李 楠，陳重華，陳國忠，黃 欣，陸啟省

（上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

0 引言

伴隨著空間技術(shù)的發(fā)展，對航天任務(wù)的需求也日益復(fù)雜化。相應(yīng)地，衛(wèi)星在軌工作時間以及自身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性也大幅增加，這就使得如何保障其在軌運(yùn)行期間的工況穩(wěn)定度，如何提高其在軌運(yùn)行期間的自主維護(hù)能力，成為當(dāng)今航天領(lǐng)域的一大難題。在此背景下，基于各種算法的遙測變量預(yù)報(bào)技術(shù)作為解決上述問題的有效手段一直以來備受業(yè)界關(guān)注。

在眾多算法中，灰色預(yù)測模型作為將系統(tǒng)論、信息論及控制論觀點(diǎn)延伸到抽象系統(tǒng)而發(fā)展出的一套專門用于解決貧數(shù)據(jù)、信息不完備問題的新方法，在生產(chǎn)制造中，尤其是航空航天領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1-4］。但是，在實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)，此模型的預(yù)測效果有時理想，有時偏差較大，甚至完全失效［5-7］。究其原因，灰色預(yù)測模型從本質(zhì)上可以認(rèn)為是指數(shù)預(yù)測模型，其預(yù)測精度與被預(yù)測對象遞變規(guī)律以及數(shù)據(jù)序列的光滑程度有關(guān)。目前對此已提出的典型改進(jìn)方法有：數(shù)據(jù)預(yù)處理方法［8］、初始條件改進(jìn)方法［9-12］、背景值改進(jìn)方法［13-14］等。這些方法雖然在一定程度提高了模型擬合精度，但預(yù)測效果仍不夠理想，并且它們多是以灰色模型為基礎(chǔ)附加了額外算法，考慮到附加算法的復(fù)雜性，往往使得預(yù)測過程計(jì)算量大大增加。

鑒于此，文章結(jié)合經(jīng)典灰色理論及GM（1，1）建模方法分析，就遙測數(shù)據(jù)整定，提出一種改進(jìn)的處理算法，使變換后遙測數(shù)據(jù)更加光滑，符合GM（1，1）建模要求，對于提高在軌航天器未來狀態(tài)預(yù)測的準(zhǔn)確度意義重大。

1 改進(jìn)算法的提出

1.1 光滑比的概念

小樣本、貧信息、不確定性系統(tǒng)的大量存在，決定了GM（1，1）模型具有十分寬廣的應(yīng)用領(lǐng)域。但是GM（1，1）模型也有一定的適用范圍，超出該范圍，應(yīng)用GM（1，1）模型較難取得理想的預(yù)測結(jié)果。

注意到GM（1，1）模型本源上屬于一階微分方程，故而其更適用于描述初始數(shù)據(jù)序列發(fā)展趨勢呈單調(diào)變化的情況。經(jīng)多次試驗(yàn)、計(jì)算發(fā)現(xiàn)［8］：無論原始數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)遞增或遞減態(tài)勢、數(shù)據(jù)曲線形狀呈凹或凸?fàn)?，由GM（1，1）模型響應(yīng)函數(shù)式與系統(tǒng)還原公式計(jì)算得到的最終結(jié)果皆呈凹形曲線。在此情況下，GM（1，1）模型使用將受到一定限制。究其原因，GM（1，1）模型的預(yù)測精度受到原始數(shù)據(jù)遞變規(guī)律的密切影響，考慮到灰色模型的解具有指數(shù)函數(shù)形式，所以對于已經(jīng)生成指數(shù)變化趨勢的建模數(shù)據(jù)，關(guān)系GM（1，1）模型精度的真正原因是由于初始數(shù)據(jù)序列x(0)不滿足光滑離散函數(shù)的條件。

處處可導(dǎo)是光滑連續(xù)函數(shù)的特性，而序列是由離散的單個點(diǎn)構(gòu)成的，根本無導(dǎo)數(shù)可言（通常意義下），因此，不能用導(dǎo)數(shù)研究序列的光滑性。從另外的角度研究光滑連續(xù)函數(shù)的特性，若某序列具有與光滑連續(xù)函數(shù)大致相近的特征，便認(rèn)為此序列是光滑的。

設(shè)非負(fù)初始數(shù)據(jù)序列

z為x(0)的均值生成序列，即

x*為某一可導(dǎo)函數(shù)的代表序列，將x(0)刪去x(0)(n+1)后得到的序列記為x′，若x′滿足：

則稱x′為光滑序列。上述兩條件稱為序列光滑條件。

實(shí)際中，應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論建模時，并不要求初始數(shù)據(jù)序列嚴(yán)格滿足光滑條件，對于在一定程度上滿足光滑條件的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的GM（1，1）模型也能取得滿足工程實(shí)際要求的精度。

為了定量描述數(shù)據(jù)序列的光滑性，引入光滑比的概念，即

光滑比從另一側(cè)面反映了序列的光滑性，即用序列第k個數(shù)據(jù)x(0)(k)與其前k-1 個數(shù)據(jù)之和的比值ρ(k)，來考察序列x(0)中數(shù)據(jù)變化是否平穩(wěn)。顯然，序列越平滑，其光滑比越小，若序列x(0)滿足：

2）ρ(k)∈[0，ε]，k=3，4，…，n；

3）ε＜0.5。

稱該序列為準(zhǔn)光滑序列。

1.2 綜合變換函數(shù)構(gòu)造

初始數(shù)據(jù)序列作累加處理后呈現(xiàn)明顯的指數(shù)規(guī)律［9］，是灰色系統(tǒng)理論建?；A(chǔ)。然而，雜亂無章的數(shù)據(jù)序列經(jīng)累加生成所建立的GM（1，1）模型，往往會產(chǎn)生較大偏差的預(yù)測結(jié)果。就此，國內(nèi)外諸多學(xué)者對模型的應(yīng)用條件展開了深入長期的研究：文獻(xiàn)［15］提出建立GM（1，1）模型的條件是初始離散數(shù)據(jù)序列為光滑離散函數(shù)；文獻(xiàn)［6-8］分別結(jié)合實(shí)例分析，進(jìn)一步說明光滑離散函數(shù)性質(zhì)對建模的重要性?？梢?，提高初始數(shù)據(jù)序列光滑度是十分必要的，本文以光滑比概念為基礎(chǔ)，提出一種改進(jìn)序列光滑度的綜合變換函數(shù)。

首先借助1.1 節(jié)中提出的序列光滑比的概念，給出描述光滑離散函數(shù)的主要條件如下［15］：

接下來，以命題形式提出如下序列光滑度改進(jìn)算法：設(shè){xi}，i=1，2，…，n為嚴(yán)格單調(diào)遞增非負(fù)序列，有

式中：參數(shù)0 ＜α＜1；γ＞0；β·xi+γ≥e(2.718 3)。

1.3 變換有效性證明

將上述算法拆分為4 個命題進(jìn)行證明，即

命題1設(shè){xi}，i=1，2，…，n為嚴(yán)格單調(diào)遞增非負(fù)序列，則對于?γ＞0，有如下結(jié)論成立：

證明記f(x)=β·x+γ，γ＞0，由

命題1 得證，且該命題說明線性變換可以提高序列光滑度。

命題2設(shè){xi}，i=1，2，…，n為嚴(yán)格單調(diào)遞增非負(fù)序列，且x1≥e(2.718 3)，則有如下結(jié)論成立：

證明記f(x)=lnx，對于x≥e(2.718 3)，由

命題2 得證，且該命題說明對數(shù)變換可以提高序列光滑度。

命題3設(shè){xi}，i=1，2，…，n為嚴(yán)格單調(diào)遞增非負(fù)序列，則?0 ＜a＜1，有如下結(jié)論成立：

證明 記f(x)=xα，0 ＜α＜1，由

命題3 得證，且該命題說明冪指變換可以提高序列光滑度。

命題4即文章提出的數(shù)據(jù)序列平滑算法，見式（2）。

證明考慮到{xi}為嚴(yán)格單調(diào)遞增非負(fù)數(shù)據(jù)序列，則?β，γ≥0 且β·γ≠0，有{β·xi+γ}仍為嚴(yán)格單調(diào)遞增非負(fù)序列。

且{ln(β·xi+γ)} 也為嚴(yán)格單調(diào)遞增非負(fù)序列。

再由命題3 易知，?0 ＜a＜1，有

綜合上述結(jié)論，有

命題4 得證。

顯然，通過上述證明可見：線性變化得到的數(shù)據(jù)序列較原始序列光滑程度有所改善，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)施加對數(shù)變換將使更新序列的光滑程度進(jìn)一步得到提升，而最終復(fù)合的冪指數(shù)變換將得到較單純線性變換、對數(shù)變換，或線性變換與對數(shù)變換組合變換光滑程度更優(yōu)的結(jié)果。此外，文章提出的這種改進(jìn)算法由于包含可調(diào)參數(shù)（α，β，γ），增加了應(yīng)用靈活性和適應(yīng)性，即通過參數(shù)調(diào)整，實(shí)現(xiàn)人機(jī)對話，使GM（1，1）模型的擬合及預(yù)測效果更加符合客觀實(shí)際需要。

2 遙測數(shù)據(jù)仿真驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證文章改進(jìn)方法的有效性，以FY衛(wèi)星SADA（南）軸承溫度信號（TK-25）6—9 月的15 和30 日平均值為例進(jìn)行分析，具體數(shù)據(jù)見表1。

表1 FY 衛(wèi)星SADA（南）軸承溫度信號6-9 月的15 與30 日均溫度Tab.1 Bearing’s daily（15th and 30th）average temperature of the FY satellite SADA（south）from June to September

由于序列各項(xiàng)數(shù)值皆小于零，故先對其進(jìn)行如下變換：

式中：int 為向上取整函數(shù)（靠近abs(xi)且取值較大的數(shù)值）。

變換后，得到的新序列為

顯然，該序列非負(fù)且單調(diào)遞增。對其進(jìn)行1-AGO，得到

對序列光滑性進(jìn)行驗(yàn)證，即：

應(yīng)用文章改進(jìn)算法，首先對序列{x(0)} 依照式（2）進(jìn)行變換，變換參數(shù)依次取為α=0.9，β=11，γ=0，則計(jì)算得到新序列

顯然，算得序列單調(diào)遞減，故變換后{y(0)}為離散光滑的，滿足GM（1，1）模型建模條件。

按照一般步驟建立{y(0)}的GM（1，1）模型，有

由軌航天器狀態(tài)預(yù)測統(tǒng)計(jì)結(jié)果（見表2）易見：采用文獻(xiàn)［15］所述傳統(tǒng)方法建立的GM（1，1）預(yù)測模型誤差巨大，其中采樣數(shù)據(jù)的擬合相對誤差最大達(dá)到664.085 6%，平均相對誤差也高達(dá)125.022 9%；采樣數(shù)據(jù)外的兩步預(yù)測結(jié)果更是面目全非，平均相對誤差更是升至驚人的2 278.805 2%，由此得出該預(yù)測模型無效。結(jié)合灰色系統(tǒng)理論不難發(fā)現(xiàn)，采樣數(shù)據(jù)不符合GM（1，1）建模要求，即{x(0)}不滿足光滑離散函數(shù)條件是造成這種狀況的根本原因。對此，文章改進(jìn)算法通過對初始數(shù)據(jù)序列依式（2）進(jìn)行變換，改善其光滑度，提高建模精度，其中擬合平均相對誤差以及兩步預(yù)測平均相對誤差較先前方法分別降至3.998 8% 和24.605 4%，預(yù)測模型有效。

表2 FY 衛(wèi)星SADA（南）軸承溫度信號灰色模型擬合及預(yù)測結(jié)果Tab.2 Fitting and prediction results of the bearing’s temperature data of FY satellite SADA（south）by using different GM algorithms

3 結(jié)束語

針對現(xiàn)有灰色系統(tǒng)預(yù)測方法所存在的建模精度、外推能力依賴于生成序列光滑程度的問題，提出一種能夠顯著提高模型預(yù)測精度的改進(jìn)算法。本文分別通過嚴(yán)格的理論證明和仿真分析發(fā)現(xiàn)，該方法通過構(gòu)造復(fù)合函數(shù)，不但使得變換后的建模數(shù)據(jù)較采用傳統(tǒng)冪函數(shù)平滑方法、線性函數(shù)平滑方法以及對數(shù)函數(shù)平滑方法具有更好的光滑程度，而且通過引入可調(diào)參數(shù)使得算法具有更大靈活性和更廣的適用范圍。