了深入研究， 根據(jù)空間交錯軸齒輪副嚙合原理對加工直齒輪的斜齒車齒刀切削刃進(jìn)行了計(jì)算， 并對車齒刀的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了設(shè)計(jì)[7-8]；Chung-Yu 提出了一個基于共軛表面重磨刮齒刀的方法[9]；Tsukasa 等提出了一種用于內(nèi)齒輪刮削的切削刃連續(xù)變化工作的評價方法[10]；Fumihiro 等研究了刮齒刀尺寸對切削負(fù)荷的影響， 發(fā)現(xiàn)可以通過調(diào)節(jié)前刀面和設(shè)定后角來減小切削負(fù)荷[11]。

由國內(nèi)外研究現(xiàn)狀可知，目前對強(qiáng)力刮齒研究主要集中在刮齒刀具的設(shè)計(jì)上，在加工時，強(qiáng)力刮齒刀和被加工齒輪屬于空間交錯軸齒輪副嚙合運(yùn)動， 考慮到加工所必需的條件，如必要的前角、后角及刀具刃磨等因素，刀具表面輪廓實(shí)際上為空間螺旋面，刀具結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，因此如何設(shè)計(jì)出一款合理的強(qiáng)力刮齒刀， 是一個十分具有挑戰(zhàn)的研究方向。 因此， 本文提出一種強(qiáng)力刮齒刀設(shè)計(jì)方法，并建立相應(yīng)的刀具齒面數(shù)學(xué)模式，并對所提出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值求解和三維實(shí)體建模。

1 刮齒加工原理

刮齒加工和傳統(tǒng)滾齒、插齒加工方式不同，在加工過程中，刮齒刀具既相當(dāng)于滾齒刀，又相當(dāng)于插齒刀，如圖1所示，分別為刮齒刀加工內(nèi)、外齒輪的原理示意圖，刀具和工件按照一定比例做對滾運(yùn)動產(chǎn)成工件端面漸開線齒廓；同時，刀具還有沿著工件軸向的進(jìn)給運(yùn)動，從而加工出整個工件， 這種加工方式結(jié)合了滾齒和插齒加工的特性， 使得加工效率得到很大的提高， 特別是對于無退刀槽、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的內(nèi)齒輪加工，刮齒加工的優(yōu)勢十分明顯。

圖1 刮齒加工原理示意圖

由加工原理可知， 刮齒加工時有兩個加工自由度，工件和刀具的角速度不再是簡單的齒數(shù)比， 且有：ω1=(z2/z1)ω2-fa/p, 其中，ω1為工件角速度，ω2為刮齒刀角速度，z1為工件齒數(shù)，z2為刮齒刀齒數(shù)，fa為刮齒刀沿著工件軸向的進(jìn)給速度，p 為工件螺旋參數(shù)。

2 齒面方程

圖2 所示，為刮齒刀結(jié)構(gòu)示意圖，刮齒刀主要由前刀面、后刀面和切削刃等組成，前刀面與后刀面相交可得到切削刃。 為了保證加工時切屑可以順利排出且不發(fā)生干涉，刮齒刀具需要沿著軸線方向進(jìn)行連續(xù)變位，從而形成后角，如圖3 所示，ζ 為刮齒刀端面齒廓位置參數(shù)，變位系數(shù)xlt從刀具前端面（ζ0處）沿著自身軸線方向逐漸減小，且有

其中，x0t為最大變位系數(shù)，α0為刀具頂刃后角，mn為模數(shù)，ζ 的取值范圍為0~B（B 為刀具齒寬）。

圖2 刀具結(jié)構(gòu)示意圖

圖3 變位齒廓示意圖

在不同軸向位置處，刀具齒廓可由式（2）、（3）給出，其中，Ra為漸開線齒廓的齊次坐標(biāo)表示，rbt為刀具基圓半徑，u 為漸開線參數(shù)，η 為對應(yīng)不同變位系數(shù)的轉(zhuǎn)角，zt為刀具齒數(shù)，βt為螺旋角，αtt為端面壓力角，±號分別對應(yīng)左右兩側(cè)漸開線齒廓，坐標(biāo)原點(diǎn)oa在刀具軸線上。

將端面漸開線齒廓Ra沿著軸向經(jīng)過螺旋變換， 可得到刀具齒面上任意一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)Rf，二者滿足

其中，Mh為轉(zhuǎn)換矩陣，θ=2πζi/Lt，Lt 為刀具的螺旋導(dǎo)程。

為了求解切削刃，需要對前刀面進(jìn)行定義，由空間幾何原理可知，刀具前刀面可由面上一點(diǎn)（參考點(diǎn)m）和前刀面法矢唯一確定，參考點(diǎn)m 的位矢rm和前刀面法矢nm由式（6）給出，其中，γ 為刀具前角。

聯(lián)立前刀面和刀具齒面，求解方程組(8)可解得指定參考位置處的切削刃，方程組（8）中第一個等式為平面法向量約束，第二個等式為齒面上一點(diǎn)到軸線的距離約束，其中，xf、yf、zf分別為Rf的前三個分量，xm、ym、zm分別為前刀面參考點(diǎn)m 的三個坐標(biāo)分量。

3 網(wǎng)格劃分和逆向建模

在第2 節(jié)中， 推導(dǎo)得到了刀具齒面方程和切削刃方程， 并且知道刀具齒面和切削刃均是雙參數(shù)u 和ζ 的函數(shù)，為了對刀具齒面進(jìn)行數(shù)值求解，需要對刀具齒面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖4 所示，為刀具齒面的旋轉(zhuǎn)投影面，橫坐標(biāo)hl 為漸開線的位置參數(shù)， 縱坐標(biāo)vl 為齒面上任意一點(diǎn)到刀具軸線的距離， 在MATLAB 中使用fsolve 函數(shù)求解非線性約束方程組（9），則可得到對應(yīng)數(shù)值解。

圖4 齒面網(wǎng)格劃分

表1 為刮齒刀基本參數(shù)， 代入求解得到齒面網(wǎng)格圖和切削刃如圖5 所示。

表1 刮齒刀基本參數(shù)

圖5 刮齒刀齒面網(wǎng)格圖

CATIA 是法國達(dá)索系統(tǒng)公司的CAD/CAE/CAM 一體化軟件,在CAD/CAE/CAM 領(lǐng)域中處于領(lǐng)導(dǎo)地位，廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車制造、造船、機(jī)械制造、電子、電器、消費(fèi)品行業(yè)和通用機(jī)械制造，主要有“創(chuàng)成式曲面設(shè)計(jì)”“數(shù)字化外形編輯器”“快速曲面重建”和“逆向工程實(shí)例”等功能模塊。逆向建模具體步驟如下：

1）利用軟件MATLAB 編寫齒面方程程序，生成齒輪離散點(diǎn)云，此步驟在第3 節(jié)程序中實(shí)現(xiàn)；

2）將齒面離散點(diǎn)云導(dǎo)入到CATIA 中，如圖6 所示，為導(dǎo)入后的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，通過‘Freestyle’或者‘Quick Surface Reconstruction’等模塊擬合出單齒模型；

3）根據(jù)齒輪副的參數(shù)，通過旋轉(zhuǎn)、拉伸等操作建立齒坯模型，最后通過陣列操作，得到全齒模型如圖7 所示。

圖6 齒面點(diǎn)云

圖7 三維模型

4 結(jié)論

1） 本文提出了一種強(qiáng)力刮齒刀齒面數(shù)學(xué)模型， 并詳細(xì)推導(dǎo)了齒面方程和切削刃方程；

2） 在刀具的旋轉(zhuǎn)投影面上對齒面進(jìn)行了網(wǎng)格劃分，并給出了求解齒面網(wǎng)格點(diǎn)的約束方程，實(shí)現(xiàn)了刮齒刀齒面的數(shù)值求解；

3） 結(jié)合CATIA 三維造型軟件，實(shí)現(xiàn)了刮齒刀具的逆向建模，得到了符合設(shè)計(jì)要求的刀具模型。